三角函数图象和性质(总结的很全面_不看后悔)

三角函数专题辅导 课程安排 项目 内容 课时安排 专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 5 课时 专题辅导二 三角函数的图像性质及解题思路 12 课时 专题辅导三 形如 函数的基本性质sin()yAx 及解题思路 4 课时 专题辅导四 综合训练 6 课时 专题辅导五 结业考察 2 课时 专题辅导六 数学函数学习方法及二轮复习方 法探讨 2 课时 制作者：程国辉 2 专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时：4-5 学时 学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第 一 部 分 三 角 函 数 公 式 1、 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 ： cos( + )=cos cos -sin sin cos( - )=cos cos +sin sin sin( )=sin cos cos sin tan( + )=(tan +tan )/(1-tan tan ) tan( - )=(tan -tan )/(1+tan tan 2、 倍 角 公 式 ： sin(2 )=2sin cos =2/(tan +cot ) cos(2 )=(cos )2-(sin )2=2(cos )2-1=1-2(sin )2 tan(2 )=2tan /(1-tan2 ) cot(2 )=(cot2 -1)/(2cot ) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sisisisin2sico令 2222coconcon1sitat +stan s1 cointanta1令 4、同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 2222sicos1,tansec,1otcs （2）倒数关系：sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1, （3）商数关系： inota,ti 第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路： 一角二名三结构 首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函 3 数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。 基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差 角的变换. 如 ， ， ，()()2()()2()() ， 等） 。22 如： 1、已知 ， ，那么 的值是_/tan()51tan()4tan()432 2、 ，且 ， ，求 /029cos23sicos()4907 3、已知 为锐角， ， ，则 与 的函数关系为_/,i,xyco()5yx2431(1)55yx (2)三角函数名互化(切割化弦)，如 1、求值 /1sin0(tan0) 2、已知 ，求 的值/co21,(23tan(2)18 (3)公式变形使用（ 。如tatt1t 1、A、B 为锐角，且满足 ，则 _/nanABcos()AB2 2、 ， ， ， _三角形/等边C3t t34i (4)三角函数次数的降升(降幂公式： ， 与升幂公式：21coscs21cosin ， )。如21coss1cosin 1、若 ，化简 为_/3(,)2ssi2 2、 递增区间553fx)sincxsx3(R)51k,(kZ) (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如 1、 /tancosi)sintacosin 2、求证： ；2 1tisan 4 3、化简： / 4212costan()i()xxcos2x (6)常值变换主要指“1”的变换（ 221sin22setantcotxx 等） 。tansi42 如已知 ，求 （答： ）t22sinico335 (7)正余弦“三兄妹 ”的内存联系“知一求二” 。如i sixx、 1、若 ，则 _sincoxt （答： )，特别提醒：这里 ； 21t2,t 2、若 ，求 的值。 /1(0,)sic2tan473 3、已知 ，试用 表示 的值/ 2in1tak()4ksinco1k （8） 、辅助角公式中辅助角的确定： (其中 角所在的象限由 a, 2sincoiaxbabx b 的符号确定， 角的值由 确定)在求最值、化简时起着重要作用。如tanb （1）若方程 有实数解，则 的取值范围是_. /2,2si3cosx （2）当函数 取得最大值时， 的值是_/2yixtanx32 （3）如果 是奇函数，则 = /2in2()ft 5 专题辅导二 三角函数的图像性质及解题思路 课时：10 课时 学习目标： 1 会求三角函数的定义域 2 会求三角函数的值域 3 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法。如 与 的周期是 . xysincos 4 会判断三角函数奇偶性 5 会求三角函数单调区间 6 对 函数的要求sin()0,)yAx （1）五点法作简图 （2）会写 变为 的步骤isin()0,)yAx （3）会求 的解析式sn()yx （4）知道 ， 的简单性质cota()yx 7 知道三角函数图像的对称中心，对称轴 8 能解决以三角函数为模型的应用问题 （一） 、知识要点梳理 1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数 和余弦函数 图象的作图方法：五点法：先sinyxcosyx 取横坐标分别为 0， 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦3,2 曲线在一个周期内的图象。 1-1y=sinx -32 -52 -72 72 52 32 2- 2 -4 -3 -2 432- o y x 1-1y=cosx -32 -52-7 2 72 52 32 2- 2 -4 -3 -2 432- o y x y=tanx 322-32 -2 o y x 6 2、正弦函数 、余弦函数 的性质：sin()yxRcos()yxR （1）定义域：都是 R。 （2）值域：都是 ，对 ，当 时， 取最大值 1；当1,in2kZy 时， 取最小值1；对 ，当 时， 取最大值 1，当3xkZycosyxk 时， 取最小值1。如 （1）若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 _， sin(3)6abx2321ab 或 ） ；1,21 （2）函数 （ ）的值域是_/ 1, 2xxfcossi)( , （3）若 ，则 的最大值和最小值分别是_、_/7，56yin （4）函数 的最小值是_，此时2()2i()3f xsicox _x （答：2； ） ；()12kZ （5）己知 ，求 的变化范围/21cosincosint 10, （6） ，求 的最值/ ， ）ss222inymaxyin 特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？ 3、正弦、余弦、正切函数的图像和性质 4、周期性： ， 的最小正周期都是 2 ；sinyxcosx 和 的最小正周期都是 。()()fA(cos()fAx2|T 如 定义域 R R 值域 1,1,R 周期性 22 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 上为增函数；2 ,k 上为减函数（23 ,k ）Z ；上为增函数,k 上为减函数（12, ）Zk 上为k2, 增函数（ ）Z Zkx,21|且ytanxycosxysin 7 (1)若 ，则 _/1/23sin)(xf(1)2(3)(203)fff (2) 函数 的最小正周期为_/4cosicox4sin (3) 设函数 ，若对任意 都有 成立，则)5()(f Rx)()(21xfxf 的最小值为_/2|21x 5、奇偶性与对称性： (1)正弦函数 是奇函数，对称中心是 ，对称轴是直线sin()yxR,0kZ ；2xkZ (2)余弦函数 是偶函数，对称中心是 ，对称轴是直线cos()yx ,2kk ；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 轴的直线，对称中心为图象xk x 与 轴的交点） 。如 （1）函数 的奇偶性是_、52ysinx （答：偶函数） ； （2）已知函数 为常数） ，且 ，则 _31f()absin(a,b57f()5f() （答：5） ； （3）函数 的图象的对称中心和对称轴分别是_、_)cocs2xxy （答： 、 ） ；128k(,)(Z28kx(Z) （4）已知 为偶函数，求 的值。3f()sin()s() （答： ）6k() 6、单调性： 上单调递增，在 单调递减；sin2,2yxkkZ在 32,2kkZ 在 上单调递减，在 上单调递增。特别提醒，co, , 别忘了 ！kZ 7、 三角形中的有关公式： (1)内角和定理：三角形三角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意 两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 三内角都是锐角 三 内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方. (2)正弦定理： (R 为三角形外接圆的半径).2sinisinabcABC 注意：正弦定理的一些变式： ；isniABCsin,si,sin2abABCR ； ； 已知三角形两边一对角，求解三角形时，2cR2si,si,iab 若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. 8 (3)余弦定理： 等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状. 2222cos,bcaabA (4)面积公式： （其中 为三角形内切圆半径）.如11in()aShCrr 中，若 ，判断 的形状（答：直角三角形） 。ABCB222icosin ABC 特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意 这个特殊性： ；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，,i()i,cosAAB 常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。 如 （1） 中，A、B 的对边分别是 ，且 ，那么满足条件的 C ab、=60 4,a,b ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 （答：C） ； （2）在 中，AB 是 成立的_条件siniB （答：充要） ； （3）在 中， ，则 _12(ta)(t)2logsinC （答： ） ；12 (4)在 中， 分别是角 A、B、C 所对的边，若C,bc(abc)(siAnB ，则 _3sin)asiB （答： ） ；60 （5）在 中，若其面积 ，则 =_A 2243abcS （答： ） ；3 （6）在 中， ，这个三角形的面积为 ，则 外接圆的直径是_BC60 1, 3ABC （答： ） ；29 （7）在ABC 中，a、b、c 是角 A、B、C 的对边， = ，21,cos,cs3a则 的最大值为2bc （答： ） ；1932; （8）在ABC 中 AB=1，BC=2，则角 C 的取值范围是 （答： ） ；06C （9）设 O 是锐角三角形 ABC 的外心，若 ，且 的面积满足关系式75,AOBCA ，求 （答： ） 3ABCASS4 8、反三角函数： （1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）： 表示一个角，这个角的正弦值为 ,且这arcsina 个角在 内 。,2(1)a (2)反正弦 、反余弦 、反正切 的取值范围分别是 .rcsinxrcosxrtx )2,(,02 在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、 到 的角、 与 的夹角以及两向量的夹角时，1l21l2 9 你是否注意到了它们的范围？ ， ， (0,2,0,)0,2 9、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是 此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值） 。如 （1）若 ，且 、 是方程 的两根，则求 的值_,(0,)tant2560x （答： ） ；34 （2） 中， ，则 _ABC3si4cos6,in3cos1BAC （答： ） ；3 （3）若 且 ， ，求 的值020ii0cos （答： ）.2 专题辅导三 形如 函数的基本性质及解题思路sin()yAx 课时：4 课时 学习目标： 1、掌握形如 函数的基本性质。si()yx 2、知道解题方法。 （一） 、知识要点梳理 1、几个物理量：A：振幅； 频率（周期的倒数） ； ：相位； ：初相；1fTx 2、函数 表达式的确定：A 由最值确定； 由周sin()yx 期确定； 由 图象上的特殊点确定，如 ，(sin()0,fxA 的图|)2 象如图所示，则 _（答： ） ；)f 152si()3fx 3、函数 图象的画法：“五点法”设 ，令 0， 求sin()yAxXxX3,2 出相应的 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。 4、函数 的图象与 图象间的关系：函数 的图象纵坐标不变，si()ksinyxsiny 横坐标向左（ 0）或向右（ 0)在区间 , 上的最小值是2，则 的最小值等于34 A. B. C.2 D.3 322 5.设点 P 是函数 的图象 C 的一个对称中心，若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的最小值 ，xfsin)( 4 则 的最小正周期是)(xf A2 B . C. D. 24 6.已知 ，函数 为奇函数，则 a( )RaRxaxf|,sin)( （A）0 （B）1 （C）1 （D）1 7 为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所有的点xy),63si(2 Rxy,sin2 （A）向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）31 （B）向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）6 （C）向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变） （D）向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）6 8.已知函数 ,则 的值域是11()sinco)sinco22fxxx()f (A) (B) (C) (D) ,21, 9.函数 的最小正周期是（ ）1|sin(3)|2yx 24 10.函数 的单调增区间为tan4fx A ,2kkZ B ,1,kkZ 16 C D3,4kkZ 3,4kkZ 11.下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （A） （B） sin6yxsin26yx （C） （D）co43co 12.已知函数 （ 、 为常数， ， ）在 处取得最小值，则函数xbaxfssin)(ab0aRx4 是（ ）4fy A偶函数且它的图象关于点 对称 B偶函数且它的图象关于点 对称)0,( )0,23( C奇函数且它的图象关于点 对称 D奇函数且它的图象关于点 对称23 13 设 ，那么“ ”是“ ”的（ ）2、 tant 充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 14.函数 y= sin2+4sin x,x 的值域是212R (A)- , (B)- , (C) (D) 33121,2 21,2 二、填空题 15. 在 的增区间是 sin()4yx0,2 16.满足 的 的集合是 2co()Rx 17. 的振幅,初相,相位分别是 8si()y 18. ,且 是直线的倾斜角,则 tan1x 19.已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值是。()2si