2012年广东卷理科a(数学)

2012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A 数学（理科） 参考公式：主体的体积公式 V=Sh，其中 S 为柱体的底面积， h 为柱体的高。 锥体的体积公式为 ，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。 点 评 2012年 高 考 广 东 理 科 数 学 试 题 从 化 中 学 ： 陈 飞 林 1 难 度 略 有 下 降 ， 突 出 基 础 无 难 题 。 2012年 高 考 广 东 省 理 科 数 学 题 ， 总 体 来 看 难 度 略 有 下 降 ， 基 础 得 分题 约 103分 （ 1-7题 、 9-15题 ， 16-8题 ） ， 基 本 功 考 查 题 约 47分 （ 8题 、 19题 、 20题 、 21题 ） ， 无 难题 ， 是 近 几 年 来 考 题 最 简 单 的 一 年 。 2 代 数 计 算 量 大 ， 方 法 技 能 做 文 章 。 如 16题 角 的 计 算 ， 19题 通 项 公 式 的 求 法 ， 20题 解 析 几 何 向 函 数 不等 式 的 转 化 。 21题 的 一 元 二 次 函 数 的 分 类 讨 论 。 3 知 识 结 构 隐 定 ， 创 新 题 中 有 新 意 。 在 整 个 试 卷 中 ， 大 体 保 持 了 近 几 年 广 东 试 题 的 命 风 格 ， 如 填 空 题 与201年 结 构 和 形 式 基 本 一 致 ， 并 且 比 201年 填 空 题 简 单 。 这 一 点 为 新 一 年 的 高 考 复 习 提 供 了 一 些 有价 值 的 参 考 信 息 。 第 8题 体 现 了 较 大 创 新 ， 学 生 要 有 很 好 的 理 解 能 力 和 迁 移 能 力 以 及 推 理 能 力 （ 有 点竞 赛 味 ） 。 第 19题 数 列 问 题 隐 中 有 新 ， 看 似 复 杂 ， 其 实 简 单 一 反 近 几 年 广 东 高 考 题 ， 数 列 题 的 常 规 命 题 方 式 ， 命 题 思 想 更 理 性 ， 有 人 味 。 4 难 怪 偏 题 减 少 ， 基 本 功 考 查 加 强 。 整 卷 少 了 象 207年 理 20题 、 208年 理 21题 、 201年 理 21题 、 201年 理 20题 21题 这 样 的 怪 偏 题 ， 是 一 份 很 有 诚 意 的 考 试 题 ， 但 是 象 20题 、 21题 也 考 查 了 学 生 的 基 本功 ， 对 于 平 时 只 重 难 、 偏 、 怪 题 的 学 生 来 说 ， 并 不 是 好 事 ， 虽 然 题 难 度 不 大 ， 但 要 把 分 数 拿 到 也 非 易事 ， 对 于 数 学 复 习 来 说 ， 无 疑 释 放 了 一 个 重 要 信 息 就 是 基 本 功 扎 实 是 非 常 重 要 的 。 也 就 是 不 管 高考 题 千 变 万 变 ， 我 们 的 复 习 要 以 不 变 应 万 变 ， “考 点 和 知 识 考 查 是 不 变 的 ”。 5 中 间 层 面 高 兴 ， 尖 优 生 欲 哭 无 泪 。 整 卷 由 于 只 顾 考 生 的 得 分 率 和 平 均 分 ， 迎 合 社 会 的 好 评 ， 因 而 少 了区 分 度 较 高 的 题 ， 中 间 学 生 来 说 是 该 大 欢 喜 ， 但 对 于 高 层 学 生 来 说 就 毫 无 优 势 。 2012年 广 东 省 理 科 数 学 详 细 答 案 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 8小 题 ， 每 小 题 5分 ， 满 分 40分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合题 目 要 求 的 1 设 i为 虚 数 单 位 ， 则 复 数 6i= A 6+5i B 6-5i C -6+5i D -65i 解 ： 2ii， 故 选 C 2 设 集 合 U=1,2,3,4,5,6， M=1,2,4 则 = A .U B 1,3,5 C 3,5,6 D 2,4,6 选 C 3 若 向 量 =（ 2,3） ， A=（ 4,7） ， 则 B= A （ -2,-4） B (3,4) C (6,10 D (-6,-10) 解 ： 2， 故 选 A 4.下 列 函 数 中 ， 在 区 间 （ 0， + ） 上 为 增 函 数 的 是 A.y=ln（ x+2） B.y=-1x C.y=（ ） x D.y=x+ 解 ： A 5.已 知 变 量 x， y满 足 约 束 条 件 21yx， 则 z=3x+y 的 最 大 值 为 A.12 B.1 C.3 D.-1 解 ： 画 约 束 区 域 如 右 ， 令 z=0得 yx， 化 目 标 函 数 为 斜 截 式 方 程 ： yx得 ， 当 ,2时 max1z， 故 选 B 【 评 】 1-5题 是 送 分 题 ， 确 是 宽 和 仁 厚 的 题 。 6,某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 1所 示 ， 它 的 体 积 为 A 12 B.45 C.57 D.81 解 ： 几 何 体 直 观 图 如 右 ， 几 何 体 由 一 个 圆 柱 和 一 个 同 底 的 圆 锥 构 成 。 圆 锥 的 高 231PO， 1459573V圆 柱 圆 锥 故 选 C 【 评 】 此 题 难 度 圆 锥 的 高 如 何 求 和 由 三 视 图 恢 复 直 观 图 这 两 个 点 ， 有 少 量 的 学 生 在 这 一 题 上 会 丢 分 。 7.从 个 位 数 与 十 位 数 之 和 为 奇 数 的 两 位 数 中 任 取 一 个 ， 其 个 位 数 为 0的 概 率 是 A. 49 B. 3 C. 2 D. 19 解 ： 设 个 位 数 与 十 位 数 分 别 为 ,xy， 则 21,3456,789k 所 以 ,xy分 别 为 一 奇 一 偶 ， 第 一 类 为 奇 ， 为 偶 数 共 有 15C个 数 第 一 类 为 偶 ， 为 厅 数 共 有 420个 数 两 类 共 有 45个 数 ， 其 中 个 位 是 0十 位 数 是 奇 数 的 两 位 有 10， 30， 50， 70， 90这 5个 数 所 以 其 个 位 数 为 0的 概 率 是 159， 选 D。 【 评 】 此 题 看 似 简 单 ， 但 知 识 考 查 点 却 比 较 多 ， 又 涉 及 到 分 类 与 分 步 混 合 问 题 ， 对 计 数 原 理 及 排 列 组 合 学得 不 好 的 同 学 ， 难 得 分 数 ， 因 而 本 题 就 成 了 一 个 得 分 率 较 低 的 题 了 ， 从 而 也 是 有 区 分 度 的 题 。 y=2 y=x-1 x+y=1 y=-3x B(3,2)C(-1,2) 2 A(1,0) X X CD BO1A P O 5.已 知 变 量 x， y满 足 约 束 条 件 21yx， 则 z=3x+y 的 最 大 值 为 A.12 B.1 C.3 D.-1 解 ： 画 约 束 区 域 如 右 ， 令 z=0得 yx， 化 目 标 函 数 为 斜 截 式 方 程 ： yx得 ， 当 ,2时 max1z， 故 选 B 【 评 】 1-5题 是 送 分 题 ， 确 是 宽 和 仁 厚 的 题 。 6,某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 1所 示 ， 它 的 体 积 为 A 12 B.45 C.57 D.81 解 ： 几 何 体 直 观 图 如 右 ， 几 何 体 由 一 个 圆 柱 和 一 个 同 底 的 圆 锥 构 成 。 圆 锥 的 高 231PO， 1459573V圆 柱 圆 锥 故 选 C 【 评 】 此 题 难 度 圆 锥 的 高 如 何 求 和 由 三 视 图 恢 复 直 观 图 这 两 个 点 ， 有 少 量 的 学 生 在 这 一 题 上 会 丢 分 。 7.从 个 位 数 与 十 位 数 之 和 为 奇 数 的 两 位 数 中 任 取 一 个 ， 其 个 位 数 为 0的 概 率 是 A. 49 B. 3 C. 2 D. 19 解 ： 设 个 位 数 与 十 位 数 分 别 为 ,xy， 则 21,3456,789k 所 以 ,xy分 别 为 一 奇 一 偶 ， 第 一 类 为 奇 ， 为 偶 数 共 有 15C个 数 第 一 类 为 偶 ， 为 厅 数 共 有 420个 数 两 类 共 有 45个 数 ， 其 中 个 位 是 0十 位 数 是 奇 数 的 两 位 有 10， 30， 50， 70， 90这 5个 数 所 以 其 个 位 数 为 0的 概 率 是 159， 选 D。 【 评 】 此 题 看 似 简 单 ， 但 知 识 考 查 点 却 比 较 多 ， 又 涉 及 到 分 类 与 分 步 混 合 问 题 ， 对 计 数 原 理 及 排 列 组 合 学得 不 好 的 同 学 ， 难 得 分 数 ， 因 而 本 题 就 成 了 一 个 得 分 率 较 低 的 题 了 ， 从 而 也 是 有 区 分 度 的 题 。 y=2 y=x-1 x+y=1 y=-3x B(3,2)C(-1,2) 2 A(1,0) X X CD BO1A P O 没 有 变 化 题 ， 看 命 题 人 真 是 好 人 。 1.已 知 递 增 的 等 差 数 列 na满 足 132,4a， 则 _n。 解 ： 【 评 】 此 题 与 201年 广 东 理 科 第 1题 “等 差 数 列 n前 9项 的 和 等 于 前 4项 的 和 。 若 14,0ka，则 k=_”比 较 就 是 一 道 没 有 变 化 题 ， 看 命 题 人 真 是 好 人 。 12.曲 线 y=x3-+3在 点 （ 1， 3） 处 的 切 线 方 程 为 。 解 ： 点 （ 1， 3） 在 .曲 线 y=x 3-+3上 。 21,yxk 由 点 斜 式 方 程 可 得 点 （ 1， 3） 处 的 切 线 方 程 为 ： 【 评 】 此 题 与 201年 广 东 理 科 第 12题 “ 函 数 2()3fx在 x=_处 取 得 极 小 值 ”比 较 就 是 一 道 没 有 变 化 题 ， 看 命 题 人 真 是 好 人 。 13.执 行 如 图 2所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 入 n的 值 为 8， 则 输 出 s的 值 为 。 （ 二 ） 选 做 题 （ 14-5题 ， 考 生 只 能 从 中 选 做 一 题 ） 14， （ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 曲 线 C 1和 C2的 参 数 方 程 分 别 为,()xty为 参 数 和 2cos,()inxy为 参 数 ， 则 曲 线 C1与 C2的 交 点 坐 标 为 _。 解 ： 曲 线 C 1的 普 通 方 程 为 20， C2的 普 通 方 程 为 2xy， 联 立 20xy 解得 11xxyy或 则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为（ -1， 1）或（ 1， 1） 15.（几何证明选讲选做题）如图 3，圆 O 的半径为 1， A、 B、 C 是圆周上的三点，满足 ABC=30，过 点 A 做圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P，则 PA=_。 解：连 OA 得 AOP=60，所以 OP=2， PC=1 所以 2(2)13,3PAPCPCPA 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.（本小题满分 12 分） 已知函数 ()2cos6fxx ，（其中 0， x R）的最小正周期为 10。 （ 1）求 的值； （ 2）设 55516,0,(5),(5)236617ff ，求 cos（）的值。 解：（ 1） ,201015TA （ 2）由（ 1）得 1()2cos56fxx ， 6515(5)2cos(5)2cos()2sin535362fA 34sin,cos55 16515815(5)2cos(5)2cos,cos,sin1765661717fA 4831513coscoscossinsin51751785 _P_O _A _B _C 17. （ 本 小 题 满 分 13分 ） 某 班 50位 学 生 期 中 考 试 数 学 成 绩 的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 4所 示 ， 其 中 成 绩 分 组区 间 是 ： 40,550,660,77,880,990,10。 （ 1） 求 图 中 x的 值 ； （ 2） 从 成 绩 不 低 于 80分 的 学 生 中 随 机 选 取 2人 ， 该 2人 中 成 绩 在 90分 以 上 （ 含 90分 ） 的 人 数 记 为 ，求 得 数 学 期 望 。 解 ： （ 1） 图 中 x所 在 组 为 80， 90即 第 五 组 5(.4.13.6)10.82,0.18f x （ 2） 成 绩 不 低 于 80分 的 学 生 所 占 的 频 率 为 (.6)24f 所 以 成 绩 不 低 于 80分 的 学 生 有 ： 5.4人 成 绩 不 低 于 90分 的 学 生 人 数 为 ： 013 所 以 为 的 取 值 为 0， 1， 2 2916()CP， 1932()CP， 231()CP 所 以 为 的 分 布 列 为 ： 0 1 2 P 12 92 1 所 以 为 的 数 学 期 望 E 18.（ 本 小 题 满 分 13分 ） 如 图 5所 示 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD中 ， 底 面 ABCD为 矩 形 ， PA 平 面 ABCD， 点 E在 线 段 P上 ， P 平 面 BE。 （ 1） 证 明 ： 平 面 PAC； （ 2） 若 PA=1， AD=2， 求 二 面 角 B-PC-A的 正 切 值 ； （ 1） 证 明 ： 因 为 P 平 面 ABCD， ,PA平 面 又 因 为 PC 平 面 BDE， ,平 面 而 ， 所 以 ： BD 平 面 PAC； （ 2） 由 （ 1） BD 平 面 PAC， 所 以 ， 又 四 边 形 ABCD为 矩 形 所 以 四 边 形 ABCD是 正 方 形 。 设 AC交 D于 O点 ， 因 为 PC 平 面 BDE， 所 以 O即 二 面 角 B-PC-A的 平 面 角 ,2,2 213， 又 13E 在 直 角 三 角 形 BEO中 ， 2tan13BE 所 以 二 面 角 B-PC-A的 正 切 值 为 13。 【 评 】 201年 广 东 省 立 体 几 何 考 试 题 是 实 行 新 课 程 标 准 以 来 最 简 单 的 一 年 。 但 是 对 于 只 会 用 坐 标 法 同 学 来 说 ， 复 杂 的 计 算 也 会 占 用 很 多 时 间 。 19. （ 本 小 题 满 分 14分 ） 设 数 列 na的 前 n项 和 为 Sn， 满 足 12,nnaN且 123,5a成 等 差 数 列 。 （ 1） 求 1的 值 ； （ 2） 求 数 列 n的 通 项 公 式 。 （ 3） 证 明 ： 对 一 切 正 整 数 n， 有 12312naa . 解 ： （ 1） 12,nSaN 又 13,5成 等 差 数 列 ， 1123213709a (2) ,nnSa 1,nnS （ 2） 假 设 点 M（ m,n） 存 在 ， 则 有 21n 21|AB 22221()oABSnnmn 2221,0,0m 当 且 仅 当 22n即 1时 oABS有 最 大 值 12 联 立 22313m 所 以 所 求 M点 的 坐 标 为 3232(,)(,),(,)(,) 【 评 】 2012年 广 东 省 理 科 解 析 几 何 题 ， 体 现 了 与 广 州 市 的 水 平 测 试 题 的 有 效 结 合 ， 与 201年 高 二 水 平 测试 析 其 相 似 。 21.（ 本 小 题 满 分 14分 ） 设 a， 集 合 2|0,|3(1)60,AxRBxRaxDAB （ 1） 求 集 合 D（ 用 区 间 表 示 ） （ 2） 求 函