初中数学问题变式教学模式探讨

初中数学问题变式教学模式探讨 发表时间：2011-10-9 来源：中学课程辅导 教学研究2011 年第 18 期供稿 作者：兰成同 导读 初中数学问题的解决需要学生拥有多种解题能力。但变式教学能变换题型，使数学问题更简单。 摘要：初中数学问题的解决需要学生拥有多种解题能力。但变式教学能变换题型，使 数学问题更简单。 关键词：初中数学；解析：变式教学 作者简介：兰成同，任教于浙江省苍南县民族中学。 波利亚认为解题的重要技巧是需从各个方面、各个侧面去试验，去变化或转化问题。 他指出：“ 变化问题使我们引进了新的内容，从而产生了新的接触，产生了和我们问题有关 的元素接触的新的可能性。” 在开展变式教学的过程中，教师通常把经过精心设计的变式题呈现于课堂，使课堂因 变化而显得生动，学生的学习兴趣由此被激发，注意力被吸引，教师满足于自己的表演， 学生也因为成功解决了变式问题而有所满足，这是比较普遍的现象。然而，笔者从多年的 教学实践中体会到：变式教学是较好的“授之以渔” 的数学教学模式，在变式教学中应该让 学生从无意识的接受者转变为有意识的发现者，从变式题的解决者转变为变式题的设计者， 要让学生在问题的认知、探索、发现、设计、解决、创造等的过程中获得对问题的深刻理 解，不断促进学生解决新问题的能力发展，从而优化学生的思维品质。 一、弱化变式 通过对典型例题的分析剖解，去掉原题的一些条件，或以较弱的条件来替换原来的条 件，将会使原题的结论泛化，可以探索出一般性的解题方法。 例 1：如图 ，边长为 4 的正方形 CDEF，截去一角成五边形 ABCDE，其中 AF2，BF 1，P 是 AB 上一点，APPB 2 且 MP DE，NPCD。求：矩形 PNDM 的面积。 条件认识：本题中的条件“正方形 CDEF”能否弱化为一般的“矩形 CDEF”或“ 平行四边 形 CDEF”？条件 “AF2 ，BF1”中 AF 和 BF 的长度能否用字母进行替代？条件 “APPB 2”表明点 P 是一个定点，那么能否去掉这个条件呢？通过对这些条件在解题过 程中的分析，引导学生尝试在改变条件后重新编写问题形成变式题。 变式：（将正方形一般化）矩形 CDEF 中，CD6，DE4，截去一角成五边形 ABCDE，其中 AF2，BF1，P 是 AB 上一点，APPB2 且 MPDE ，NPCD 。 求：矩形 PNDM 的面积。 解题分析：解法同例 1，面积为 。 二、结构变式 对原题的部分表达形式进行变换，使问题多元化，增加知识点的覆盖面。 例 2：如图，要在燃气管道 m 上修建一个泵站，分别向 A、B 两地供气，泵站修在 管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 解题分析：本题通过对点 A 作轴对称变换，便在直线 m 的下方得到与 AP 相等的线 段 AP，那么根据“三角形两边之和大于第三边 ”这一性质可以得出：当 A、P 、B 在同 一直线上时 AP+BP 最短，即 AP+BP 最短。图中的点 P 就是所求的泵站修建处。 结构条件分析：几何中两条线段和的最值问题，通常会应用到“ 三角形的三边关系”和 “两点之间线段最短”的知识，例 2 的解题方法是通过对其中一个点关于一条直线作轴对称 变换，使之能应用上述两个知识。问题中涉及的点有两个，且分布在直线的同侧。由此， 我们可以联想到改变点的数量和位置进行变式探究。 变式：（改变直线同侧点的个数）如图，某公路的同一侧有 A、B、C 三个村庄， 要在公路边建一货运站 P，向 A、B、C 三村送农用物资，线路是： PABCP 或 PCBAP（公路边近似看作公路上），请在公路上找出点 P，使送货路程最短。 解题分析：如图这一变式有原来的“两个点”变为“三个点”，在解题思想上没有发生 什么变化。因为 AB+BC 是不会改变的，只有 AP+CP 会变，那么这就回归到了例 2 的形 式了。 三、类比变式 根据原题的求解，得出了一般性结论或解题方案，可将此类比到同类问题中去，由此 及彼，可以培养学生的知识迁移能力。 例 3：如图，正方形 ABCD 和正方形 EFGO 的边长相等， O 是正方形 ABCD 外接 圆的圆心，在正方形 EFGO 绕着点 O 旋转的过程中，两个正方形的重叠部分的面积是否 保持不变？如果保持不变，请求出图中重叠部分面积与正方形 ABCD 的面积之比。 解题分析：连结 AO 和 BO，容易证明 AMOBNO，则重叠部分的面积会等于 ABO 的面积，而 ABO 的面积是不会随着正方形 EFGO 的旋转而改变的，它始终会等 于正方形 ABCD 面积的 。 类比分析：本例通过割补思想，将不规则的重叠部分转变为规则的三角形进行面积计 算，这是解好本题的关键。我们设计的变式问题也应该能应用这一思想进行解题，在确定 思想方法后，通过改变条件结构，设计出变式问题。 变式 1：（将正方形改为正六边形）如图，正六边形 ABCDEF 和正六边形 OPQRST 的边长相等，O 是正方形 ABCDEF 外接圆的圆心，在正六边形 OPQRST 绕着 点 O 旋转的过程中，两个正六边形的重叠部分的面积是否保持不变？如果保持不变，请求 出图中重叠部分面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比。 解题分析：本题解法与例 3 类似，通过连结 AO 和 EO，去证明 AMOENO，将 不规则的重叠部分转变为面积容易计算的四边形 OAFE（可分为两个等边三角形），而四 边形 OAFE 的面积是不会随着正六边形 OPQRST 的旋转而改变的，它始终会等于正六边 形 ABCDEF 面积的 。 变式 2：（把正方形推广到一般的情形）如图，你能求出两个相同的正 n（n 为大 于 2 的偶数）边形，当其中一个正 n 边形的顶点在另一个正 n 边形的外接圆的圆心时，重 叠部分与正 n 边形的面积之比吗？如果能，请求出比值（结果可以用含 n 的代数式来表示） ，如果不能，请说明理由。 四、逆向变式 逆向变式是将数学问题条件中的事项与结论中的事项作相等个数的交换以构筑新题的 变式方法。在进行逆向变式时，必须注意新题的条件的充分性，有时在构筑新题时可以适 当地补充条件。 例 4：如图，在 ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上一点，且 ADBD，AEEC，求证：DEBC，DEBC。 事项分析：在保持本例中前提条件“在 ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上一点” 的情况下，将条件中的事项 ADBD 和 AEEC 与结论中的事项 DEBC，DE BC 可 以尝试进行作相等个数的交换，然后分析条件的充分性，形成变式问题。 变式 1：如图，在 ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上一点，且 DEBC，AEEC，求证：ADBD，DEBC。 变式 2：如图，在 ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上一点，且 ADBD，DEBC，求证：AEEC，DEBC。 在进行数学问题变式教学过程中，从原问题到变式题的设计过程，一定要注意变式题 之间的衔接问题，充分体现认知的连续性。通过变式教学将数学知识串成一条线，使得杂 乱无章的知识形成一个体系，整个过程是逐渐地增加学生的认知负荷，逐步地提高学生的 数学能力。不要为了追求新颖题型、难题的教学而忽视数学知识的连续性和学生能力的递 进性，不能只是让学生感受“眼花缭乱” 的变化，应该要在