《概率论》中反例的运用体会

概率论中反例的运用体会 【摘要】 概率论中的反例教学的目的其实是为了加强学生对数学概念及定理理解的一种 手段，能够帮助学生们在学习的过程中发现问题、解决问题以及提高自己的思维能力，增 高教学的质量，避免在学习中犯一些低级错误。因此，反例教学在高校数学教学过程具有 十分重要的作用，必须重视数学反例教学，使反例教学在教学中发挥最大的作用。本文主 要针对高校数学反例教学在概率论中的作用做了详细的分析。 【关键词】 概率论 ；反例；教学；作用 概率论主要是一门针对数学中大量随机现象统计规律研究的学科，具有严谨的理论 性与广泛性，是高等数学教学过程中的一门必修课程。目前，很多高校为了为学生提供良 好的学习知识，已经着手开展这项学科。传统的数学教学主要是以面对面讲述或者运用例 题示范证明等，促使学生学习的成绩往往达不到满意的效果。而反例教学在数学教学过程 中，主要以纠正学生学习的错觉，加深学生对数学理论及概念的理解为主要目的，提高学 生学习的积极性，并使学生的思维能力获得提高，针对部分出奇制胜的题目反例，学生可 以从中获得一定的“成就感” ，促使自己提高对数学学习的兴趣，提高学生在学习过程中充 分发挥自己的创造能力。 一、反例教学有利于加深概率论教学中的概念理解 1.概率论中的概念及理论具有抽象的特征。 概率论中的概念是学生学习数学理 论以及学习方法的最基础知识，学生掌握这些理论的概念、内涵以及本质知识的好坏直接 影响着学生学习知识的效果。学生在学习的过程中属于初级接触这些概念及理论，对它们 你的内容并不熟悉，因此，在概念、理论进行正面知识讲解时，学生不是很容易理解，并 且学习的思维容易被局限。因此，利用反例教学在进行概念、理论正面讲解的同时从其反 面对概念的本质进行分析，以此来弥补正面教学过程中的不足，加深学生对概念及理论知 识的记忆逐步加深，便于理解。举个例子来看： 2. 概率论中的理论系统内最基本的概念是概率，概率是概率论的基础，也就是 说想要学习这门功课的知识必须先学习概率的概念。比如，从概率的概念为出发点进行统 计定义：事件 A 发生的频率为 （A ） ，在实验 n 次的情况下，随着次数的增加而在区间nf 为0,1上的某一个数 p 处来回摆动，整个过程就可以说是 P 是事件 A 发生的概率。整个过 程发生过后，可能很多学生都会提出“在 P 处来回摆动是不是就说明整个事件发生的频率 就是以概率 P 为最大极限的呢？”类似于这样的问题。在这样的情况下，学生本身的思维 能力已经出现“混乱”现象，如果老师在从正面对学生进行讲解的话，学生的思维将会全 部被打乱，只是学生的想法与老师的想法起了冲突，学生无法理解，严重的会对概率的学 习产生厌恶，极大的降低了学生学习的积极性，反之，老师如果从反面讲解的话，正好与 学生内心的想法形成了鲜明的对比，以此推翻概率 P 是否为整个事件频率所发生的极限， 既简单又方便。进一步分析，此处所说的极限归根究底就是：针对任何所给的 ，均存在 一个相应的、充分大的整数 N，也就是说对一切 nN 的情况，均有 （A ）P nf 与之相符合。 3.目前，在高校的高等数学教学的过程中，我们必须充分的理解数学中的理论知识，在解 题过程中，充分利用反例抓住概率概念的本质，在一定程度上对其进行补充，深化学生对 知识的理解，以便于反例在学习过程中更好的发挥它的作用。 二、反例教学有利于促进概率论教学概念的正确应用 1. 概率论中的教学内容不单单只有概念和理论，除此之外还有大量的数学公式，公 式的主要作用就是用来针对某个发生的事件进行概率计算，并且每个公式都是相对独立的， 但均存在着统一的内在联系等。在概率论教学过程中，对公式的讲解课程一定要加强 重视，使学生充分认识每一个公式内的字母所代表的概念，以及概念的理论基础等一系列 的关系，为学习、计算等内容奠定坚实的基础等。 【1】 因此，在概率论数学教学过程中， 老师进行的正面讲解可以促使学生认识并掌握公式的应用，反例的教学可以加深和巩固公 式在学生脑海的记忆，可以准确的理解和运用公式。 2.传统的概率计算公式一般为：事件 A 的概率 P(A)= ，这里面的小 k 主要代表事件 Ank 中的基本数量，小 n 代表的是事件 A 中的总的基本数量。如果当条件满足 S 组时，此时就 只需要找出来一个等可能的完备（完备性容易受到保证）事件组就可以了。如果在计算过 程中出现错误的话，原因有可能就是对事件组计算过程中忽略了等可能性的存在。此时， 可以举一个反例来证明这个问题：比如，抛硬币。将两枚硬币同时抛出，解答事件 A 出现 “一反一正”的概率。 解答：假设事件 A 的样本空间为 （正正） 、 （反反） 、 （一正一反）三种可能出现的情 况，因此 n=3，那么概率 P= ，且此处的 P 是出现一正一反时的概率，与题目要求解答的31 答案不同，因此，此答案错误，出现错误的原因就是一正一反的结果不是等可能的，即使 是这样，抛出硬币可能出现的状况就只有两种可能：第一枚硬币正面时，第二枚硬币反面； 第一枚硬币反面时，第二枚硬币正面，因此，此时可能出现的事件样本空间就是（正正） 、 （反反） 、 （正反） 、 （反正）四种情况，所以，事件 A 思维概率 P= = 。 【2】 综上分析，421 出现这种错误的原因主要是在第一步的样本空间设立过程中忽略的等可能性，不符合传统 的公式计算应用，这个证明充分说明了反例在概率论教学中的重要地位。 三、反例教学有利于纠正概率论教学中出现的错误 1.反例对概率论教学中出现的分析错误具有直观以及明显的作用，通过反例进行教 学，不仅能够促使学生及时发现题目中出现的错误，然后在反例的证明中获得正确的答案， 既简便又快捷。举个学习过程中容易出现错误的例子：例 在四张相同的卡片上，分别记以 数码 4，9，42，49。从中随机抽取一张，另 A=抽到 2 的整数倍，B=抽到 3 的整数倍 ， C=抽到 7 的整数倍 试判断 A，B，C 是否独立？ 解：由题设知全集=4,9,42,49，A=4 ，42 ，B=9,42 ，C=42，49 AB=AC=BC=42 所以 P（AB ） = 1/4 = P(A)P(B) P（AC） = 1/4 = P(A)P(C) P（BC）= 1/4 = P(B)P(C) 因此 事件 A、B、C 两两独立，但是 P（ABC）= =P(A)P(B)P(C) 答： 事件 A、B、C 相互不独立。 经上述分析，想要区分 n 个事件是否两两独立或者相互独立的时候，一定要分清楚概念， 错误的认为事件的两两独立就是彼此之间的相互独立，造成答案错误。 四、反例教学有利于提高概率论教学中学生的创新能力 1. 概率论教学学习中，具有不同的难以程度，并不是所有的反例证明都是简单的， 这个必须根据具体问题具体分析而定。在学习过程中遇到难题需要反例证明的时候必须综 合考虑：（1）根据出现的问题联想与其相关的反例问题，并进行简要分析。 （2）对问题进 行详细的观察和思考，独立设立出证明所需要的反例，从而增高学生学习的创新能力。 2.从某种意义上讲， 概率论中反例的应用属于一种积极性的创造性的思维活动，通过 反例证明来提高学生对知识理解、理论分析、运用公式，创新思维以及独立解决问题等综 合方面的能力，同时还有助于提高学生学习的质量，促使概率论教学取得更高的效益 等。 结束语： 综上所述，数学中的概率论教学属于教学比较严密的一门学科，不仅具有自己独立 的思维方法以及逻辑推理等体系，还可以在学习的过程中激发学生学习的兴趣，自己独立 完成题目的反例证明，加深学生对概率论概念理解，深刻的掌握概率论中的概念、 理论等基础知识。此外，在教学的过程中，反例的学习有助于学生提高自身的综合思维能 力，提高自己的创新能力等，在解决问题的过程中积极发展逆向性思维，使概率论知 识的理解更加深刻。除此之外，反例在概率论学习中具有独一无二的作用，通过对它 的学习不仅可以深化学生对数学知识进一步的理解，分析，