【解析版】浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试(数学理)

2012-2013 学年浙江省金华市十校高三（下）4 月联考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有-项是符合题 目要求的 1 （5 分） （2013婺城区模拟）设全集 U=1，2，3，4，5，集合 A=1，2，B=2，3，则 AUB=（ ） A 4，5 B 2，3 C 1 D 2 考点： 交、并、补集的混合运算 专题： 计算题 分析： 利用集合的补集的定义求出集合 B 的补集；再利用集合的交集的定义求出 ACUB 解答： 解： 全集 U=1，2，3，4，5，集合 A=1，2，B=2， 3， UB=1，4， 5 AUB=1，21，4，5=1 故选 C 点评： 本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算 2 （5 分） （2013婺城区模拟） “a=2”是“直线 y=ax+2 与 y= 垂直”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 直线与圆 分析： 当 a=2 时两直线的斜率都存在，故只要看是否满足 k1k2=1 即可利用直线的垂直求出 a 的值， 然后判断充要条件即可 解答： 解：当 a=2 时直线 y=ax+2 的斜率是 2，直线 y= 的斜率是 2， 满足 k1k2=1 a=2 时直线 y=ax+2 与 y= 垂直， 直线 y=ax+2 与 y= 垂直，则a a=1，解得 a=2， “a=2”是“直线 y=ax+2 与 y= 垂直”的充分不必要条件 故选 A 点评： 本题通过逻辑来考查两直线垂直的判定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识 的应用 3 （5 分） （2013婺城区模拟）设 m，n 是不同的直线， 是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A 若 m，n，mn，则 B 若 m，n，mn，则 C 若 m，n，m n，则 D 若 m，n，m n，则 考点： 平面与平面之间的位置关系 专题： 空间位置关系与距离 分析： 利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案 解答： 解：选择支 C 正确，下面给出证明 证明：如图所示： mn，m、n 确定一个平面 ，交平面 于直线 l m，m l， ln n， l， l， 故 C 正确 故选 C 世纪金榜 圆您梦想 第 3 页（共 23 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 点评： 正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理是解题的关键 4 （5 分） （2013婺城区模拟）已知函数 f（x）=log 2 ，若 f（a）= ，则 f（a）=（ ） A 2 B 2 C D 考点： 对数的运算性质；函数奇偶性的性质 专题： 函数的性质及应用 分析： 先证明函数 f（x） 是奇函数，从而得到 f（ a）=f（a） ，结合条件求得结果 解答： 解： 已知函数 f（x）=log 2 ，f （x）=log 2 = =f（x） ， 故函数 f（x） 是奇函数，则 f（ a）=f（a）= ， 故选 D 点评： 本题主要考查利用对数的运算性质以及函数的奇偶性求函数的值，属于基础题 5 （5 分） （2013婺城区模拟）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A B 4 C 2 D 考点： 由三视图求面积、体积 专题： 空间位置关系与距离 分析： 由三视图可知：该三棱锥的侧面 PBC底面 ABC，PD 交线 BC，AE BC，且 AE=3，PD=2，CD=3 ，DB=1，CE=EB=2据此即可计算出其体积 解答： 解：由三视图可知：该三棱锥的侧面 PBC底面 ABC，PD交线 BC，AE BC，且 AE=3，PD=2，CD=3 ，DB=1，CE=EB=2 VPABC= = =4 故选 B 点评： 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键 6 （5 分） （2013婺城区模拟）从 1，2，3，9 这 9 个整数中任意取 3 个不同的数作为二次函数 f（x） =ax2+bx+c 的系数，则满足 Z 的函数 f（x） 共有（ ） A 263 个 B 264 个 C 265 个 D 266 个 考点： 二次函数的性质 专题： 函数的性质及应用 分析： 由题意可得 f（1）=a+b+c 是偶数，分 a，b，c 里面三个都是偶数和a，b，c 里面一个偶数、 两个奇数，两种情况，分别求得满足条件的（a，b，c）的个数， 相加即得所求 解答： 解：由题意可得 f（1）=a+b+c 是偶数，若 a，b，c 里面三个都是偶数，则（a ，b，c）共有 =24 个 世纪金榜 圆您梦想 第 5 页（共 23 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 若 a，b，c 里面一个偶数，两个奇数，则（a ，b，c）共有 =1046=240 个 故满足满足 Z 的（a，b，c）一共有 24+240=264 个，即满足 Z 的函数 f（x） 共有 24 个， 故选 B 点评： 本题主要考查二次函数的性质，排列组合的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题 7 （5 分） （2013婺城区模拟）若数列a n的前 n 项和为 Sn，则下列命题正确的是（ ） A 若数列 a n是递增数列，则数列S n也是递增数列： B 数列S n是递增数列的充要条件是数列a n的各项均为正数 C 若a n是等差数列，则对于 k2且 kN，S 1S2Sk=0 的充要条件是 a1a2ak=0 D 若a n是等比数列，则对于 k2且 kN，S 1S2Sk=0 的充要条件是 ak+ak+1=0 考点： 命题的真假判断与应用 专题： 等差数列与等比数列 分析： 利用等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前 n 项和的意义，通过举反例可得 A、B、C 不正 确经过检验，只有 D 正确，从而得出结论 解答： 解：A：数列a n的前 n 项和为 Sn，故 Sn =a1+a2+a3+an， 若数列a n是递增数列，则数列S n不一定是递增数列，如 an=n60，当 an0 时，数列S n是递 减数列，故 A 不正确 B：由数列S n是递增数列，不能推出数列a n的各项均为正数， 如数列：0，1，2，3，满足S n是递增数列，但不满足数列a n的各项均为正数，故 B 不正 确 C：若a n是等差数列（公差 d0） ，则由 S1S2Sk=0 不能推出 a1a2ak=0， 例如数列：3， 1，1，3，满足 S4=0，但 a1a2a3a40，故 C 不正确 D：一方面：若a n是等比数列，则由 S1S2Sk=0（k2， kN） ， 从而当 k=2 时，有 S1S2=0S2=0a1+a2=0， a2=a1，从而数列的a n公比为1，故有 ak+ak+1=akak=0 另一方面，由 ak+ak+1=0 可得 ak=ak+1，a 2=a1， 可得 S2=0， S1S2Sk=0（k2，k N） ，故 D 正确 故选 D 点评： 本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质，数列的前 n 项和的意义，举反例来说明某个命 题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题 8 （5 分） （2013婺城区模拟）设不等式组 表示的平面区域为 D若圆 C：（x+1） 2+（y+1 ） 2=r2（r 0）不经过区域 D 上的点，则 r 的取值范围是（ ） A 2 ，2 B （2 ，3 C （3 ，2 D （0，2 ） （2 ，+） 考点： 简单线性规划的应用 专题： 计算题；不等式的解法及应用 分析： 作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的MNP 及其内部，而圆 C 表示以（ 1，1）为圆 心且半径为 r 的圆观察图形，可得半径 rCM 或 rCP 时，圆 C 不经过区域 D 上的点，由此结 合平面内两点之间的距离公式，即可得到 r 的取值范围 解答： 解：作出不等式组 表示的平面区域， 得到如图的MNP 及其内部，其中 M（1，1） ，N（2，2） ，P（1，3） 圆 C：（x+1） 2+（y+1 ） 2=r2（r 0） ， 表示以 C（1， 1）为圆心，半径为 r 的圆 由图可得，当半径满足 rCM 或 rCP 时，圆 C 不经过区域 D 上的点， CM= =2 ，CP= =2 当 0 r2 或 r2 时，圆 C 不经过区域 D 上的点 故选：D 世纪金榜 圆您梦想 第 7 页（共 23 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 点评： 本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径 r 的取值范围着重考查了圆的标准 方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题 9 （5 分） （2013婺城区模拟）已知点 P 是双曲线 C： 左支上一点，F 1，F 2 是双曲线的左、右两个焦点，且 PF1PF2，PF 2 与两条渐近线相交于 M，N 两点（如图） ，点 N 恰好平分 线段 PF2，则双曲线的离心率是（ ） A B 2 C D 考点： 双曲线的简单性质 专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程 分析： 在三角形 F1F2P 中，点 N 恰好平分线段 PF2，点 O 恰好平分线段 F1F2，根据三角形的中位线定理 得出 ONPF1，从而得到 PF1F2 正切值，可设 PF2=btPF 1=at，再根据双曲线的定义可知 |PF2|PF1|=2a，进而根据勾股定理建立等式求得 a 和 b 的关系，则离心率可得 解答： 解：在三角形 F1F2P 中，点 N 恰好平分线段 PF2，点 O 恰好平分线段 F1F2， ONPF1，又 ON 的斜率为 ， tanPF1F2= ， 在三角形 F1F2P 中，设 PF2=btPF 1=at， 根据双曲线的定义可知|PF 2|PF1|=2a，bt at=2a， 在直角三角形 F1F2P 中，|PF 2|2+|PF1|2=4c2， b2t2+a2t2=4c2， 由消去 t，得 ， 又 c2=a2+b2， a2=（b a） 2，即 b=2a， 双曲线的离心率是 = ， 故选 A 点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握，属于基础题 10 （5 分） （2013婺城区模拟）在ABC 中，已知 =9，sinB=cosAsinC，S ABC=6，P 为线段 AB 上的点，且 =x +y ，则 xy 的最大值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 考点： 向量在几何中的应用；平面向量的综合题；正弦定理的应用 专题： 计算题；解三角形 分析： ABC 中设 AB=c，BC=a ，AC=b，由 sinB=cosAsinC 结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简 可求 cosC 的值，再由 =9，S ABC=6 可得 bccosA=9， bcsinA=6 可求得 c，b，a，建立以 AC 所在的直线为 x 轴，以 BC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系，由 P 为线段 AB 上的一点，则 存在实数 使得 =（3，4 4） （01） ，设 ， 则| |=| |=1， =（1，0） ， =（0，1） ，由 =x +y 推出 x 与 y 的关系式，利用 基本不等式求解最大值 解答： 解：ABC 中设 AB=c，BC=a，AC=b sinB=cosAsinC，sin（A+C）=sinCcosnA ，即 sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA sinAcosC=0 世纪金榜 圆您梦想 第 9 页（共 23 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 sinA0cosC=0 C=90 =9，S ABC=6 bccosA=9， bcsinA=6 tanA= ，根据直角三角形可得 sinA= ，cosA= ，bc=15 c=5， b=3，a=4 以 AC 所在的直线为 x 轴，以 BC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系可得 C（0，0）A （3，0） B（0，4） P 为线段 AB 上的一点，则存在实数 使得 =（3，44） （01） 设 ， 则| |=| |=1， =（1，0） ， =（0，1） ， =x +y =（x，0）+（0，y）=（x，y）可得 x=3，y=44 则 4x+3y=12， 12=4x+3y ，xy3 故所求的 xy 最大值为：3 故选 C 点评： 本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不 等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的 是一个单位向量，从而可用 x，y 表示 ，建立 x，y 与 的关系，解决本题的第二个关键点在于由 x=3，y=44 发现 4x+3y=12 为定 值，从而考虑利用基本不等式求解最大值 二、填空题：本大题有 7 小题，每小题 4 分，共 28 分 11 （4 分） （2013婺城区模拟）若 =a+bi（a，b R） ，则 ab 的值是 1 考点： 复数代数形式的乘除运算 专题： 计算题 分析： 利用复数的除法运算法则先把 化为i ，在根据复数相等即可得出 a，b，从而得出答案 解答： 解： = =i 又 =a+bi（ a，bR） ，a+bi=i，a=0，b=1 ab=0（1）=1 故答案为 1 点评： 熟练掌握复数的除法运算法则、复数相等的定义是解题的关键 12 （4 分） （2013婺城区模拟）在（2x ） 4 的二项展开式中，常数项是 8，则 a 的值为 1 考点： 二项式系数的性质 专题： 计算题 分析： 在（2x ） 4 的二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于令，求得 r 的值，即可得到常数项， 再根据常数项是 8，求得 a 的值 解答： 解：在（2x ） 4 的二项展开式中，通项公式为 Tr+1= （2x） 4r =（ a） r 24r 令 4 =0，解得 r=3，故常数项是 （a ） 3 2=8a=8，解得 a=1， 故答案为1 世纪金榜 圆您梦想 第 11 页（共 23 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档 题 13 （4 分） （2013婺城区模拟）某学校高一、高二、高三共有 2400 名学生，为了调查学生的课余学习情 况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本已知高一有 760 名学生，高二有 840 名学生， 则在该学校的高三应抽取 40 名学生 考点： 分层抽样方法 专题： 概率与统计 分析： 由所给的学校的总人数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，做出高三年级的人数， 乘以概率得到结果 解答： 解： 某高中共有学生 2400 人，采用分层抽样法抽取容量为 120 的样本， 每个个体被抽到的概率是 = ， 高三年级有 2400760840=800 人 要在高三抽取 800 =40 人， 故答案为：40 点评： 本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是做出每个个体被抽到的概率，用这个概率乘以指定年 级的人数，就可以得到这个年级要抽取的样本数 14 （4 分） （2013婺城区模拟）已知椭圆 C： + =1（a0，b0）的右焦点为 F（3，0） ，且点 （3 ， ）在椭圆 C 上，则椭圆 C 的标准方程为 + =1 考点： 椭圆的标准方程 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程 分析： 设出椭圆方程，利用椭圆的定义，求出 a 的值；根据椭圆中三个参数的关系求出 b，代入椭圆方 程即可 解答： 解：根据椭圆的方程为 + =1， 椭圆的右焦点坐标为（3，0） ， 椭圆的两个焦点坐标分别为（3，0） ， （3，0） ， 并且经过点点（3， ） ， 2a= + =6 a=3 椭圆两个焦点的坐标分别是（3，0） ， （3，0） ， c2=9， b2=a2c2=9， 椭圆的方程为 + =1 故答案为： + =1 点评： 求圆锥曲线的方程的问题，一般利用待定系数法；注意椭圆中三个参数的关系为 b2=a2c2 15 （4 分） （2013婺城区模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的 k= 4 考点： 循环结构 专题： 应用题 分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出不满 世纪金榜 圆您梦想 第 13 页（共 23 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 足条件 S=0+1+2+8+100 时，k+1 的值 解答： 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序， 可知：该程序的作用是： 输出不满足条件 S=0+1+2+8+100 时，k+1 的值 当 k=3 时，1+2+8=11100 而当 k=4 时，1+2+8+2 11100 故最后输出 k 的值为 4 故答案为：4 点评： 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是： ：分析流程图（或伪代码） ，从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参 与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学 模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模 16 （4 分） （2013婺城区模拟）已知数列a n是公差为 1 的等差数列，S n 是其前 n 项和，若 S8 是数列S n中 的唯一最小项，则a n数列的首项 a1 的取值范围是 （8，7） 考点： 等差数列的前 n 项和 专题： 等差数列与等比数列 分析： 利用等差数列的前 n 项和公式和二次函数的单调性即可得出 解答： 解： 数列 an是公差为 1 的等差数列，S n 是其前 n 项和， = S8 是数列S n中的唯一最小项， ，解得8a 1 7 an数列的首项 a1 的取值范围是（ 8，7） 故答案为（8， 7） 点评： 熟练掌握等差数列的前 n 项和公式和二次函数的单调性是解题的关键 17 （4 分） （2013婺城区模拟）对于函数 f（x） ，若存在区间 M=a，b，使得y|y=f（x） ，xM=M，则 称区间 M 为函数 f（x）的个“好区间”给出下列 4 个函数： f（x）=sinx； f（x）=|2 x1|； f（x）=x 33x； f（x）=lgx+l 其中存在“好区间” 的函数是 （填入相应函数的序号） 考点： 函数的值域；函数的定义域及其求法 专题： 新定义 分析： 题目给出的是新定义题，定义的“好区间”是指的如果存在一个区间 M=a，b ，使得以该区间为定 义域的前提下，函数的值域也是该区间 对于函数 f（ x）=sinx ，根据其在 上是单调增函数，通过分析方程 sinx=x 在 上仅有一解，在定义域其它范围内无解说明函数没有“好区间”； 通过分析函数 f（x）=|2 x1|的图象，知函数在0，+）上是增函数，在该范围内取 x0，1时， 对应的函数值的范围也是0， 1，说明区间0，1是函数的一个好区间； 通过对已知函数求导，分析出函数的单调区间，找到极大值点和极小值点，并求出极大值 b 和 极小值 a，而求得的 f（a）与 f（b）在a，b范围内，所以a，b 为该函数的一个“好区间”； 根据函数在定义域内是单调函数，函数若有“好区间”，则方程 f（x）=x 应有两根，利用函数单 调性，结合根的存在性定理判断即可 解答： 解： 函数 f（ x）=sinx 在 上是单调增函数，若函数在 上存在“好区 间”a ，b， 则必有 sina=a，sinb=b 即方程 sinx=x 有两个根，令 g（x）=sinx x，g （x）=cosx10 在 上恒成立， 所以函数 g（x）在 上为减函数，则函数 g（x）=sinx x 在 上至多有一 个零点， 世纪金榜 圆您梦想 第 15 页（共 23 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 即方程 sinx=x 在 上不可能有两个解，又因为 f（x）的值域为1，1，所以当 x 或 x 时， 方程 sinx=x 无解 所以函数 f（x）=sinx 没有“好区间”； 对于函数 f（ x）=|2 x1|，该函数在0，+）上是增函数，由幂函数的性质我们易得，M=0，1 时， f（x）0 ，1=M，所以 M=0，1为函数 f（x）=|2 x1|的一个“好区间”； 对于函数 f（ x）=x 33x，f （x）=3x 23=3（x 1） （x+1 ） 当 x（1，1）时，f （x）0 所以函数 f（x）=x 33x 的增区间是（，1） ， （1，+） ，减区间是（1，1） 取 M=2，2 ，此时 f（2）=2，f（1）=2，f （1）=2，f（2）=2 所以函数 f（x）=x 33x 在 M=2，2上的值域也为 2，2，则 M=2，2为函数的一个“好区间”； 函数 f（x） =lgx+1 在定义域（0，+）上为增函数，若有“好区间” 则 lga+1=a，lgb+1=b，也就是函数 g（x）=lgx x+1 有两个零点 显然 x=1 是函数的一个零点， 由 0，得 x ，函数 g（x）在 上为减函数； ，得 x 函数在（0， ）上为增函数 所以 g（x）的最大值为 g（ ）g（1）=0， 则该函数 g（x）在（0， ）上还有一个零点 所以函数 f（x）=lgx+1 存在“好区间” 故答案为 点评： 本题是新定义题，考查了函数的定义域与值域的关系，体现了数学转化思想，此题中单调函数存 在好区间的条件是 f（x）=x，正确理解“ 好区间”的定义是解答该题的关键，是中档题 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或算步骤 18 （14 分） （2013婺城区模拟）己知函数 三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f（B ）=1 （I）求角 B 的大小； （II）若 ，求 c 的值 考点： 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用 专题： 计算题；解三角形 分析： （I）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得 f（x） =sin（2x+ ） ，因此 f（B） =sin（2B+ ）=1 ，可得 2B+ = +2k（kZ） ，结合 B 为三角形的内角即可求出角 B 的大小； （II）根据余弦定理 b2=a2+c22accosB，结合题中的数据建立关于边 c 的方程，解之即可得到边 c 的值 解答： 解：（I） sinxcosx= sin2x， cos2x= （1+cos2x） = sin2x+ cos2x=sin（2x+ ） f（ B） =1，即 sin（2B+ ）=1 2B+ = +2k（kZ） ，可得 B= +k（k Z） B（0， ） ， 取 k=0，得 B= ； （II）根据余弦定理 b2=a2+c22accosB，得 12=（ ） 2+c22 ccos ， 化简整理得 c23c+2=0，解之得 c=1 或 2 即当 时，边 c 的值等于 c=1 或 2 点评： 本题给出三角函数式，在已知 f（B）=1 的情况下求三角形的角 B 大小并依此解 ABC，着重考查 了三角恒等变换、三角函数的性质和利用正余弦定理解三角形等知识，属于基础题 19 （14 分） （2013婺城区模拟）一个袋子装有大小形状完全相同的 9 个球，其中 5 个红球编号分别为 1，2，3，4，5，4 个白球编号分剐为 1，2，3，4，从袋中任意取出 3 个球 （I）求取出的 3 个球编号都不相同的概率； （II）记 X 为取出的 3 个球中编号的最小值，求 X 的分布列与数学期望 世纪金榜 圆您梦想 第 17 页（共 23 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 专题： 概率与统计 分析： （I）设“取出的 3 个球编号都不相同”为事件 A，先求出其对立事件“取出的 3 个球恰有两个编号相 同”的概率由古典概型公式，计算可得答案 （II）X 的取值为 1，2，3， 4，分别求出 P（X=1） ，P（X=3） ，P（X=4）的值，由此能求出 X 的 分布列和 X 的数学期望 解答： 解：（）设“取出的 3 个球编号都不相同”为事件 A，设“ 取出的 3 个球恰有两个编号相同”为事 件 B， 则 P（B）= = = ， P（ A）=1 P（B）= 答：取出的 3 个球编号都不相同的概率为 （）X 的取值为 1，2，3， 4 P（X=1）= = ， P（X=2）= = ， P（X=3）= = ， P（X=4）= = ， 所以 X 的分布列为： X1 2 3 4 P X 的数学期望 EX=1 +2 +3 +4 = 点评： 本题考查等可能事件的概率计算与排列、组合的应用以及离散型随机变量的期望与方差，属于基 础题 20 （14 分） （2013婺城区模拟）如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形， BAD=60，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 PB 上任意一点 （I）证明：平面 EAC平面 PBD； （II）若 PD平面 EAC，并且二面角 BAEC 的大小为 45，求 PD：AD 的值 考点： 用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 专题： 计算题；证明题；空间角；空间向量及应用 分析： （I）根据 PD平面 ABCD，得到 ACPD，结合菱形 ABCD 中 ACBD，利用线面垂直判定定理， 可得 AC平面 PBD，从而得到 平面 EAC平面 PBD； （II）连接 OE，由线面平行的性质定理得到 PDOE，从而在PBD 中得到 E 为 PB 的中点由 PD面 ABCD 得到 OE面 ABCD，可证出平面 EAC平面 ABCD，进而得到 BO平面 EAC，所 以 BOAE过点 O 作 OFAE 于点 F，连接 OF，证出 AEBF，由二面角平面角的定义得BFO 为二面角 BAEC 的平面角，即BFO=45分别在 RtBOF 和 RtAOE 中利用等积关系的三角函 数定义，算出 OE= ，由此即可得到 PD：AD 的值 解答： 解：（I） PD平面 ABCD， AC平面 ABCD，AC PD 菱形 ABCD 中，ACBD，PDBD=D AC平面 PBD 又 AC平面 EAC，平面 EAC平面 PBD； （II）连接 OE， PD平面 EAC，平面 EAC平面 PBD=OE，PD 平面 PBD PDOE，结合 O 为 BD 的中点，可得 E 为 PB 的中点 PD平面 ABCD， OE平面 ABCD， 又 OE平面 EAC，平面 EAC平面 ABCD， 平面 EAC平面 ABCD=AC，BO 平面 ABCD，BOAC 世纪金榜 圆您梦想 第 19 页（共 23 页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 BO平面 EAC，可得 BOAE 过点 O 作 OFAE 于点 F，连接 OF，则 AEBO，BO、OF 是平面 BOF 内的相交直线， AE平面 BOF，可得 AEBF 因此，BFO 为二面角 BAEC 的平面角，即BFO=45 设 AD=BD=a，则 OB= a，OA= a， 在 RtBOF 中，tan BFo= ，可得 OF= RtAOE 中利用等积关系，可得 OAOE=OFAE 即 aOE= a ，解之得 OE= PD=2OE= ，可得 PD：AD= ：2 即 PD：AD 的值为 点评： 题给出一个特殊四棱锥，要我们证明面面垂直，并在已知二面角大小的情况下求线段的比值，着 重考查了空间垂直位置关系的判断与证明和二面角平面角的求法等知识，属于中档题 21 （15 分） （2013婺城区模拟）已知抛物线 点的坐标为（12，8） ，N 点在抛 物线 C 上，且满足 ， O 为坐标原点 （I）求抛物线 C 的方程； （II）以 M 点为起点的任意两条射线 l1，l 2 的斜率乘积为 l，并且 l1 与抛物线 C 交于 A、B 两点，l 2 与抛 物线 C 交于 D、E 两点，线段 AB、DE 的中点分别为 G、 H 两点求证：直线 GH 过定点，并求出定点 坐标 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质 专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题 分析： （）利用向量线段即可得到点 N 的坐标，代入抛物线 C 的方程即可得到 p 的值，从而得到抛物 线 C 的方程； （）设直线 l1，l 2，的方程，与抛物线 C 的方程联立，利用根与系数的关系即可得到中点 G，H 的坐标，从而得到直线 GH 的方程，令 y=0，只要 x 是一个常数即可 解答： 解：（） ，点 M（12，8） ， ，即 N（9，6） 又 点 N 在抛物线 C 上，6 2=18p，解得 p=2 抛物线 C 的方程为 y2=4x （）由题意可知：直线 l1， l2 的斜率存在且不为 0， 设 l1：y=k（x12）+8，则 l2： 由 得到 ky24y+3248k=0， 是 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 又 y1+y2=k（x 1+x224）+16 ， x1+x2= ， 线段 AB 的中点 G 用 代替 k 即可得到点 H（2k 28k+12，