201612八上期末复习大本

八上数学上学期期末考试复习建议 十三中分校 初二数学组 一、 总体复习建议 考试内容：因式分解、分式、二次根式、全等三角形、轴对称、统计 （一） 总体原则 控节奏、控难度、变形式、重情绪、各学科博弈、多层次受益。 （二） 具体措施 1重视基础：对每一章的知识点进行总结，使学生掌握所有重要的定义、公式、性质和 判定；每章必须掌握的基本方法（包括解题规范）也要重点梳理；关注教材中数学应用 （包括尺规作图）的实例及其数学原理 2优选例题习题，使学生熟悉一些基本题型（从“知识点 ”到“考点” ） 3. 重视错题，关注学生的易错点：代数中的算理不清、几何中的定理规范等 4复习过程中，注重提高作图能力、识图能力、推理能力、计算能力、检验能力、阅读 能力 5适当的综合题的训练：注重揭示知识之间的关联；注重揭示隐藏在新题型、新情境中 的数学知识背景；注重数学思想方法的灵活运用（重要的如方程思想、数形结合、分 类讨论、转化与化归等） ；尽量让学生跳出思维定势（不“背题” ） ，尝试分析、思考、 联想、应用 6几何部分：初步建立用“ 截长补短”的方法处理线段和差问题的意识；轴对称类型的 全等（以角分线或垂直平分线、等腰三角形为背景）要会“识别” 、会“构造” ；旋转 类型的全等重视“识别” ，不必过于强调利用旋转“构造”全等总之，几何综合题 的难度不必提升至中考程度，不必追求让学生“见识”很多典型图、典型方法 7. 代数部分，贯穿始终的是“数 式 运算法则运算律” 7. 关注历次教研中提到的中考新变化。如：几何题目只有文字条件，学生自己绘图作 答；代数计算从纠错上升到明确算理、方法优选；与学农活动的“跨界” ； 全等三角形 【知识梳理】 SASHL 性 质 ： 边 、 角 、 面 积一 般 三 角 形 全 等 的 判 定 ： 、 、 、 （ ）全 等 三 角 形 判 定 直 角 三 角 形 全 等 的 另 一 种 判 定 方 法 ： （ ）不 能 判 定 三 角 形 全 等 的 条 件 ： （ 反 例 ， ） 作 图 探 究 的 过 程作 图 探 究 的 过 程作 图 结 果 可 能 不 唯 一 全等的应用： 判 定 这 两 个 三 角 形 全 等两 个 三 角 形 某 些 对 应 边 、 角 相 等 其 它 对 应 边 、 角 相 等 【易错点】 【全等的判定条件】 请你在学案上任意画ABC，并利用作图工具（三角板、量角器、圆规、直尺等）画 一个与其全等的三角形，你判定它们全等的理由是什么？ 画ABC 画ABC 全等的判定条件 【基本图形识别】 问题 1：下图中，若两个三角形全等，你能指出其对应边、对应角以及图中隐含的等线段、 等角或其它等量关系吗？ 问题 2：你能动态地观察出这两个三角形是如何得到全等的吗？ 问题 3：你能添加若干条件，使得这两个三角形全等吗？（条件不要重复，要尽可能地少） 全等三角形的常见图形 平移型： 轴对称型： 旋转型： 旋转型（续）： A B C C B A C A A B A B C B C A B C C B A B C C B B (C ) C (B ) A A A B B C C A B B C C A A A B (C ) C (B ) A A B B C C A A B B C C A B B C C A RtABCBCDABCDAEFABCDAEFGABCADE FD C F C DFCBECB AD DAGB A ABE 【落实巩固】 例 1 如图，ABE 和ADC 是ABC 分别沿着 AB、AC 边翻折 180形成的，若1 ：2： 3=28 ：5：3 ，则a 的度数为 例 2 如图，把ABC 绕点 C 顺时针旋转 35 度，得到ABC，AB 交 AC 于点 D，已知ADC=90，求A 的度数 例 3 如图，在AFD 和CEB 中，点 A，E，F，C 在同一直线上，有下面四个论断： (1) AD=CB；(2)AE=CF ；(3) B=D ；(4)ADBC. 请将其中三个论断作为条件，余下的一个 作为结论，编一道证明题，并写出证明过程. 【生活中的全等】 例 1 “三月三，放风筝” ，如图示小明制作的风筝，他根据 DE=DF，EH=FH，不用度量，就 知道DEH=DFH. 请你用所学的知识给与证明 . E B C A F D D E F H 例 1 A D E CB F G 例 2 例 2 如图，工人师傅要检查人字梁的B 和C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一 个刻度尺他是这样操作的：分别在 BA 和 CA 上取 BECG；在 BC 上取 BDCF； 量出 DE 的长 a 米，FG 的长 b 米. 如果 ab ，则说明 B 和C 是相等的.他的这种做法合 理吗？为什么？ 例 3 某中学的学生到野外进行教学活动，为了测量一池塘两端 A，B 之间的距离，同学们 设计了如下两种方案： () 如图(1)，先在平地上取一个可以直接到达 A，B 的点 C，再连接 AC，BC，并分别 延长 AC 至 D，BC 至 E，使 DC=AC，EC=BC，最后量出 DE 的长就是 AB 的距离. () 如图(2)，过点 B 作 AB 的垂线 BF，在 BF 上取 C，D 两点，使 CD=BC，接着过 D 作 BD 的垂线 DE，交 AC 的延长线于 E，则测出 DE 的长即为 AB 的距离. 问：(1)方案()是否可行？ ；理由是 . (2)方案()是否可行？ ；理由是 . (3)小明说在方案 ()中，并不一定需要 BFAB，DE BF，只需 就可以了. 请 把小明所说的条件补上. 例 4 如图，有两个长度相同的滑梯，即 BC=EF，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯的水平方 向的长度 DF 相等，则ABC+DFE= . 例 5 如图，有一块三角形的厚铁板，根据实际生产需要，工厂师傅要把MAN 平分开， 现在他手边只有一把没有刻度的尺子和一根细绳，你能帮工人师傅想个办法吗？说明你的 根据. 例 6 如图，小明同学把两根等长的木条 、 的中点连在一起，做成一个ACBD 测量某物品内槽宽的工具，此时 CD 的长等于内槽的宽 ，这种测量方法用 到三角形全等的判定方法是( )C A SSS BASA CSAS DHL 【全等判定的拓展提高】 1. 如果满足条件“ABC=30，AC=1， BC=k（k0） ”的ABC 是唯一的，那么 k 的取值范 围是_. A B C E D(1) A B C D E F (2) B F E C A D 例 4 M A N例 5 D C O A B 专题一：全等证明基础过关 1、已知：如图，ABED，AB=DE，AF=DC. 求证：BC=EF 2、已知：如图，ABCD，1=2，O 为 AD 中点， EF、AD 交于点 O. 求证：O 为 EF 的中点 3、已知：如图，AB=AC，ADDC 于 D，AE BE 于 E，1=2 求证： AD=AE 4、已知：如图，在ABC 中，ACB=90，AC=BC，AE 是 BC 边上 的中线，CDAE 于 F，且 CD=AE （1 ）连接 BD，求DBC 的度数（2）若 AC=6cm，求 BD 的值 5、已知：如图，两个大小不同的等腰直角三角板顶点 A 重合放置， BD 与 AC、EC 分别交于 P、F，AD 与 EC 相交于点 Q 求证：（1）BADCAE（2）BDCE 6、已知：如图，在ABC 中，C=90，AD 平分 BAC， DEAB 于点 E，点 F 在 AC 上，BD=DF 求证：CF=EB F E DCB A O 2 1F E DC BA 21 ED CB A F E D C B A QPF E D C B A F E D C BA 作业一：全等三角形的性质和判定 1. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形 状的玻璃，那么最省事的办法是带( )去配 A B C D和 理由是： 2. 根据下列已知条件, 不能唯一确定ABC 的大小和形状的是( ) . A. AB3, BC4, AC5 B. AB4, BC3, A30 C. A60, B45, AB4 D. C90, AB6, AC = 5 3. 如图, 已知ABC, 则甲、乙、丙三个三角形中和ABC 全等的是( ) . b a c a c c a a 丙 72 50丙 50 丙 50 C B A 50 7258 A. 只有乙 B. 只有丙 C. 甲和乙 D. 乙和丙 4. 如图，正方形 的边长为 4，将一个足够大的直角三角BCD 板的直角顶点放于点 A 处，该三角板的两条直角边与 交CD 于点 F，与 延长线交于点 E四边形 的面积是（ AF ） A A16 B12 C8 D4 5. 已知: 如图, AC、BD 相交于点 O, A = D, 请你再补充一个条件, 使AOB DOC, 你 补充的条件是_. 6. 如图,已知 ABC 中，点 D 为 BC 上一点，E、F 两点分别在边 AB、AC 上，若 BE=CD, BD=CF, B=C, A=50 ，则EDF=_. 7. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出 的依据是 .AOB 8. 如图，点 E，F 在 BC 上，BECF ，AD，B C， AF 与 DE 交于 O求证：AB DC； FABCE E C DA B F O D A BCO D A BCO A B C D O E A B CD 9. 已知: 如图, CB = DE, B = E, BAE = CAD. 求证: ACD = ADC. 10.已知： 如图，点 E 在 ABC 外部，点 D 在边 BC 上，DE 交 AC 于 F，若 1 23， AC=AE. 求证：ABC ADE. 11. 已知：如图，AC BD，ADAC ，BCBD求证：ADBC 12. 已知：如图，B、A 、C 三点共线，并且 RtABD RtECA ，M 是 DE 的中点 （1 ）判断ADE 的形状并证明； （2 ）判断线段 AM 与线段 DE 的关系并证明； （3 ）判断MBC 的形状并证明 M CD A E B E DB A C F 1 2 3 【角平分线】 作已知角的角平分线 证明： 作图依据： 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就 可以作出一个锐角的平分线如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且 与第一把直尺交于点 P，小明说： “射线 OP 就是BOA 的角平分线 ”你认为小明的想法 正确吗？请说明理由 【角平分线的性质与判定】 角平分线的性质 角平分线的判定 角平分线的常用辅助线： 【角平分线练习】 例 1 如图，AB=AC，BD=CD， DEAB 于 E，DFAC 于 F. DACB DACB E F B CA D F E D C B A 求证：DE=DF. 例 2 如图，D 、E、F 分别是ABC 的三边上的点，CE=BF，DCE 和DBF 的面积相等. 求证：AD 平分BAC. 练习 1.三角形中，到三边距离相等的点是（ ） （A）三条高线交点 （B）三条中线交点 （C ）三条角平分线交点 （D）三角形内任一点 补充： 2. 如图，在ABC 中，C90，AM 是CAB 的平分线， CM20cm，那么 M 到 AB 的距离为_ 3. 如图，BD CD，BF AC，CEAB求证：D 在BAC 的角平分线上 4.已知：ABC 的B 的外角平分线 BD 与C 的外角平分线 CE 相交于点 P。 求证：点 P 也落在 A 的平分线上 M C B A A B CD F E PCA B D E FE DCB A FE DCB A 作业二：角平分线 1. 如图，已知 ， ，垂足分别为 A，B则下列PAOB 结论：(1) ；(2) 平分 ；(3) ；(4)PO ，其中一定成立的有（ ）个180B A1 B2 C3 D非以上答案 2. 如图，Rt ABC 中，C=90 ，ABC 的平分线 BD 交 AC 于 D， 若 CD=3cm，CB =4cm，则点 D 到 AB 的距离 DE 是（ ） A5cm B4cm C3cm D 2cm 3. 如右图，ABC 是等腰直角三角形， C=90，BD 平分 CBA 交 AC 于点 D，DEAB 于 E若ADE 的周长为 8cm，则 AB =_ cm 4. 如图，AD 是ABC 中BAC 的角平分线， DEAB 于点 E，S ABC =7，DE =2，AB=4 ， 则 AC 长是 ( ) A4 B3 C6 D5 5. 如图，ABC 中，AD 是BAC 的平分线，E、F 分别为 AB、AC 上的点，连接 DE、DF，EDFBAC180 求证：DE DF A BCDE （第 9 题） 专题二：常用辅助线 截长补短 倍长中线 角分线双垂直 角分线翻折 平行线间线段的中点：构造全等 平行线+角分线：等腰三角形 角分线+垂直：补全等腰三角形 1.已知，如图，B=C=90，M 是 BC 的中点，DM 平分 ADC （1 ）求证：AM 平分DAB； （2 ）猜想 AM 与 DM 的位置关系如何？并证明你的结论 2.如图，ACBD，AE、BE 分别平分CAB 、ABD， 求证：AB=AC+BD. 3.已知：如图，在ABC 中，AD 是 ABC 的角平分线， E、F 分别是 AB、AC 上一点，并且有 EDFEAF180 试判断 DE 和 DF 的大小关系并说明理由 A B C D M A DB C E F A B C D E 4.已知: 如图, 四边形 ABCD 中, AC 平分BAD, CEAB 于 E, 且B + D = 180. 求证: 2AE = AD + AB 5.如图，在ABC，B=60 ，BAC、BCA 的平分线 AD、CE 交于点 O， （1 ）猜想 OE 与 OD 的大小关系，并说明你的理由； （2） 猜想 AC 与 AE、CD 的关系，并说明你的理由 6. 正方形 ABCD 中，M 是 AB 上一点，E 是 AB 延长线上一点， MNDM 且交CBE 的平 分线于 N （1 ）试判断线段 MD 与 MN 的关系，并说明理由. （2 ）若点 M 在 AB 延长线上，其它条件不变，上述结论还成立吗？试说明理由. A B C DE O A B C D M E N A B C D M E N A B D CE 7. 如图，D 为ABC 外一点，DABB，CDAD， 1 2 ，若 AC7，BC4，求 AD 的长 8. 如图，ABC 中，AB AC，BAC=90，点 D 在线段 BC 上, EDB= C, BEDE,21 垂足 E ,DE 与 AB 相交于点 F。 (1) 若 D 与 C 重合时，试探究线段 BE 和 FD 的数量关系，并证明你的结论， （2 ）若 D 不与 B,C 重合时,试探究线段 BE 和 FD 的数量关系，并证明你的结论 9.如图，已知 AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF求证：AC=BF 12D CBA FEAB CD FEAB CD A B C E D F x y A B C O 5 2 4 6 -5 -2 轴对称定 义 ： 辨 识 生 活 中 的 轴 对 称 图 形一 般 轴 对 称 图 形 对 称 点 和 对 称 轴 ： 轴 对 称 线 段 的 垂 直 平 分 线对 称 图 形 的 性 质 ： 边 、 角 、 形 状 、 面 积 ； （ 折 纸 问 题 ）线 段 的 垂 直 平 分 线 ： 定 义 、 性 质 、 判 定 、 （ 作 图 ）角 的 平 分 线 ： 定 义 、 性 质 、 判 定 、 （ 作 图 ）“轴 对 称 ”典 型 轴 对 称 图 形 等 腰 三 角 形 ： 定 义 、 性 质 、 判 定等 边 三 角 形 ： 定 义 、 性 质 、 判 定作 图 ： 平 面 内 ， 作 关 于 已 知 直 线 对 称 的 图 形 坐 标 系 下 ， 作 关 于 坐 标轴 对 称 变 换轴 对 称 的 图 形应 用 ： 将 军 饮 马 、 光 学 反 射 “几 何 变 换 ”的 证 明 思 想 ： “对 称 补 缺 ” *定理的正确使用，可以避开全等，使得思考和证明的过程得以简化 【轴对称图形和垂直平分线】 1. 在下图所示的几何图形中，对称轴最多的图形的是（ ） B A B C D 2. 平面直角坐标系 xoy中， (15)A， ， (0)， ， (43)， (1) 求出 C 的面积 (2) 在图 5 中作出 关于 轴的对称图形 1AB (3) 写出点 11B， ， 的坐标 3. （1）点 P（3，-5）关于 x轴的对称点坐标为（ ）D A （3，5 ）B （5，3）C （3 ，5）D （3，5） （2）如图，数轴上 两点表示的数分别为 和 ，A， 1 点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 所表示的数为（ ）A C A O B A B C D23132313 （3 ） 如图，在正方形网格纸上有三个点 A，B，C，现要在图中网格范围内再找格点 D， 使得 A，B，C ，D 四点组成的凸四边形是轴对称图形，在图中标出所有满足条件的 点 D 的位置 （两个解） 4. 如图，在ABC 中，AB=AC ，A= 40，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则DBC=_ （30） 5. ABC 中，如果 ABAC 2cm，BC 的垂直平分线交 AB 于 D 点，且 ACD 的周长为 14cm，则 AB_cm ，AC_cm （8，6） 6. 如图，已知ABC 中，BAC =120，分别作 AC，AB 边的垂直平分线 PM，PN 交于 点 P，分别交 BC 于点 E 和点 F则以下各说法中：P=60，EAF=60，点 P 到点 B 和点 C 的距离相等，PE=PF，正确的说法是_ （填序号） 7. 已知AOB45 ，点 P 在AOB 的内部，P 1 与 P 关于 OB 对称，P 2 与 P 关于 OA 对 称，则 P1、P 2 与 O 三点构成的三角形是（ ）D A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 FEPMNCAB D AM NB C DCBA B DCA y xxx 000 2 22 2 -2 -2 -2-2 y y 0 y x 丙1 作业三 1如图所示的图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ） 2. 正确判断对称轴. (1) 如图 1 所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？ （2 ） . 如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（ ）. 3.（1）若点 M（2, a）和点 N（a+ b,3）关于 x 轴对称,试求 a,b 的值; （2 ）若点 M（ 2,a）和点 N（ a+b,3）关于 y 轴对称,试求 a,b 的值. （3 ） 在直角坐标系中,已知 A（2,0）,B（1,-2 ）则线段 AB 关于坐标系 y 轴的对称线 段的图象是下图中的（ ）. 4如图，写出ABC 中各顶点坐标在同一坐标系中画出直线 m：x=1，并作出ABC 关于直线 m 对称的 ABC若 P（a ，b） 是 AC 边上一点，请表示其在 ABC中对应点的坐标 FM P ED C B A 【等腰三角形的性质和判定】 从画等腰三角形开始，给出判定，回忆性质 【例题】 1. 等腰直角三角形的底边长为 5，则它的面积是（ ） D A50 B25 C12.5 D6 .25 2. 如图，等腰ABC 中，AB=AC，AD 是底边 BC 上的中线，若B=65，则 CAD=_ （25 ） 3. 已知：如图 3，ABC 中，给出下列四个命题： 若 ABAC，ADBC，则12； 若 ABAC，1 2，则 BDDC ； 若 ABAC，BDDC ，则 ADBC； 若 ABAC，ADBC，BEAC，则1 3； 其中，真命题的个数是（ ） D A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4. 如图 2，BBCD ACD36 ，则图中共有（ ）等腰三角形D A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 5. 如图，在ABC 中，D 是 BC 边上一点，且 AB=AD=DC，BAD =40，则 C 为（ ） B A25 B35 C40 D50 6. 已知：如图，AF 平分 BAC，BC AF，垂足为 E，点 D 与点 A 关于点 E 对称，PB 分别与线段 CF，AF 相交于 P，M （1 ）求证：ABCD； DCAB A B CD （2 ）若 BAC2 MPC，请你判断F 与 MCD 的数量关系，并说明理由 （相等） 7. 如图，在ABC 中，AB =AC，BAC=30点 D 为ABC 内一 点，且 DB=DC，DCB=30点 E 为 BD 延长线上一点，且 AE=AB （1 ）求 ADE 的度数； （2 ）若点 M 在 DE 上，且 DM=DA， 求证：ME=DC 8. *已知：如图， 中，点 分别在 边上， 是ABCED,ACB,F 中点，连 交 于点 ， ，CDF180 比较线段 与 的大小，并证明你的结论 （提示，注意 AE=AB；过 D 作 AC 的平行线交 BE 于点 G） EA DB MC 作业四 1.等腰三角形的周长为 20cm，求底边 y（cm ）与腰长 x（cm ）之间的关系式； 2 等腰ABC 中，AB=2BC，且三角形周长为 40，求 AB 的长. 3.已知等腰三角形有一个内角为 70，求其余两个内角的度数. 4.已知等腰三角形有一个内角为 100，求其余两个内角的度数. 5.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45，求这个等腰三角形顶角的度数. 专题：关于等腰三角形的作图和分类讨论 1. 已知等腰三角形有一个内角为 100，求其余两个内角的度数 （40 ，40） 已知等腰三角形有一个内角为 30，求其余两个内角的度数 （30，120 或 75，75） 2. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45，求这个等腰三角形顶角的度 数 （45 或 135） 3. *已知等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则其顶角为_ （30 或 150） *已知等腰三角形一边上的高等于底边的一半，则其顶角为_ （90 或 120） *等腰三角形一边上的高等于这边的一半，则其顶角为_ （90 或 30 或 150） 4. 如图，线段 OD 的一个端点 O 在直线 a 上以 OD 为一边作等腰三角 形使第三个顶点 C 也在直线 a 上，作出所有符合条件的点 C若以 O 为原点建立平面直角坐标系，使得 D 点的坐标为 ，求各 C(2,) 点的坐标4 个解： 1234(,0),(,0)C 5. 在边长为 4 和 6 的矩形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是矩形的长或宽，第 三个顶点在矩形的边上，求所作三角形的面积 （注：形状相同的三角形按一种计算） （12 或 8） 6. 在正方形 ABCD 所在平面上找一点 P，使PAD、PAB、PBC、PCD 均为等腰三角 形，这样的 P 点有几个？（ 9 个） 7. （1）已知 中， ， ，请画一条直线，把这个三角形分割ABC 9067.5B 成两个等腰三角形 （请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出 来只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） （2）*已知 中， 是其最小的内角，过顶点 的一条直线把这个三角形分ABC B 割成了两个等腰三角形，请探求 与 之间的所有可能的关系ABC A B C 备用图 A B C 备用图 A B C 备用图 【解】 （1）如图（共有 2 种不同的分割法） A B C 67.5 . A B C 2.5 . 4 （2） ； ； ；314C31803B ， 为小于 的任意锐角90A5 8. *平面内有一点 D 到ABC 三个顶点的距离 DA=DB=DC，若DAB =30，DAC=40，则 BDC 的大小是_ （20 或 140） A B CD E B A C M N C A B D 专题：几何问题代数化 1.如图， ABC 中，AB=AC，BAD =30，D 、E 在 BC、AC 上，AE=AD ，求CDE 度数. 2.如图，ABC 中，AB=BC，M、N 在 BC 上，MN=NA，若 BAM=NAC，求MAC. 3.如图，ABC 中，AC=CD， CAB-B=30，求 BAD 的度数. *4.已知等腰三角形的三边 a,b,c 均为整数，且 ，则满足该条件的等腰三24cab 角形共有几个？( 因式分解 ) nm x N B C A M 作业五 1.点 D、E 分别在等边ABC 的边 AB、BC 上，将 BDE 沿直线 DE 翻折，使点 B 落在 B1 处， DB1、EB 1 分别交边 AC 于点 F、G若ADF80 ，则CGE 2.如图,已知:AD 为 ABC 的高,B =2C, 求证: CD=AB+BD. 3.已知：如图，在等腰直角ABC 的斜边上取两点 M、N ，使 MCN45，设 AM=m， MN=x，BN n，试判断以 x、m、n 为边长的三角形的形状. 4.如图，四边形 ABCD 中，AC、BD 是对角线，AB=AC，ABD=60， 过 D 作 EDAD，交 AC 于点 E，恰有 DE 平分 BDC试判断线段 CD、BD 与 AC 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论 5.如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分BAD，ABAD， 试判断 AB-AD 与 CB-CD 的大小关系，并证明你的结论 CE D B A B D C A 【等边三角形（30 角直角三角形） 】 从画等边三角形开始，给出判定，回忆性质 【例题】 1. 下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ） B A有两个内角是 60的三角形 B有两边相等且是轴对称图形的三角形 C三边都相等的三角形 D有一个角是 60且是轴对称图形的三角形 2. 如图，ABC 中，AB AC， BAC120 ，DE 垂直平分 AC根 据以上条件，可知 B_，BAD _，BD：DC_ （30 ，90，2 ：1） 3. 如图，在纸片ABC 中， AC=6，A =30，C=90，将A 沿 DE 折叠，使点 A 与点 B 重合，则折痕 DE 的长为_ （2 ） 4. 如图，已知ABC 为等边三角形，点 D、E 分别在 BC、AC 边上， 且 AE=CD，AD 与 BE 相交于点 F （1 ）求证： CAD ；（2 ）求BFD 的度数E 5. 如图所示ABC 中，AB =AC，AG 平分BAC ；FBC =BFG =60，若 FG=3，FB=7 ，求 BC 的长 （答案 10提示：延长 AG、FG 与 BC 相交） 6. 已知：如图，等边三角形 ABC 中，AB=2，点 P 是 AB 边上的一动点 （点 P 可以与点 A 重合，但不与点 B 重合） ，过点 P 作 PEBC，垂足 为 E，过点 E 作 EFAC，垂足为 F，过点 F 作 FQAB，垂足为 Q设 BP=x，AQ=y （1）写出 y 与 x 之间的关系式；（2）当 BP 的长等于 A CB P E F Q A B C D E 第 2 题 多少时，点 P 与点 Q 重合；（ ； ）128x43 作业六 1.ABC 中， AB=AC，CAB=100，则B 的度数（ ） A 80 B 50 C 40 D 30 2如图，已知在ABC 中，AB=AC，BD=DC，则下列结论中错误的是( ) AB=C BBAD=CAD CADBC DBAC=B 3.如图，已知 ACBD，OA=OC，则下列结论不一定成立的是（ ） A B=D B A= B C OA=OB D AD=BC 4.一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 5，那么这个等腰三角形的周长为（ ） A 7 B 9 C 12 D 9 或 12 5以下叙述中不正确的是 ( ) A等边三角形的每条高线都是角平分线和中线 B有一个内角为 60。 的等腰三角形是等边三角形 C等腰三角形一定是锐角三角形 D在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等；反之， 在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等 6.若等腰直角三角形的底边长为 5，则它的面积为（ ） A 50 B 25 C 12.5 D 6.25 7.下列说法正确的是（ ） A 等腰三角形的一边不可能是另一边的二倍 第 3 题 A B C D O 第 9 题 E D CB A B 顶角相等的两个等腰三角形全等 C 有两条边对应相等的两个等腰三角形全等 D 等腰三角形两腰上得高线相等 8.如图,先将正方形纸片对折,折痕为 MN,再把 B 点折叠在折痕 MN 上,折痕为 AE, 点 B 在 MN 上的对应点为 H,沿 AH 和 DH 剪下, 这样剪得的三角形中 ( ) A B DHADH C D 9.如图，ABC 中，AB=AC ，BAC=108,若 AD，AE 三等分BAC，则图中等 腰三角形有（ ） A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 填空题 1已知等腰三角形有一个内角为 50，则其余两个内角的度数为 2已知如上图，ABC 中，ACB=90，CD 是高，A=30，则 BD= AB 3. 在 ABC 中,DE 是 AC 的垂直平分线,AE=3cm, ABD 的周长为 13cm,则ABC 的周长为_. 4已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30，则这个等腰三角形顶 角的度数 度 5如图，在ABC 中，AB=AC，D 是 BC 上一点，E 是 AC 上一点， AD=AE，BAD=30， 则EDC 的度数为 度 6如图(1):四边形 ABCD 是一张正方形纸片,E,F 分别是 AB,CD 的中点,沿着过 B AD C 第 8 题 A BC D M N H E CB ADE 点 D 的折痕将 A 角翻折,使得 A 落在 EF 上(如图(2), 折痕交 AE 于点 G,那么 ADG 等于 度 5 题图 6 题图 解答题 已知：点 D 在等边ABC 的边 AC 上，如图， , 21 BD=C,试判断ADE 的形状并证明你的猜想。 猜想：ADE 为 三角形 证明： 专题：动点问题 1. （2011 年区统考）如图所示，长方形 ABCD 中， AB=4， BC=4 ，点 E 是折线段 ADC 上的一个动点（点 E 与3 点 A 不重合） ，点 P 是点 A 关于 BE 的对称点在点 E 运动的过程 中，能使PCB 为等腰三角形的点 E 的位置共有（ ） C A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 2. 如图 中， 10A厘米， 8B厘米，点 D为 AB中 点 （1 ）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/ 秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时， 点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， P 与 是否全等，请说明理由； 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多 少时，能够使 BD 与 全等？ （2 ）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发， 都逆时针沿 AC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 AC 的哪条边上 相遇？ 【答案】解：（1）SAS 全等； 厘米/秒 （2）经过 803秒点 与点 第一次在边415B 上相遇 A Q C D B P A B C DEP 21 C A B E D 因式分解 【知识结构】 【因式分解定义】将一个多项式化为几个整式的积的形式 【练习】下列从左到右的变形，属因式分解的是（ ）. （A） （B）2)(axax 3)4(342xx （C） （D）88231y 因式分解的方法 提公因式法 公式法 (平方差、完全平方) 十字相乘法 整体的思想（换元、分组分解） 其他方法: 拆添项配方法、待定系数法、综合除法因式定理、特殊的多项式的分解 （轮换对称、双十字相乘等）. 【练习】 1. 下列多项式中，能利用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A B. C . D. 142a42a412a12a 2.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） A ； B ； C ； D 29xy49x2nm9)(2qp 3. 多项式 9 x2 mxy + 16y2 是一个完全平方式, 则 m 的值为 _ 分解因式 因式分解的步骤：先提公因式，再看项数，最后检查每个因式是否可再分。 注意事项: 书写顺序及要求多重括号的处理负号、分数是否提出来的原则等 【练习】因式分解下列各式 （1） ；（2） ；（3）abcba63922xyyx151022 32)(8)(6xyxa （4） （5） ； （6） ；)()(yyx 492 241ba （7） ； （8） ； （9） ； a521xy22xabya （10） （11） （12）2233yx224yx224)(b (13) (14) (15) (16) 62x652x672x6732x (17) (18) (19) 2234bamnxnx22)( bxayx343 (20) (20) （21）c2 22bax12ba 因式分解的应用 1.若一个三角形的三边长分别为 ，且满足 ，试判断cba, 022bcacba 该三角形是什么三角形，并加以说明 2. 用 1 个边长为 a 的正方形、6 个长为 a 宽为 b 的长方形、9 个边长为 b 的正方形，拼成 一个大正方形，这个大正方形的边长为 3. 若 ，求 的值.012m323m 作业七：因式分解 1.下列各式中能用平方差公式因式分解的是( ) A. B . C. D. 2ab22ab22ab 2.下列各式中能用完全平方公式因式分解的是( ) A. B. C. D. 241x22xy24x241x 3. 因式分解的结果是( )0y A. B. xy100xyxy C. D. 12 4.若多项式 ，则 的值分别为( ) 223xpyqxy,pq A.12，9 B.6，9 C.9，9 D.0 ，9 5.若 ，则 的值是( )2814nn A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6.若 ，则 _；abba2 7.已知 是完全平方数，则 =_.94mym 8.因式分解: =_ =_24835x =_ =_ 2xyx2a 9.利用因式分解计算: （1） ； (2) 2962201968 10已知 求 的值9,2,ab323aba 11若 ，求 的值228170xyyx 12.已知 是 的三边，且满足关系式 ，试判定,abcABC22acbc 的形状 13如图 1 所示，从边长为 a 的正方形纸片中减去一个边长为 b 的小正方形，再沿着线段 AB 剪开，把剪成的两张纸拼成如图 2 的等腰梯形， （1）设图 1 中阴影部分面积为 S1，图 2 中阴影部分面积为 S2，请直接用含 a、b 的代 数式表示 S1 和 S2； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公 式 14.已知 可以因式分解为 ,其中)23(713)(310( axx )7(13bx 为整数，求 的值。ba,ba 15.已知 ，比较代数式 的大小。16,12422 xyQyxP QP, 【分式】 一复习内容：分式的概念,分式有意义的条件,分式值为零、正、负的条件； 分式的基本性质（分式的符号法则；分式的约分、通分） ； 分式的乘除法、乘方运算,分式的加减法运算，分式的混合运算； 分式方程的解法和对增根的理解； 分式方程的应用. 二复习重点：分式的基本性质、分式的混合运算、分式方程的解法及应用 三主要数学思想方法：类比思想；转化思想. 四基础知识回顾 【分式的概念】 1一般地，如果 A、 B 表示两个 ，并且 B 中 ，那么式子 叫做分式AB 2分式有意义的条件是 ；分式的值为零的条件是分子 ，分母 【分式的基本性质】 1分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个 ，分式的值 用式子表示为： ， （其中 A、 B、 C 是整式， ） ACBB0 2分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何 个，分 式的值不变，可简记为“三变二，值不变” 3通分：根据分式的基本性质，分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值把几个 异分母的分式化成 ，这样的分式变形叫做分式的通分通分的关键是确 定各分母的 最简公分母用下面的方法确定： （1）最简公分母的系数，取各分母系数的 ； （2）最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的 的积 4约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的 约去，这样的分式变 形叫做分式的约分约分的关键是确定分子与分母的公因式约分的结果应化为 【分式的运算法则】 建议： 可像康杰老师讲座时提供的，给学生分式运算的程序图 1分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作为 ， 作为积的分母 用式子表示为： acbd 2分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 用式子表示为： adcb 3分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母 用式子表示为： () nab 4分式的加减法法则：同分母分式相加减， 不变，把分子相 ；异分母分式 相加减，先 ，变为 分式，再加减 用式子表示为： ； acdacdbacb 5分式的混合运算 分式的混合运算，关键是弄清楚运算顺序进行运算时要先算 ，再算 ，最后算 ；有括号要先算 的；计算结果要化为 或 【分式方程】 1分式方程的特征是分母中 ，这是分式方程与整式方程的根本区别 2解分式方程的基本思路是“转化” ，即把分式方程化为我们熟悉的 ，转化的途径 是“去分母” ，即方程两边都乘以 3解分式方程的一般步骤： ，即在分式方程的两边都乘以最简公分母，把分式 方 程化为整式方程；解这个 ； ，把整式方程的解代人最简公分母，使 最简公分母不等于零的解是原分式方程的解，使最简公分母等于零的解不是原分式方程 的解 注意：因为解分式方程时可能产生 ，所以解分式方程必须 ，检验是解分式方 程必要的步骤 4.应用分式方程解决实际问题的注意事项： （1 ）列分式方程解应用题的一般步骤： 审题；设未知数；列分式方程；解分式方程；检验并写出答案. 建议： 丢验根是学生常见的错误。从概念出发，分式方程，