中国矿业大学(徐州)09级 大一上学期 数学分析(1)期末试题(a卷)及答案

中国矿业大学 0910 学年第 1 学期 数学分析(1) 试卷(A) 考试时间：120 分钟 考试方式：闭卷 学院 理学院 班级_ _ _姓名_ _学号_ 题号 一 二 三 总分 得分 一、叙述题(每题 5 分共 20 分) 1叙述 在区间 上有上确界 的定义。)(xfIA 2叙述 的定义，并叙述 不是无穷大的定义。lim()xflim()xaf 2 3. 叙述闭区间上连续函数的介值性定理。 4. 叙述导数极限定理。 二、计算题（每题 5 分共 20 分） 1 设 （ ），求 。limna0,nalimna 第 3 页，共 6 页 2求曲线 在 对应点的切线方程。221,xtyt1 3求 。30tansilimxx 4求 的极值。34()2fx 4 三、证明题（每题 10 分共 60 分） 1设 ，证明数列 收敛。22113nan na 2. 设 在 连续，且 ， 。证明 在)(xf),Axfx)(limBxfx)(li )(xf 上一致连续。),( 3. 设 ，而 ，证明0lim()xgli()ufA 。0lim()xfg 第 5 页，共 6 页 4. 设 21sin,0()0xxf （1）求导函数 ；()f （2）证明 在点 不连续；x （3）证明 在点 的任何邻域不单调。()f0 5. 证明不等式： ，其中 。2arctn1hh0 6 6. 设 在 具有二阶导数，且 ，证明对 内任意 个点()fx,ab()0fx,abn 有不等式12,nx 11()nniiifxf 其中 10(,),ni i 参考答案 一、叙述题(每题 5 分共 20 分) （略） 二、计算题（每题 5 分共 20 分） 1 设 （ ），求 。limna0,nalimna 解 取 满足 ，由 知， ，当 时，0nNn00 从而 nnaa00 上式两边取极限并利用结论 ( 为常数)和迫敛性得 。1limnc1limna 2求曲线 在 对应点的切线方程。221,xtyt 解 因为 ， 所以当 时， ； 。t0,1xy 那么切线方程为 即1202 或 111()t ttdyx 第 7 页，共 6 页 当 时， ，故切线方程是1t0,xy10()2yx 3求 。30tansilimxx 解 。30tsilinx 30tan(1cos)lmixx2301limx 或 3033200 tasitasicslimllioxx xx2200 1cocon1lili6xx 或 333 300()()tansi !limlxxoxxo301()12li2xo 4求 的极值。34()fx 解 ，得稳定点2326()0x30,2xx)0,( 0 23,( ),()f + 0 + 0 ( 无极值 极大值 27/16 或 ，得稳定点232()64()0fxx30,x 8 又 ，2()1(1)fxxx()12)fx ，所以 在 不取极值。0,0f0 ，所以 在 取极大值 。3()92f337()6f 三、证明题（每题 10 分共 60 分） 1设 ，证明数列 收敛。2211,3nan na 证 显然 递增，下证 有上界。事实上，a2213nan ()1123n 。,n 于是由单调有界定理， 收敛。na 或 22211()()()npapnn 1()npn 由 Cauchy 准则，易知 收敛。a 2. 设 在 连续，且 ， 都存在。证明 在)(xf),lim()xfli()xf)(xf 上一致连续。),( 证 因为 存在，由 Cauchy 准则可知， ， ，当)(lifx01X 时，有1,Xx 。 (1)(xff 又由 存在， ，当 时，有)(limxfx02X2,X 第 9 页，共 6 页 。 (2)(xff 另一方面 在 上连续，所以在 一致连续。于是即对f1,21X1,21X 上述 ， ，当 ，且 就有),0(,2x 。 (3)(xff 这样，当 ，且 时，),(,x (i) 若 ，由(1)式， ；1X)(fxf (ii) 若 ，由(2)式， ；2, (iii) 若 或 ，则1x,21X 1,21Xx 由(3)式， 。)(xff 根据定义，即得 在 上一致连续。, 或 承上， 在 都是一致连续的，由书上例题结论f12(,)X 在 上一致连续。)(x) 3. 设 ，而 ，证明0limxgli()ufA 。0lim()xfg 证 由 ， ，当 时，有li()uf,Gu()f 由 ，对上面 ， ，当 时，有0lim()xg00x()g 综上， ， ，当 ，有00x()fA 即 0lim()xfgA 10 4. 设 21sin,0()0xxf （1）求导函数 ；()f （2）证明 在点 不连续；x （3）证明 在点 的任何邻域不单调。()f0 证 (1) 0 11limsin22xxf0()lixfico,0()1,2f x (2) 因为 ，而 不存在（理由见后），易知(用反证0 1lim2sinxx0limcosx 法) 不存在。所以 在点 不连续；0 liico2x)f 事实上，取 110,0()22nnxxnlimcos,licosnnnxx 由归结原则 不存在。0 1licosx (3) ()f在 的任何邻域都不能保持相同符号。 事实上，对一切正整数 有k113()0,()022ffk 而 。故 在 的任何邻域内都不单调。1limli2kkfx 第 11 页，共 6 页 5. 证明不等式： ，其中 。2arctn1hh0 证 设 xf)(，则 f在 ,上满足 Lagrange 中值定理的条件， 于是 ,0h，使得 21)0(0arctnrtarctn hfh 因为 h0，所以 hh221 从而 。2arctn 6. 设 在 具有二阶导数，且 ，证明对 内任意 个点()fx,ab()0fx,abn 有不等式12,nx 11(