三角函数常见题型

三角函数常见题型 三角函数常见题型 二、高考要求： 了解三角函数的图象与性质，理解同角关系；掌握三角函数的两角和（差） 的正弦、余弦和正切；理解正余弦定理并会应用煤焦油泵 【典型例题】 I、三角函数的图象与性质煤焦油泵 三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思 想，把图象和性质结合起来本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运 用 例 1、函数 的图象为 ，如下结论中正确的是 （写 出所有正确结论的编号） KCB 齿 轮油泵 图象 关于直线 对称；可调 压渣油泵 图象 关于点 对称； 函数 在区间 内是增函数；高压 渣油泵 由 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 答案： 例 2、下面有五个命题：KCB -300 函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 终边在 y 轴上的角的集合是a |a= | 齿轮油 泵 kcb 55 在同一坐标系中，函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点 把函数 高压 渣油 泵 函数 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的编号） KCB 齿轮 油泵 解析： ，正确；错误； ， 和 在第一象限无交点，错误；正确；错误故选 2CY 齿 轮油泵 例 3、设 z1=m+（2 m 2）i，z 2=cos +（ +sin ）i，其中 m， ， R，已知 z1=2z2，求 的取值范围 命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能 力和等价转化思想的运用螺杆油泵 知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题 来解决 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题螺杆油泵 技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题 转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的 平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题 解法一：z 1=2z2，渣 油泵 m+（ 2m 2）i=2cos +（2 +2sin ）i， =12cos 2 sin =2sin2 sin 1=2（sin ） 2 当 sin = 时， 取最小值 ，当 sin =1 时， 取最大值 2 解法二：z 1=2z2 YHB 卧式齿轮润滑 油泵 ，沥青 保温泵 =1 m 4（34 ）m 2+4 28 =0，设 t=m2，则 0t 4， zyb 增压燃油泵 令 f（t）=t 2（3 4 ）t+4 28 ，则 或 f（0 ）f（4 ） 0 螺杆油泵 0 或 0 2 的取值范围是 ，2煤焦油泵 例 4、如下图，某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin（x + ）+ b （1）求这段时间的最大温差 （2）写出这段曲线的函数解析式煤焦油泵 命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学 的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意” 的命题原则 KCB 齿轮油泵 知识依托：依据图象正确写出解析式可调压渣油泵 错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字 母 技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式 解：（1）由图示，这段时间的最大温差是 3010=20（）； （2）图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin（x+）+b 的半个周期 的图象高压渣油泵 =146 ，解得 = ，由图示 A= （3010 ） =10，b= （ 30+10）=20，这时 y=10sin（ x+）+20，将 x=6，y=10 代入 上式可取 = 综上所求的解析式为 y=10sin（ x+KCB-300 ）+20， x6 ，14 齿轮油泵 kcb 55 例 5、已知函数 f（x）=2cosxsin（x+ ） sin2x+sinxcosx （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）求 f（x ）的最小值及取得最小值时相应的 x 的值；高压渣油泵 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查 计算变形能力，综合运用知识的能力 知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识 错解分析：在求 f-1 （1）的值时易走弯路 KCB 齿轮油泵 技巧与方法：等价转化，逆向思维 解：（1）f（ x）=2cos xsin（x+ ） sin2x+sinxcosx =2cosx（sinxcos +cosxsin ） sin2x+sinxcosx2CY 齿轮油泵 =2sinxcosx+ cos2x=2sin（2 x+ ） f（x）的最小正周期 T= 螺杆油泵 （2）当 2x+ =2k ，即 x=k （kZ）时，f（x）取得最小值 2 方法归纳： 本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：螺杆油泵 1、考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三 角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用 2、三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分 析能力和逻辑思维能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点， 并可以逐渐加强渣油泵 3、三角函数与实际问题的综合应用 此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形 结合思想在解题中的应用 YHB 卧式齿轮润滑油泵 II、三角函数的式值 例 6、下列各式中，值为 的是（ ）沥青保温泵 （A） （B） （C） （D） 答案：B zyb 增压燃油泵 例 7、不查表求 sin220+cos280+ sin20cos80的值 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算 能力的要求较高 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用螺杆油泵 错解分析：公式不熟，计算易出错 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题， 使解法更简单更精妙，需认真体会 解法一：sin 220+cos280+ sin20cos80煤焦油泵 = （1cos40）+ （1+cos160）+ sin20cos80 =1 cos40+ cos160+ sin20cos（60+20 ） =1 cos40+ （cos120cos40sin120sin40 ）+ sin20 （cos60cos20sin60sin20） KCB 齿轮油泵 =1 cos40 cos40 sin40+ sin40 sin220 =1 cos40 （1cos40）= 可调压渣油泵 解法二：设 x=sin220+cos280+ sin20cos80 y=cos220+sin280 cos20sin80，则高压渣油泵 x+y=1+1 sin60= ，xy=cos40+cos160+ sin100 =2sin100sin60+ sin100=0KCB-300 x=y= ，即 x=sin220+cos280+ sin20cos80= 齿轮油泵 kcb 55 例 8、已知 ， （I）求 的值 （II）求 高压渣油泵 分析：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知 三角函数值求角以及计算能力 解：（I）由 ，得 ，于是 （II）由 ，得 KCB 齿轮油泵 又 ， 由 得： 2CY 齿轮油泵 所以 螺杆油泵 例 9、设关于 x 的函数 y=2cos2x2a cosx（2a+1）的最小值为 f（a ），试 确定满足 f（a ）= 的 a 值，并对此时的 a 值求 y 的最大值螺杆油泵 命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较 强的逻辑思维能力 知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题渣油泵 错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、 数形结合、分类讲座等 解：由 y=2（cosx ） 2 及 cosx 1，1得： YHB 卧式 齿轮润滑油泵 f（a）= 沥青保温泵 f（a）= ，14a = a= 2 ，+ 故 2a 1= ，解得：a=1 ，此时， zyb 增压燃油泵 y=2（cosx+ ） 2+ ，当 cosx=1 时，即 x=2k ，kZ，y max=5 方法归纳：螺杆油泵 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有： 1、求值问题的基本类型：1 给角求值，2给值求值，3给式求值，4 求函数式的最值或值域，5化简求值 2、技巧与方法： 煤焦油泵 1要寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公 式 2注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运 用 3对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口， 很难入手的问题，可利用分析法煤焦油泵 4求最值问题，常用配方法、换元法来解决 煤焦油泵 III、三角函数的综合运用 三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生 深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 3GR 螺杆泵 例 10、在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山，山顶设有一个观察站 P，上午 11 时，测得一轮船在岛北 30东，俯角为 60的 B 处，到 11 时 10 分又测得 该船在岛北 60西、俯角为 30的 C 处 （1）求船的航行速度是每小时多少千米；沥青齿轮泵 （2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的 D 处，问此时船距岛 A 有多远？ 命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运 用三角知识解决实际问题的能力 KCB 齿轮油泵 知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角 关系 错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错可调压渣油泵 技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问 题 解：（1）在 RtPAB 中，APB=60 PA=1，AB= （千米） 在 RtPAC 中，APC =30，AC= （千米）高压渣油泵 在ACB 中， CAB =30+60=90 KCB-300 （2）DAC=90 60=30 sinDCA=sin（180ACB）=sin ACB= sinCDA=sin（ACB30 ）=sin ACBcos30cosACBsin30 齿轮 油泵 kcb 55 在ACD 中，据正弦定理得 ，高压渣油泵 答：此时船距岛 A 为 千米 KCB 齿轮油泵 例 11、解不等式 分析：本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考 查基本运算能力 2CY 齿轮油泵 解：因为对任意 ， ，所以原不等式等价于 即 ， ， ，故解为 所以原不等式的解集为 螺杆油泵 例 12、设函数 ， ， 其中 ，将 的最小值记为 螺杆油泵 （I）求 的表达式； （II）讨论 在区间 内的单调性并求极值 分析：本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦 函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项 式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力本小题满分 14 分 解：（I）我们有渣油泵 YHB 卧式齿轮润滑油泵 由于 ， ，故当 时， 达到其最小值 ，即 沥青保温泵 （II）我们有 列表如下： 极大值 极小值 由此可见， 在区间 和 单调增加，在区间 单调减 小，极小值为 ，极大值为 zyb 增压燃油泵 例 13、已知 为 的最小正周期， ，且 ab 求 的 值 分析：本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式， 考查运算能力和推理能力本小题满分 12 分螺杆油泵 解：因为 为 的最小正周期，故 因 ，又 故 由于 ，所以煤焦油泵 煤焦油泵 例 14、已知函数 ， （I）求 的最大值和最小值；煤焦油泵 （II）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范 围 分析：本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、 三角函数的图象和性质解题的能力 3GR 螺杆泵 解：（） 沥青齿轮泵 又 ， ，即 ， （） ， ， 且 ，沥青泵 ，即 的取值范围是 例 15、如图，函数 的图象与 轴相 交于点 ，且该函数的最小正周期为 KCB 齿轮油泵 （1）求 和 的值； （2）已知点 ，点 是该函数图象上一点，点 是 的中 点，当 ， 时，求 的值 可调压渣油泵 解：（1）将 ， 代入函数 中得 ， 因为 ，所以 高压渣油泵 由已知 ，且 ，得 （2）因为点 ， 是 的中点， 所以点 的坐标为 KCB-300 又因为点 在 的图象上，且 ，所以 ， 齿轮油泵 kcb 55 ，从而得 或 ， 即 或 高压渣油泵 【模拟试题】 1、 是第四象限角， ，则 2、给出四个命题：（ 1）若 sin2A=sin2B，则ABC 为等腰三角形；（2） 若 sinA=cosB，则ABC 为直角三角形；（3 ）若 sin2A+sin2B+sin2C2，则 ABC 为钝角三角形；（4 ）若 cos（AB）cos（BC ）cos（CA）=1， 则ABC 为正三角形以上正确命题的个数是 KCB 齿轮油泵 3、在ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列，则 的值为_ 2CY 齿轮油泵 4、函数 f（x ）= （ ） cosx 在 ， 上的单调减区间为 _ 5、设 0，若函数 f（x）=2sinx 在 上单调递增，则 的取 值范围是_ 螺杆油泵 6、已知 ，cos （ ）= ，sin（ + ）= ，求 sin2 的值_ 7、在ABC 中，A 为最小角， C 为最大角，已知 cos（2A+C） = ，sinB= ，则 cos2（B +C）=_ 螺杆油泵 8、已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2，BC =6，CD=DA=4 ，求四 边形 ABCD 的面积 9、函数 的最小正周期和最大值分别为 ， 10、在 中，已知 ， ， 渣油泵 （）求 的值； （）求 的值 11、已知函数 YHB 卧式齿轮润滑油泵 （）求函数 的最小正周期； （）求函数 在区间 上的最小值和最大值 12、已知 、 为锐角，且 x（ + ）0，试证不等式 f（x）= x2 对一切非零实数都成立沥青保温泵 13、是否存在实数 a，使得函数 y=sin2x+acosx+ a 在闭区间 0， 上的最大值是 1？若存在，求出对应的 a 值；若不存在，试说明理 由 14、设二次函数 f（x）=x 2+bx+c（b ，cR），已知不论 、 为何实数恒 有 f（sin ） 0 和 f（2+cos ）0 zyb 增压燃油泵 （1）求证： b+c=1 ；螺杆油泵 （2）求证 c 3； （3）若函数 f（sin ）的最大值为 8，求 b，c 的值 【试题答案】 1、答案： 螺杆油泵 2、答案：2 解析：其中（3 ）（4 ）正确 3、解析： A+B+C= ，A+C=2B，煤焦油泵 答案： 煤焦油泵 4、答案： 解：在 ， 上，y=cos x的单调递增区间是 ，0 及 ， 而 f（x）依 cosx取值的递增而递减，故 ，0 及 ， 为 f（x）的递减区间 KCB 齿轮油泵 5、解：由 x ，得 f（x）的递增区间为 ， ，由题设 得 可调压渣油泵 6、解法一： ，0 + ， sin（ ）= sin2 =sin（ ）+（ + ）高压渣油泵 =sin（ ）cos（ + ）+cos（ ）sin（ + ） 解法二：sin（ ）= ，cos（ + ）= ，KCB-300 sin2 +sin2 =2sin（ + ）cos （ ）= sin2 sin2 =2cos（ + ）sin（ ）= sin2 = 齿轮油泵 kcb 55 7、解析： A 为最小角 2A+C=A+A+CA+B+C=180 cos（2A +C）= ，sin（2 A+C）= 高压渣油泵 C 为最大角，B 为锐角，又 sinB= 故 cosB= 即 sin（A+C）= ，cos（A+ C）= KCB 齿轮油泵 cos（B+C）=cosA =cos（2A+C ）（A+C）= ， cos2（B+C）=2cos 2（B+C）1= 答案： 2CY 齿轮油泵 8、解：如图：连结 BD，则有四边形 ABCD 的面积： S=SABD +S CDB= ABADsinA+ BCCDsinC A+C=180，sinA =sinC 螺杆油泵 故 S= （AB AD+BCCD）sinA = （24+64）sinA=16sinA 由余弦定理，在ABD 中， BD2=AB2+AD22 ABADcosA=2016cos A 在CDB 中，BD 2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC 2016cosA=5248cosC，cos C=cosA， 螺杆油泵 64cosA= 32，cos A= ，又 0A180 ，A=120 故 S=