2019届高三文科数学上学期第四次月考试卷含答案

2019届高三文科数学上学期第四次月考试卷含答案请注意： 时量120分钟 满分150分第I卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1.已知全集 ，集合 ，则集合 的子集个数是( )A. 4 B. 6 C. 7 D. 82.设 为虚数单位，若复数 在复平面内对应的点为 ，则 ( )A. B. C. D. 3.某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y5x150，则下列结论正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系 B.若r表示y与x之间的线性相关系数，则r5C.当销售价格为10元时，销售量为100件D.当销售价格为10元时，销售量为100件左右4.九章算术是我国古代一部数学名著，某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图，其中 表示m除以n的余数，例如 若输入m的值为8时，则输出i的值为( )A2 B3 C4 D55.算法统宗是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位。现有一邪田,广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田。若在邪田内随机种植一株茶树，则该株茶树恰好被种在圭田内的概率为( )A. B. C. D. 6.以等腰直角三角形 的斜边 上的中线 为折痕，将 与 折成互相垂直的两个平面得到一个三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论错误的是( )A. B. 平面ABD 平面BDC C. BC与平面ADC所成角为 D. 在平面ABD中至少存在一条直线平行BC7.在数列 中， 且 ，若数列 的前n项和为 ，则 ( )A. 0 B. 1 C.4 D.38.在 中， 为 的三等分点，则 ( )A. B. C. D. 9.将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列关于 的结论错误的是( )A. 的最小正周期为 B. 的关于点 对称 C. 关于直线 对称 D. 在区间上 单调递增10. 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则角 ( ) A. B. C. D. 11.已知双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为4，则此双曲线的离心率是( )A. B. C. D. 12.已知函数 ，若 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，若抛物线上一点 到焦点的距离为3，则 .14.已知向量 ，且变量 满足 ，则 的最大值 .15.若球O是棱长为3的正四面体 的内切球，则球O的表面积为 .16.已知函数 的图象关于点 对称，则 在闭区间 上的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17.(本小题12分)已知等差数列 的前n项和为 ，数列 为等比数列，且满足 .(1)求数列 和 的通项公式；(2)令 ，设数列 的前n项和为 ，求 .18.(本小题12分) 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值若该项质量指标值落在 内，则为合格品，否则为不合格品表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图 (1)根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两 条流水线分别生产出不合格品约多少件？(3)根据已知条件完成下面 列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这 种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？ 甲生产线 乙生产线 合计合格品 不合格品 合计 附： （其中 为样本容量） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819.(本小题12分)如图，在四棱锥PABCD中，PD丄底面ABCD，AB /CD，AB=2，CD=3，M为PC上一点，且PM =2MC.(1)求证：BM /平面PAD； (2)若 ，三棱锥PADM的体积为 ，求AD的长.20.(本小题12分)已知椭圆 ： 的离心率为 ，过点 且垂直于x轴的直线被 所截得的弦长为 .(1)求椭圆 的方程；(2)若椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ， 为原点， 在椭圆 上，且 ， ， 三点共线，直线 和 分别与y轴交于 ， 两点，求证： .21.(本小题12分) 已知函数 .(1) 若函数 有零点, 求实数 的取值范围;(2) 证明: 当 时, .22.(本小题10分) (不等式选讲)设函数 ，不等式 的解集为M.(1)求M；(2)当 时，证明： .2019届高三第四次月考试题文科数学参考答案请注意： 时量120分钟 满分150分第I卷（选择题，共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1.已知全集 ，集合 ，则集合 的子集个数是( D )A. 4 B. 6 C. 7 D. 82.设 为虚数单位，若复数 在复平面内对应的点为 ，则 ( B )A. B. C. D. 3.某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y5x150，则下列结论正确的是( D )A.y与x具有正的线性相关关系 B.若r表示y与x之间的线性相关系数，则r5C.当销售价格为10元时，销售量为100件D.当销售价格为10元时，销售量为100件左右4.九章算术是我国古代一部数学名著，某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图，其中 表示m除以n的余数，例如 若输入m的值为8时，则输出i的值为( B )A2 B3 C4 D55.算法统宗是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位。现有一邪田,广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田。若在邪田内随机种植一株茶树，则该株茶树恰好被种在圭田内的概率为( A )A. B. C. D. 6.以等腰直角三角形 的斜边 上的中线 为折痕，将 与 折成互相垂直的两个平面得到一个三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论错误的是( D )A. B. 平面ABD 平面BDC C. BC与平面ADC所成角为 D. 在平面ABD中至少存在一条直线平行BC7.在数列 中， 且 ，若数列 的前n项和为 ，则 ( C )A. 0 B. 1 C.4 D.38.在 中， 为 的三等分点，则 ( B )A. B. C. D. 9.将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列关于 的结论错误的是( C )A. 的最小正周期为 B. 的关于点 对称 C. 关于直线 对称 D. 在区间上 单调递增10. 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则角 ( D ) A. B. C. D. 11.已知双曲线 的一条渐近线被圆 所截得的弦长为4，则此双曲线的离心率是( A )A. B. C. D. 12.已知函数 ，若 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ A ）A B C D 第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，若抛物线上一点 到焦点的距离为3，则 .14.已知向量 ，且变量 满足 ，则 的最大值 .15.若球O是棱长为3的正四面体 的内切球，则球O的表面积为 .16.已知函数 的图象关于点 对称，则 在闭区间 上的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17.(本小题12分)已知等差数列 的前n项和为 ，数列 为等比数列，且满足 .(1)求数列 和 的通项公式；(2)令 ，设数列 的前n项和为 ，求 .解：（1）设 的公差为d， 的公比为q，则 (2) 18.(本小题12分) 某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值若该项质量指标值落在 内，则为合格品，否则为不合格品表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图 (1)根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两 条流水线分别生产出不合格品约多少件？(3)根据已知条件完成下面 列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这 种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？ 甲生产线 乙生产线 合计合格品 不合格品 合计 附： （其中 为样本容量） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828解：（1）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的平均数为：192.5 0.06+197.5 0.16+202.5 0.26+207.5 0.38+212.5 0.14=204.4 (2)由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件， 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为 ， 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为： （3） 列联表: 甲生产线 乙生产线 合计合格品 35 40 75不合格品 15 10 25合计 50 50 100 则 ， 因为 所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线 的选择有关” 19.(本小题12分)如图，在四棱锥PABCD中，PD丄底面ABCD，AB /CD，AB=2，CD=3，M为PC上一点，且PM =2MC.(1)求证：BM /平面PAD； (2)若 ，三棱锥PADM的体积为 ，求AD的长.证明：(1)在PD上取点N，使PN=2ND，连结AN,MN，易证四边形ABMN为平行四边形， (或在CD上取点N，使2CN=ND，连结BN,MN，易证平面PAD/平面BMN) 从而得证(2)过A作AH丄CD，垂足为H，因为PD丄底面ABCD，所以平面PCD丄平面ABCD，所以AH丄平面PCD.所以 易求AD=220.(本小题12分)已知椭圆 ： 的离心率为 ，过点 且垂直于x轴的直线被 所截得的弦长为 .(1)求椭圆 的方程；(2)若椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ， 为原点， 在椭圆 上，且 ， ， 三点共线，直线 和 分别与y轴交于 ， 两点，求证： .解:(1)由题意可知： 所以椭圆C： (2)设 ，则 ，且 即 又直线AE： 又直线AD： 21.(本小题12分) 已知函数 .(1) 若函数 有零点, 求实数 的取值范围;(2) 证明: 当 时, .解:(1)法1: 函数 的定义域为 .由 , 得 . 因为 ,则 时, ; 时, . 所以函数 在 上单调递减, 在 上单调递增. 当 时, . 当 , 即 时, 又 , 则函数 有零点. 所以实数 的取值范围为 . 法2：函数 的定义域为 .由 , 得 .令 ，则 .当 时, ; 当 时, .所以函数 在 上单调递增, 在 上单调递减.故 时, 函数 取得最大值 . 因而函数 有零点, 则 .所以实数 的取值范围为 . (2) 要证明当 时, , 即证明当 时, , 即 . 令 , 则 . 当 时, ;当 时, . 所以函数 在 上单调递减, 在 上单调递增. 当 时, . 于是,当 时, 令 , 则 . 当 时, ;当 时, . 所以函数 在 上单调递增, 在