全国各地2008年数学高考真题及答案-(湖南.理)含详解

(1,4) (1,1) (3,3) X y O x=1 1 x+2y-9=0 x-y=0 2008 高考湖南理科数学试题及全解全析 一、选择题:本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1复数 等于( )3)i A.8 B.8 C.8i D.8i 【答案】D 【解析】由 ,易知 D 正确. 33412()(8iii 2 “ 成立”是“ 成立”的( )x)0x A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由 得 ，由 得 ，所以易知选 B.12x3x()0x3x 3.已知变量 x、y 满足条件 则 的最大值是( ) 1,029,yxy A.2 B.5 C.6 D.8 【答案】C 【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点 分别为 代入验证知在点(1,)4,(3) 时, 最大值是3xy6. 故选 C. 4.设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 c= ( )(29)N(1)()Pc A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 2(,3)2(1)(1)(),3cc 21,Pc3 解得 =2, 所以选 B.()()3c 5.设有直线 m、n 和平面 、 ,下列四个命题中，正确的是( ) A.若 m ,n ,则 m n B.若 m ,n ,m ,n ,则 C.若 ，m ,则 m D.若 ，m ，m ,则 m 【答案】D 【解析】由立几知识,易知 D 正确. 6.函数 在区间 上的最大值是( )2()sin3sicofxx,42 A.1 B. C. D.1+133 【答案】C 【解析】由 , cos21()insi(2)6xfxxx 故选 C.5,436max31.f 7.设 D、 E、 F 分别是ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点，且 2,DCB,EA 则 与 ( )2,ABCFB A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 【答案】A 【解析】由定比分点的向量式得: 212,3ACBDA 以上三式相加得12,3BEC1,3F 所以选 A.ADB 8.若双曲线 （a0,b0）上横坐标为 的点到右焦点的距离 21xy2a 大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+ ) C.(1,5) D. (5,+ ) C 1D1 B1A1 OD C BA 【答案】B 【解析】 或 2033,aexac250,e2e (舍去), 故选 B.1(,e 9.长方体 ABCDA 1B1C1D1 的 8 个顶点在同一球面上，且 AB=2,AD= ,AA1=1,3 则顶点 A、B 间的球面距离是( ) A.2 B. C. D. 2224 【答案】C 【解析】 设1,BDACR, 则,O2B 故选 C.2,l 10.设x表示不超过 x 的最大整数（如2=2, =1）,对于给定的 n N*,54 定义 x ,则当 x 时，函数 的(1)1),xnnC 3,28xC 值域是( ) A. B.16,283 16,53 C. D.4,56284, 【答案】D 【解析】当 x 时， 当 时， 所以 ;3,232816,C2x1,x842xC 当 时， 当 时， ,287,13,87,3x 故函数 的值域是 .选 D.xC86284, 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。把答案填在对应题号后的横线上。 11. .21lim_34x 【答案】 5 【解析】 2111lilimli.34()(4)5xxx 12.已知椭圆 （ab0）的右焦点为 F,右准线为 ,离心率 e=2yl. 过顶点 A(0,b)作 AM ,垂足为 M，则直线 FM 的斜率等于 .l 【答案】 12 【解析】 (,)aMbc5,2,eacb201.FMbcka 13.设函数 存在反函数 ,且函数 的图象过点(1,2),()yfx1()yfx()yxf 则函数 的图象一定过点 .1 【答案】(-1,2) 【解析】由函数 的图象过点(1,2)得: 即函数 过点 ()yxf (1),f()yfx1,) 则其反函数过点 所以函数 的图象一定过点1,yx ,2. 14.已知函数 3()().axf （1）若 a0,则 的定义域是 ;f (2) 若 在区间 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 .()fx0,1 【答案】 , 3a,3 【解析】 （1）当 a0 时，由 得 ,所以 的定义域是 ;0ax()fx3,a (2) 当 a1 时，由题意知 ;当 040=AQ，所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间，且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP BC 于点 P，则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt 中， PE=QEsinQsinsin(45)QCABC = 5137. 所以船会进入警戒水域. 20.（本小题满分 13 分） 若 A、 B 是抛物线 y2=4x 上的不同两点，弦 AB（不平行于 y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点 P，则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦”.已知当 x2 时，点 P（x ,0） 存在无穷多条“相关弦”.给定 x02. （I）证明：点 P（x 0,0）的所有“相关弦” 中的中点的横坐标相同； (II) 试问：点 P（x 0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？ 若存在，求其最大值（用 x0 表示）：若不存在，请说明理由. 解: （I）设 AB 为点 P（x 0,0）的任意一条“相关弦” ，且点 A、B 的坐标分别是 （x 1,y1） 、 （x 2,y2） （x 1 x2）,则 y21=4x1, y22=4x2, 两式相减得（y 1+y2） （y 1-y2） =4（x 1-x2）.因为 x1 x2,所以 y1+y2 0. 设直线 AB 的斜率是 k，弦 AB 的中点是 M（x m, ym）,则 k= .从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为 12124mx ().mx 又点 P（x 0,0）在直线 上，所以 l 0().2myx 而 于是 故点 P（x 0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是 x0-2.,my.m ()由()知，弦 AB 所在直线的方程是 ，代入 中，()mykx24yx 整理得 （）2 2()2(0.mkxykx 则 是方程（）的两个实根，且12、 212().mykxx 设点 P 的“相关弦”AB 的弦长为 l，则22222111()()()lxyk 2121222422 22004()()4(1)()(1)6(3).mmmmmkxxyyxyxyx 因为 03,则 2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当 t=2(x0-3),即 =2(x0-3)时,2my l 有最大值 2(x0-1). 若 23 时，点 P（x 0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值 为 2（x 0-1） ；当 2 x0 3 时，点 P（x 0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值. 21.（本小题满分 13 分） 已知函数 22()ln1).fxx (I) 求函数 的单调区间 ;f （）若不等式 对任意的 都成立（其中 e 是自然对数的底数）.(1)naeN*n 求 a 的最大值. 解: （）函数 的定义域是 ，()fx(1,)2 22lnln(1).1()xxf 设 则2()21)ln(,gxx()2ln(1).gxx 令 则,h().1h 当 时， 在（-1 ，0）上为增函数，0x0x 当 x0 时， 在 上为减函数.(),(),) 所以 h(x)在 x=0 处取得极大值，而 h(0)=0,所以 ，()0)gx 函数 g(x)在 上为减函数.1,) 于是当 时，0(0),gx 当 x0 时， (). 所以，当 时， 在（-1 ，0）上为增函数 .1(),fx()f 当 x0 时， 在 上为减函数.()0,f 故函数 的单调递增区间为（-1，0） ，