全等三角形几种类型(总结)[1]

全等三角形与角平分线 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的 边叫做对应边 ，相互重合的角叫做 对应角 全等多边形的对应边、对应角分 别相等 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形 五边形 ABCDEABCDE 这里符号“ ”表示全等，读作“全等于” A B C D EE DCB A 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形 全等三角形的对应边相等，对应 角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分 别对应相等，那么 这两个三角形全等 全等三角形对应的中线、高线 、角平分 线及周长面积均相等 全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形能 够相互重合的顶点、 边、角 分别叫作对应顶点、对应边、对应角全等符号为“ ” 全等三角形的性质：对应角相等， 对应边相等， 对应边上的中 线相等，对应边上的高相等，对应角的角 平分线相等，面积相等 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个 对应角所夹 的边是对应边 (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条 对应边所夹 的角是对应角 (3)有公共边的，公共边常是对应边 (4)有公共角的，公共角常是对应 角 (5)有对顶角的，对顶角常是对应 角 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等 (4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜 边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 判定三角形全等的基本思路： SAHL 找 夹 角已 知 两 边 找 直 角 找 另 一 边 AS边 为 角 的 对 边 找 任 意 一 角 找 这 条 边 上 的 另 一 角 已 知 一 边 一 角 边 就 是 角 的 一 条 边 找 这 条 边 上 的 对 角 找 该 角 的 另 一 边 AS 找 两 角 的 夹 边已 知 两 角 找 任 意 一 边 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： 平移全等型 对称全等型 2 旋转全等型 由全等可得到的相关定理： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相同的点，在 这个角的平分线上 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么 这两个角所对的边也相等 线段垂直 平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分 线上 与角平分线相关的问题 角平分线的两个性质： 角平分线上的点到角的两边的距离相等； 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 它们具有互逆性 角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1 由角平分线上的一点向角的两 边作垂线， 2 过角平分线上的一点作角平分 线的垂线，从而形成等腰三角形， 3 ，这种对称的图形应用得也较为普遍，OAB A B O P PO B A A B O P 三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边 中线中位线相关问题(涉及中点的问题 ) 见到中线(中点)，我们可以联 想的内容无非是倍长中线以及中位 线定理( 以后还要学习中线长公式)，尤 其是在涉及线段的等量关系时，倍 长中线的应用更是较为 常见 例题精讲 板块一、全等三角形的认识与性质 【例 1】 在 、 上各取一点 、 ，使 ，连接 、 相交于 再连结 、 ，ABCEDABDCEOABC 若 ，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由2 21 E O D C B A 【巩固】如图所示， ， ， 在 上， 与 相交于 图中有几对全等ABDCEF、 ACBP 三角形？请一一找出来，并简述全等的理由 板块二、三角形全等的判定与应用 【例 2】 (2008 年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图， ， ， 求ACDE BF ACDE 证： AFBD F E D C BA 【例 3】 (2008 年宜宾市)已知：如图， ， ，求证： ADBCD O D C BA 【巩固】如图， 、 相交于 点，且 ， ，求证： ACBDOACBDOAD A B C D O FA E P D C B 4 【例 4】 (哈尔滨市 2008 年初中升学考试)已知：如图， 、 、 、 四点在同一条直线上，BEFC ， ， 求证： ABDCEFBCOAD FE O D CB A 【例 5】 已知，如图， ， ， ，求证： ABCEABFCFC FE CB A 【例 6】 、 分别是正方形 的 、 边上的点，且 求证： EFABCDBECFAEF P F E D CB A 【巩固】 、 、 分别是正方形 的 、 、 边上的点， ， 求证：EFGABCDABGF BC G A B C D E F 【例 7】 在凸五边形中， ， ， ， 为 中点求证： BECDBEMCDAMCD M E DC B A 板块三、截长补短类 【例 1】 如图，点 为正三角形 的边 所在直线上的任意一点(点 除外)，作 ，MABDB60DN 射线 与 外角的平分线交于点 ， 与 有怎样的数量关系?N NM N EBMA D 【巩固】如图，点 为正方形 的边 上任意一点， 且与 外角的平分线交于MABCDMNDABC 点 ， 与 有怎样的数量关系？N N CD EBMA 【例 2】 如图，AD AB，CB AB ，DM =CM= ，AD = ，CB = ， AMD=75， BMC=45，则 ABahk 的长为 ( ) A. B. C. D. ak2k M D C BA 【例 3】 已知：如图，ABCD 是正方形，FAD=FAE. 求证： BE+DF=AE. 6 F E D CB A 【例 4】 如图所示， 是边长为 的正三角形， 是顶角为 的等腰三角形，以 为顶点ABC1BDC120 D 作一个 的 ，点 、 分别在 、 上，求 的周长60MDNAAMN N M D CB A 【例 5】 五边形 ABCDE 中， AB=AE，BC +DE=CD，ABC+ AED=180，求证：AD 平分 CDE C EDB A 板块四、与角平分线有关的全等问题 【例 1】 如图，已知 的周长是 ， ， 分别平分 和 ， 于 ，且ABC21OBCABOB ，求 的面积3OD A D O CB 【例 2】 在 中， 为 边上的点，已知 ， ，求证： ABCDBADCBDABC 【例 3】 已知 中， ， 、 分别是 及 平分线求证： ABCABECDABCCDBE ED CB A 【例 4】 已知 中， ， 、 分别平分 和 ， 、 交于点 ，试判ABC60BDCEABCBDCEO 断 、 、 的数量关系，并加以证明ED OE D CB A 【例 5】 如图，已知 是 上的一点，又 ， 求证： EAC1234EDB E D C B A 4 3 21 【例 6】 (“希望杯”竞赛试题)长方形 ABCD 中，AB= 4，BC=7，BAD 的角平分线交 BC 于点 D CB A 8 E，EFED 交 AB 于 F，则 EF=_ F E D CB A 【例 7】 如图所示，已知 中， 平分 ， 、 分别在 、 上 ，ABCDBACEFBDAECD 求证： EFEF F A CDEB 【巩固】如图，在 中， 交 于点 ，点 是 中点， 交 的延长线于点 ，ABCDBECFA F 交 于点 ，若 ，求证： 为 的角平分线GFA F G E D CB A 【巩固】在 中， ， 是 的平分线 是 上任意一点求证：ABCADBACPAD P CDB P A 【例 8】 如图，在 中， ， 的平分线 交 与 求证： ABC2BACDBCABDC D CB A 【例 9】 如图所示，在 中， ， 为 的中点， 是 的平分线，若ABCABMCADBC 且交 的延长线于 ，求证 CFDF12 M F D CB A 【巩固】如图所示， 是 中 的外角平分线， 于 ， 是 的中点，求证ADBCACDAEB 且 E 1()2 E D CB A 【巩固】如图所示，在 中， 平分 ， ， 于 ，求证ABCDBACDCMAD 2ABCM M D CB A 【例 10】 如图， 中， ， 、 分别为两底角的外角平分线， 于 ，ABCABDCEADB 于 求证： E 10 HG D A B C E 【巩固】已知： 和 分别是 的 和 的外角平分线， ， ，ADBEAC B CA DAEB 求证： ； 12 E BA D C 【例 11】 在 中， 、 分别是三角形的外角 、 的角平分线，ABCMNABECF ， 垂足分别是 、 求证： ，MN 12ABC FE NM CB A 【巩固】在 中， 、 分别是三角形的内角 、 的角平分线， ，ABCMNABCAMB 垂足分别是 、 求证： ，NMN 12C N M CB A 【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形 中， 平分 ，过 作 ，并且 ，则ABCDBADCEAB于)(21ADB 等于多少？ E D C BA 【例 12】 如 图 ， ， 平 分 ， 平 分180DBEC ， 点 在 上 BCDEA 探 讨 线 段 、 和 之 间 的 等 量 关 系 CB 探 讨 线 段 与 之 间 的 位 置 关 系 E D CB A 版块一、倍长中线 【例 1】 已知： 中， 是中线求证： ABCM1()2AMBC MCB A 【巩固】(2002 年通化市中考题 )在 中， ，则 边上的中线 的长的取值范围ABC5,9ACAD 是什么？ 【例 2】 如图， 中， ， 是中线求证： ABCGNM NMGFEDCBA 【例 11】 在 中， ， ，以 为底作等腰直角 ， 是 的中ABC9012ACBDE 点，求证： 且 EE E D C BA 【例 12】 如图，在五边形 中， ， ， 为 的中ABCDE90AEDBACEDFC 点求证： F E DFC B A 【例 13】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题) 如图所示， 是 内的一点，PA ，过 作 于 ， 于 ， 为 的中点，求PACBPMACPLBCDB 证 DML LPM D C BA 【例 14】 (全国数学联合竞赛试题 ) 如图所示，在 中， 为 的中点，分别延长 、ABCDBCA 到点 、 ，使 过 、 分别作直线 、 的垂线，相交于点 ，设线CBEFDEFP 段 、 的中点分别为 、 求证：PAMN (1) ； (2) NMN M A B C D E PP FE D CB A 16 家庭作业 【习题 1】如图，已知 ， ， ，求证： ACBDACBDABC D C BA 【习题 2】点 M，N 在等边三角形 ABC 的 AB 边上运动，BD=DC，BDC=120，MDN=60，求 证 MN=MB+NC NM D CB A 【习题 3】在 中， ， 的平分线交 于 ，过 作 ， 为垂足，求ABC 3ABCBDBEAD 证： DE