2016年全国硕士研究生入学统一考试数学三考研真题答案凯程首发

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数 学三考研真题答案凯程首发 下面凯程老师把 2016 年的真题答案全面展示给大家，供大家估分使用，以及 2017 年 考研的同学使用，本试题凯程首发，转载注明出处。 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）设函数 在 内连续，其导数如图所示，则（ ）()yfx,) （A）函数有 2 个极值点，曲线 有 2 个拐点(yfx （B）函数有 2 个极值点，曲线 有 3 个拐点) （C）函数有 3 个极值点，曲线 有 1 个拐点(yf （D）函数有 3 个极值点，曲线 有 2 个拐点)x 【答案】（B） xy0 【解析】【解析】由图像易知选 B 2、已知函数 ，则(,) xefy （A） （B ） （C） （D）0xyf0xyfxyffxyff 【答案】（D） 【解析】 ，所以2(1) xefy2xyef xyff （3）设 ，其中 ，(i,)iiDTd33(,),D101 ，则(,),(,),xyyxyxy 22 301 （A） 123 （B） T312 （C） 2 （D） 13 【答案】B 【解析】由积分区域的性质易知选 B. （4）级数为 ，（K 为常数）sin()n k11 （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与 K 有关 【答案】A 【解析】由题目可得， sin()sin()sin()n n nkkk 1 1 11 1 因为 ，由正项级数的比较si()() 判别法得，该级数绝对收敛。 （5）设 是可逆矩阵，且 与 相似，则下列结论错误的是（ ）,ABAB （A） 与 相似T （B） 与 相似1 （C） 与 相似T （D） 与 相似1 【答案】（C） 【解析】此题是找错误的选项。由 与 相似可知，存在可逆矩阵 使得 ，AB,P1AB 则 1 11 11 1 11()(),23 , TTTTPABPBABAD 故 （ ） 不 选 ；， 故 （ ） 不 选 ； 故 （ ） 不 选 ； 此外，在（C）中，对于 ，若 ，则1()TTPP =A ，而 未必等于 ，故（C）符合题意。综上可知，（C ）为正1()TTPAB1TP 确选项。 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！ 第 3 页 共 13 页 （6）设二次型 的正负惯性指数分别22123131231(,)()fxaxxx 为 ，则（ ）1,2 （A） a （B） （C） （D） 或12 【答案】（C） 【解析】考虑特殊值法，当 时， ，0a1231231(,)fxxx 其矩阵为 ，由此计算出特征值为 ，满足题目已知条件，故 成立， 01,0a 因此（C）为正确选项。 7、设 为随机事件， 若 则下面正确的是（ ,AB0()1,(),PAB()1PA ） （A） ()1P （B） 0 （C ） () （D） 1PA 【答案】（A） 【解析】根据条件得 ()(BP 1()() 1()AABPB 8、设随机变量 独立，且 ，则 为,XY,2(,4)NY:()DXY （A）6 （B）8 （C ）14 （D）15 【答案】（C） 【解析】因为 独立，,XY 则 2222()()()EEXY 222()()()14DXEYEXY 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9)已知函数 满足 ，则()fx()sinlimxfe3012lim()_xf0 【答案】6 【解析】因为 ()sin()sin()()limlililixx xxxff ffe30 0001212 2333 所以 6 (10)极限 lisinisin_x2012 【答案】 co 【解析】limsinisinlimsinsiincosx xi xd 12 00 0112 1 (11)设函数 可微， 有方程 确定，则(,)fuv(,)zy()(,)zyfzy2 ,_dz01 【答案】 ,dxy012 【解析】 两边分别关于 求导得()(,)fz,xy ，将 代入得， (,),()()(),xy yzfxzzf 212121 ,z01,dd0 (12) （13）行列式 _. 10432 【答案】 4 【解析】 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！ 第 5 页 共 13 页 4143210100=+4.32432+（ -） 14、设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回的取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球 都取到为止，则取球次数恰为 4 的概率为 【答案】 9 【解析】 21332()9PAC 三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15 （本题满分 10 分）求极限 4 10limcos2inxx 【解析】 4 10licos2nx4s2in10limxe243411()!0lixxx13e 16、（本题满分 10 分） 设某商品的最大需求量为 1200 件，该商品的需求函数 ，需求弹性()Qp ， 为单价（万元）(0)12pp (1)求需求函数的表达式 (2)求 万元时的边际收益，并说明其经济意义。 【解析】（1）由弹性的计算公式得 可知pdQp120 分离变量可知 d 两边同时积分可得 ln(120)QpC 解得 (120)QCp 由最大需求量为 1200 可知 ，解得(0) 故 120)1pp （2）收益 ()RQP 边际收益： 120(1)20dppp 已知 108pQ 经济学意义是需求量每提高 1 件，收益增加 8000 万元. （17）（本题满分 10 分） 设函数 求 ，并求 的最小值。,0102xdttxf xfxf 【解析】当 时， 31423122 xdttdtfx 当 时，1x3102xtxf 则xxxf12042xxf 由导数的定义可知， 21,0,2 fff 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！ 第 7 页 共 13 页 故 12042xxxxf 由于 是偶函数，所以只需求它在 上的最小值。f ， 易知 ;,0,x;,xf 可知 的最小值为 。f 321 （18）（本题满分 10 分）设函数 连续，且满足xf ，求00 xx edtfdtf f 【解析】令 ，则uxxx dufut000 代入方程可得 1000 xxxx edtftfdf 两边同时求导可得 0xxetff 由于 连续，可知 可导，从而 也可导。dtf0xf 故对上式两边再求导可得 xefxf 在(1)式两边令 可得010f 解此微分方程可得 23xexf （19）（本题满分 10 分）求 幂级数 的收敛域和和函数。 201nnx 【解析】令 20()1nxSx 两边同时求导得 210()nxS 两边同时求导得 220“()1nxx 两边积分可得 ()lSC 由 可知，01()lnl()ln(1)xSx 两边再积分可知 ()1l()l()Sxx 易知， 的收敛半径为 1， 201nn 且当 时级数收敛，可知幂级数的收敛域为-1,1,x 因此， ， -1,1()l()ln(1)Sxxx （20）（本题满分 11 分）设矩阵 ，且方程组 00,112aA 无解，Ax （）求 的值；a （）求方程组 的通解TAx 【解析】 （）由方程组 无解，可知 ，故这里有 ，(),)rA0A 或 。由于当 时， ，而当 100aA2aa(),)r 时， 。综上，故 符合题目。2a(),)rA 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！ 第 9 页 共 13 页 （）当 时， ，故0a 321,2TTAA ， 01(,)22 T 因此，方程组 的通解为 ,其中 为任意实数。TAx10xkk （21）（本题满分 11 分） 已知矩阵 . 0123 （）求 ；9A （）设 3 阶矩阵 ，满足 ，记 ，将123(,)B2BA1023(,) 分别表示为 的线性组合。12, 【解析】 （）利用相似对角化。 由 ，可得 的特征值为 ，故 .0EA1230,012A 当 时，由 ，解出此时 的属于特征值 的特征向量为 ;1()xA1013 当 时，由 ，解出此时 的属于特征值 的特征向量为2()0EA2 ;2 10 当 时，由 ，解出此时 的属于特征值 的特征向量为3(2)0EAxA32 .3 120 设 ，由 可得 ，123 1(,)20P1012PA1AP ，99A 对于 ，利用初等变换，可求出 ，故 3120P1021P9998991 10109030222121AP （） ，由于2322109BABABBA ， ，故123(,)1023(,) ，因此， 9998910101231231232(,)(,)(,)91091098911212312()(),()(),()(). （22）（本题满分 11 分）设二维随机变量 在区域(,)XY 上服从均匀分布，令2,01,Dxyxy1,XYU （I）写出 的概率密度；() （II）问 与 是否相互独立？并说明理由； 凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！ 第 11 页 共 13 页 （III）求 的分布函数 .ZUX()Fz 【答案】 （I） 23,01,xyxfxy其 他 （II） 与 不独立，因为 ；UX 11,22PUXPUX （III） 的分布函数Z23220,11,zzFzz 【解析】（1）区域 D 的面积 ，因为 服从区域 D 上的均匀31)()210xs ),(yxf 分布，所以 23(,).0xyfxy他 （2）X 与 U 不独立. 因为 111,=0,=,222PPXPYX, 所以 ,故 X 与 U 不独立。11,22PUXPU （3） ()01FzzzPXzPU,0,1P ,1,XzYXzY 又 ，23 0,1,zPXzYz 320,1,(),zPXzYz 所以 2320,1() .1()(),zzFzz （23）设总体 的概率密度为 ，其中 为未知参数，X 其 他,03,2xxf ，0 为来自总体 的简单随机样本，令 。321, 321,