2017年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合 A=x|2x 1 0， B=x|0 x 1，那么 A B 等于（ ） A x|x 0 B x|x 1 C D x|0 x 2已知实数 x， y 满足 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ） A 4 B 6 C 10 D 12 3直线 被圆 =1所截得的弦长为（ ） A 1 B C 2 D 4 4设 R， “ “”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5我国南宋数学家秦九韶（约公元 1202 1261 年）给出了求 n（ n N*）次多项式 11+ + x=的值的一种简捷算法该算法被后人命名为 “秦九韶算法 ”，例如，可将 3 次多项式改写为 （ a2）x+x+后进行求值运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值 A x4+x+4 B x+5 C x3+x+3 D x+4 6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A B C D 5 7如图，在矩形 ， ， ，点 E 为 中点，点 F 在边 = ，则 的值是（ ） A 2 B 1 C D 2 8如图，将正三角形 割成 m 个边长为 1 的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成 n 个边长为 1 的小正三角形若 m： n=47： 25，则三角形 边长是（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9若复数 是纯虚数，则实数 a 的值为 10在数列 ， ， an= 2（ n=1， 2， 3， ），那么 于 11若抛物线 焦点与双曲线 的右顶点重合，则 p= 12如果将函数 f（ x） =3x+）（ 0）的图象向左平移 个单位所得到的图象关于原点对称，那么 = 13将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名 学生，则不同的分法的总数是 （用数字作答） 14已知 当 a=1 时， f（ x） =3，则 x= ； 当 a 1 时，若 f（ x） =3 有三个不等实数根，且它们成等差数列，则 a= 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 15（ 12 分）已知 a， b， c 分别是 三个内角 A， B， C 的三条对边，且c2=a2+ （ ）求角 C 的大小； （ ）求 最大值 16（ 12 分）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的 1200 个数据（数据 均在区间（ 0， 50内）中，按照 5%的比例进行分层抽样，统计结果按（ 0， 10，（ 10， 20，（ 20， 30，（ 30， 40，（ 40， 50分组，整理如下图： （ ）写出频率分布直方图（图乙）中 a 的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小（只需写出结论）； （ ）从甲种酸奶日销售量在区间（ 0， 20的数据样本中抽取 3 个，记在（ 0，10内的数据个数为 X，求 X 的分布列； （ ）估计 1200 个日销售量数据中，数据在区间（ 0， 10中的个数 17（ 14 分）九章 算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 如图，在阳马 P ，侧棱 底面 D， E 为 点，点 F 在 ，且 平面 接 （ ）证明： 平面 （ ）试判断四面体 否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； （ ）已知 ， ，求二面角 F B 的余弦值 18（ 14 分）已知函数 f（ x） =1 （ ）求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）求证：当 x 0 时， ； （ ）若 x 1 任意 x 1 恒成立，求实数 a 的最大值 19（ 14 分）已知椭圆 E： + =1（ a b 0）过点（ 0， 1），且离心率为 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）设直线 l： y= +m 与椭圆 E 交于 A、 C 两点，以 对角线作正方形直线 l 与 x 轴的交点为 N，问 B， N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由 20（ 14 分）已知集合 X|X=（ ， 0， 1， i=1， 2， ，n（ n 2）对于 A=（ ， B=（ ， 义 A 与 B 之间的距离为 d（ A， B） =| | （ ）写出 的所有元素，并求两元素间的距离的最大值； （ ）若集合 M 满足： M 任意两元素间的距离均为 2，求集合 M 中元素个数的最大值并写出此时的集合 M； （ ）设集合 P P 中有 m（ m 2）个元素，记 P 中所有两元素间的距离的平均值为 ，证明 2017 年北京市石景山区高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试 题解析 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合 A=x|2x 1 0， B=x|0 x 1，那么 A B 等于（ ） A x|x 0 B x|x 1 C D x|0 x 【考点】 交集及其运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的交集即可 【解答】 解： A=x|2x 1 0=x|x ）， B=x|0 x 1 A B=x|0 x 故选： D 【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的 关键 2已知实数 x， y 满足 ，则 z=2x+y 的最大值是（ ） A 4 B 6 C 10 D 12 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ 4， 2）， 化目标函数 z=2x+y 为 y= 2x+z，由图可知，当直线 y= 2x+z 过 A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为 10 故选： C 【点评】 本题考查简单的线性规划，考查了数形 结合的解题思想方法，是中档题 3直线 被圆 =1所截得的弦长为（ ） A 1 B C 2 D 4 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出弦长 【解答】 解：圆 =1的极坐标方程转化成直角坐标方程为： x2+ 直线 转化成直角坐标方程为： x= 所以：圆心到直线 x= 的距离为 则：弦长 l=2 = 故选： B 【点评】 本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离及 勾股定理的应用 4设 R， “ “”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可 【解答】 解：若 =，（ k z）， 故 2=2，故 ，是充分条件， 若 ，则 2=， = + ，（ k z）， 不是必要条件， 故选： A 【点评】 本题考查了充分必要条件 ，考查三角函数的性质，是一道基础题 5我国南宋数学家秦九韶（约公元 1202 1261 年）给出了求 n（ n N*）次多项式 11+ + x=的值的一种简捷算法该算法被后人命名为 “秦九韶算法 ”，例如，可将 3 次多项式改写为 （ a2）x+x+后进行求值运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值 A x4+x+4 B x+5 C x3+x+3 D x+4 【考点】 程序框图 【分析】 由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的 k， S 的值，即可得解 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 k=0， S=1， k=1， S=x+1， 满足条件 k 4，执行循环体， k=2， S=（ x+1） x+2=x2+x+2 满足条件 k 4，执行循环体， k=3， S=（ x2+x+2） x+3=x3+x+3 满足条件 k 4，执行循环体， k=4， S=（ x3+x+3） x+4=x4+x+4 不满足条件 k 4，退出循环，输出能求得多项式 x4+x+4 的值 故选： A 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题，是基础题目 6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ） A B C D 5 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出它的表面积 【解答】 解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱底面 所以， S 2 2=2， S 1= ， S 2= ； 所以，该三棱锥的表面积为 S=2+2 + =2+2 故选 B 【点评】 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题 7如图，在矩形 ， ， ，点 E 为 中点，点 F 在边 = ，则 的值是（ ） A 2 B 1 C D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据题意，可分别以边 在直线为 x 轴， y 轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点 A， B， E 的坐标，并设 F（ x， 2），根 据 即可求出 x 值，从而得出 F 点的坐标，从而求出 的值 【解答】 解：据题意，分别以 在直线为 x， y 轴， 建立如图所示平面直角坐标系，则： A（ 0， 0）， B（ ， 0）， E（ ， 1），设 F（ x， 2）； ； x=1； F（ 1， 2）， ； 故选 C 【点评】 考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算 8如图，将正三角形 割成 m 个边长为 1 的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成 n 个边长为 1 的小正三角形若 m： n=47： 25，则三角形 边长是（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 【考点】 三角形中的几何计算 【分析】 设正 边长为 x，根据等边三角形的高为边长的 倍，求出正 面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解 【解答】 解：设正 边长为 x，则高为 x， S x x= 所分成的都是正三角形， 结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为 x ，较短的对角线为（ x ） = 1； 黑色菱形的面积 S= （ x ）（ 1） = （ x 2） 2， 若 m： n=47： 25，则 = ， 解可得 x=12 或 x= （舍）， 所以， 边长是 12； 故选： C 【点评】 本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于 60的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9若复数 是纯虚数，则实数 a 的值为 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【 分析】 利用两个复数代数形式的乘除法法则求得 z 的值，再根据它是纯虚数，求得实数 a 的值 【解答】 解： 复数 = = 为纯虚数，故有 a 1=0，且 a+1 0， 解得 a=1， 故答案为： 1 【点评】 本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，属于基础题 10在数列 ， ， an= 2（ n=1， 2， 3， ），那么 于 2 【考点】 数列递推式 【分析】 由已知求得 得到 1 2（ n 2），与原递推式两边作比可得（ n 2），即数列 的所有偶数项相等，由此求得 值 【解答】 解：由 ， an= 2，得 2， 又 1 2（ n 2）， （ n 2）， 数列 的所有偶数项相等，则 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，是中档题 11若抛物线 焦点与双曲线 的右顶点重合，则 p= 4 【考点】 抛物线的标准方程 【分析】 确定双曲线 的右顶点坐标，从而可得抛物线 焦点坐标，由此可得结 论 【解答】 解：双曲线 的右顶点坐标为（ 2， 0）， 抛物线 焦点与双曲线 的右顶点重合， =2， p=4 故答案为： 4 【点评】 本题考查双曲线、抛物线的几何性质，确定双曲线的右焦点坐标是关键 12如果将函数 f（ x） =3x+）（ 0）的图象向左平移 个单位所得到的图象关于原点对称，那么 = 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得 的值 【解答】 解：将函数 f（ x） =3x+）（ 0）的图象向左平移 个单位， 所得到 y=（ x+ ） +=3x+ +）的图象， 若所得图象关于原点对称，则 +=k Z，又 0， = ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题 13将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是 36 （用数字作答） 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析 】 本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果 【解答】 解：由题意知本题是一个分步计数问题， 4 位同学分到三个不同的班级，每个班级至少有一位同学，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列， 共有 6 种结果， 故答案为： 36 【点评】 本题考查分步计数原理，是一个基础题，也是一个易错题，因为如果先排三个人，再排最后一个人，则会出现重复现象，注意不重不漏 14已知 当 a=1 时， f（ x） =3，则 x= 4 ； 当 a 1时，若 f（ x） =3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则 a= 【考点】 分段函数的应用 【分析】 当 a=1 时， f（ x） =3，利用分段函数建立方程，即可求出 x 的值； 由 f（ x） =3，求得 x= 1，或 x=4，根据 它们依次成等差数列，可得 a 1， f（ 6） =3，由此求得 a 的值 【解答】 解： x 1， x =3，可得 x=4； x 1， 2（ x+ ） =3，即 x2+x+4=0无解，故 x=4； 由于当 x a 时，解方程 f（ x） =3，可得 x =3，求得 x= 1，或 x=4 它们依次成等差数列， 1， ， 6， a 1 x a 时，方程 f（ x） =3 只能有一个实数根为 6， 再根据 f（ 6） =2a+6+ =3，求得 a= ，满足 a 1 故答案为 4， 【点评】 本题主要考查分段函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 15（ 12 分）（ 2017石景山区一模）已知 a， b， c 分别是 三个内角 A，B， C 的三 条对边，且 c2=a2+ （ ）求角 C 的大小； （ ）求 最大值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）根据余弦定理直接求解角 C 的大小 （ ）根据三角形内角和定理消去 B，转化为三角函数的问题求解最大值即可 【解答】 解：（ ） c2=a2+ ab=a2+余弦定理： = ， 0 C ， C= （ ） A+B+C=， C= B= ，且 A （ 0， ） 那么： ） =）， A （ 0， ） ， 故得当 = 时， 得最大值为 1 【点评】 本题主要考查了余弦定理的运用和三角函数的有界限求解最值问题属于基础题 16（ 12 分）（ 2017石景山区一模）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的 1200 个数据（数据均在区间（ 0， 50内）中，按照 5%的比例进行分层抽样，统计结果按（ 0， 10，（ 10， 20，（ 20， 30，（ 30， 40，（ 40，50分组，整理如下图： （ ）写出频率分布直方图（图乙）中 a 的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸 奶日销售量的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小（只需写出结论）； （ ）从甲种酸奶日销售量在区间（ 0， 20的数据样本中抽取 3 个，记在（ 0，10内的数据个数为 X，求 X 的分布列； （ ）估计 1200 个日销售量数据中，数据在区间（ 0， 10中的个数 【考点】 离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图 【分析】 （ ）由频率和为 1，列方程求出 a 的值， 根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，得出 ； （ ）根据 X 的所有可能取值，计算对应的概率，写出分布列； （ ）由甲种和乙种酸奶的日销售量数据在区间（ 0， 10内的频率和频数， 计算在 1200 个数据中应抽取的数据个数 【解答】 解：（ ）由图（乙）知， 10（ a+=1， 解得 a= 根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大， ； （ ） X 的所有可能取值 1， 2， 3； 则 ， ， ， 其分布列如下： X 1 2 3 P （ ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取 2+3+4+5+6=20 个， 其中有 4 个数据在区间（ 0， 10内， 又因为分层抽样共抽取了 1200 5%=60 个数据， 乙种酸 奶的数据共抽取 60 20=40 个， 由（ ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间（ 0， 10内的频率为 故乙种酸奶的日销售量数据在区间（ 0， 10内有 40 个 故抽取的 60 个数据，共有 4+4=8 个数据在区间（ 0， 10内 所以，在 1200 个数据中，在区间（ 0， 10内的数据有 160 个 【点评】 本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列问题，是综合题 17（ 14 分）（ 2017石景山区一模）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直 角三角形的四面体称之为鳖臑 如图，在阳马 P ，侧棱 底面 D， E 为 点，点 F 在 ，且 平面 接 （ ）证明： 平面 （ ）试判断四面体 否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； （ ）已知 ， ，求二面角 F B 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）推导出 而 面 而 求出 此能 证明 面 （ ）四面体 鳖臑， ， （ ）以 在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 F B 的余弦值 【解答】 证明：（ ）因为 面 所以 因为四边形 矩形， 所以 ， 所以 面 在 ， C， E 为 点， 所以 ， 所以 面 解：（ ）四面体 鳖臑， 其中 ， （ ）以 在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 则 D（ 0， 0， 0）， A（ 2， 0， 0）， ， ， 设 ，则 ，解得 所以 设平面 法向量 ， 则 ，令 z=1 得 x=0， y= 3 平面 法向量 ， 平面 法向量 ， ， 二面角 F B 的余弦值为 【点评】 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 18（ 14 分）（ 2017石景山区一模）已知函数 f（ x） =1 （ ）求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）求证：当 x 0 时， ； （ ）若 x 1 任意 x 1 恒成立，求实数 a 的最大值 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ ）求出导函数 ，求出斜率 f（ 1） =1，然后求解切线方程 （ ） 化 简 = 求 出 ，令，解得 x=1判断函数的单调性求出极小值，推出结果 （ ）设 h（ x） =x 1 x 1），依题意，对于任意 x 1， h（ x） 0 恒成立 ， a 1 时， a 1 时，判断函数的单调性，求解最值推出结论即可 【解答】 解：（ ） ， f（ 1） =1， 又 f（ 1） =0，所以切线方程为 y=x 1； （ ）证明：由题意知 x 0，令 = 令 ，解得 x=1 易知当 x 1 时， g（ x） 0，易知当 0 x 1 时， g（ x） 0 即 g（ x）在（ 0， 1）单调递减，在（ 1， + ）单调递增， 所以 g（ x） g（ 1） =0， g（ x） g（ 1） =0 即 ，即 x 0 时， ； （ ）设 h（ x） =x 1 x 1）， 依题意，对于任意 x 1， h（ x） 0 恒成立 ， a 1 时， h（ x） 0， h（ x）在 1， + ）上单调递增， 当 x 1 时， h（ x） h（ 1） =0，满足题意 a 1 时，随 x 变化， h（ x）， h（ x）的变化情况如下表： x （ 1， a） a （ a， + ） h（ x） 0 + h（ x） 极小值 h（ x）在（ 1， a）上单调递减，所以 g（ a） g（ 1） =0 即当 a 1 时，总存在 g（ a） 0，不合题意 综上所述，实数 a 的最大值为 1 【点评】 本题考查函数的导数的应用，切线方程，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力 19（ 14 分）（ 2017石景山区一模）已知椭圆 E： + =1（ a b 0）过点（ 0， 1），且离心率为 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）设直线 l： y= +m 与椭圆 E 交于 A、 C 两点，以 对角线作正方形直线 l 与 x 轴的交点为 N，问 B， N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）由题意可知 b=1， e= = = ，即可求得 a 的值，求得椭圆方程； （ ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨 及丨，丨 2= 丨 2+丨 2= ，即可求得 B， N 两点间距离是否为定值 【解答】 解：（ ）由题意可知：椭圆的焦点在 x 轴上，过点（ 0， 1），则 b=1， 由椭圆的离心率 e= = = ，则 a=2， 椭圆的标准方程为： ；