关于汽车配件的设计方案

1 关于汽车配件的设计方案 一 问题重述 某汽车配件生产集团公司有三个分厂，设三个分厂生产配件数量（单位：件）分别为 1q 、 2q 与 3q ，成本（单位：元 /件）分别为： 1110 . 5 5 , 2 5 0 0 00 . 5 0 , 2 5 0 0 0 2220 . 5 5 , 2 0 0 0 00 . 5 0 , 2 0 0 0 0 3330 . 6 0 , 2 0 0 0 00 . 5 0 , 2 0 0 0 0 配件的销售（市场）价格为 1 2 31 2 31 2 33 , 7 5 0 0 0250000 , 7 5 0 0 0q q q q q q q 根据以上所给出的信息，需要解决以下几个问题： （ 1）第一厂、第二厂和第三厂同时生产，且三个厂对自己和对方成本及市场需求具有完全信息，在互相不通生产信息的前提下求各自的决策，那么三个厂应该如何确定他们的生产数量才能使得他们所获得的收益最大。 （ 2）在第二厂和第三厂按上述决策执行的时候，第一厂没有按上述决策执行，而是等其它两方生产后再决定生产数量。此时第一厂能否提高收益？其产量及收益分别是多少？ （ 3）如果第二厂与第三厂知道了第一厂上述“计谋”，因此根据他们自己 的生产量 23，就可以推算出第一厂的生产量，从而推算出市场价格以及自己的利润。第二厂与第三厂为使他们的总利润最大，应该选择怎样的生产数量？在确定总的生产数量后，他们两厂之间应如何划分生产数量？收益各是多少？ （ 4）若三个厂决定合作，问应如何合作？各自和产量及收益分别是多少？ 2 二 模型的假设和符号说明 （一） 模型的假设 1、在生产汽车配件的过程中，不考虑由于意外使配件废弃的数量。 2、在完成汽车配件生产的过程中，不考虑剩余材料的成本价。 3、假设生产的每个汽车配件都是合格的。 （二） 符号说明 p 配件的市场销售价格 1q 一厂生产汽车配件的数量 2q 二厂生产汽车配件的数量 3数量 1c 一厂生产汽车配件的成本价 2c 二厂生产汽车配件的成本价 3 各厂的收益（ i=1， 2， 3；分别表示一厂，二厂，三 厂的最大收益） M 一厂的收益 N 二厂和三厂的收益 Q 三厂合作时候的收益 三 模型的建立与求解 题一 问题的分析：三个厂在 对自己和对方成本及市场需求具有完全信息，在互相不通生产信息的前提下 同时生产配件，使得自身收益最大。每个厂的成本 价都会随着生产配件数量的变化而取不同的值。建立多目标模型。列目标函数为： 333222111 约束条件为： 25000375000. 321 321 此方程式为多目标方程，应该转化为单目标方程。转化后的方程式为： 3 1122331 2 3()()().c q Lp c q Lp c q 根据取值不同进行组合，共有 8种情况，将 8 种情况分别带入 件求解，结果如 (表一 )所示： 表一 问题一根据生产数量范围的 变化列出如下表格 一厂 二厂 三厂 生产数量 收益 1041599939993321 200011031210312321 10460200019836321 200012000110624321 92038580250013216337. 5316337. 5316337. 531321 20001812425001321 4 74992000125001321 不存在 由上表可得：中三个厂的收益取得最大；不存在这种情况应该舍去；而所得到的收益相对于种情况较低。 因此在三个厂在 对自己和对方成本及市场需求具有完全信息，在互相不通生产信息的前提下 同时生产配件。三个厂的收益最大的生产方案为： 一厂的生产数量为 9993件，收益为 ； 二厂的生产数量为 9993件，收益为 ； 三厂的生产数量为 10415件，收益为 。 题二 问题的分析：在问题一中得到三个的收益最大的生产方案为： 一厂的生产数量为 9993件，收益为 ； 二厂的生产数量为 9993件，收益为 ； 三厂的生产 数量为 10415件，收益为 。 二厂，三厂按照以上方案生产，而一厂是等二厂，三厂生产后再决定自身的生产数量。此时 10415;999332 标是使得一厂得到最大效益。目标函数为：111 当确定了32,使一厂得到最大效益，根据目标函数求最值模型可以得到一厂生产汽车配件的 数量为多少时，收益最大。 1） 当 250001 q 时，有如下约束条件： 2 5 0 0 01 0 4 1 59 9 9 1 1利用 即：当一厂生产汽车配件的数量为 20421件时，此时一厂的最大收益为 5 2） 当 250011 q 时，有如下约束条件： 2 5 0 0 01 0 4 1 59 9 9 1 1利用 即：当一厂生产汽车配件的数量为 25001件时，此时一厂的最大收益为 将 1）和 2）的结果进行比较可得，当一厂生产汽车配件的数量为 25001 件时，一厂所得到的收益最大，为 题三 问题的分析：从“ 第二厂与第三厂知道了第一厂上述计谋，因 此根据他们自己的生产量 23，就可以推算出第一厂的生产量，从而推算出市场价格以及自己的利润。”这句话，可以知道此时 250011 q 件是确定的值，在确定一厂生产量的情况下，求二厂和三厂的总产量为多少的时候，他们两厂的总利润最大。在得到总的生产量后，如何分配生产数量，两厂的收益分别为多少？ 当 250011 q 件时，为使二厂和三厂的 总利润最大，其目标函数为： 333222 在 1q 确定的情况下，如何确定32,据目标函数求最值可得到，二厂、三厂的总生产量为多少时，他们的总利润取得最大值。 1） 当 20000;2000032 如下约束条件： 3232利用 即：当二厂生产量为 18124件，三厂的生产数量为 0件时，两厂的总利润最大，为： 6 2） 当 20000,2000032 如下约束条件： 2 5 0 0 02 5 0 0 3232利用 求解得： 即：当二厂的生产量为 20001件，三厂的生产数量为 0件时，两厂的总利润最大，为： 3） 当 20000,2000032 如下的约束条件： 3232利用 即 ：当二厂的生产数量为 0件，三厂的生产数量为 20001件时，两厂的总利润最大，为： 4） 当 20 000,20 00032 时的销售价格会小于成本价，不但不会有利润还会亏本，所以这种情况不存在。 综上所述：将 1）， 2）和 3）的结果进行比较可得，二厂、三厂合作的时候，两厂的总利润最大为 时有两种方案： 当二厂的生产数量为 20001件，三厂的生产数量为 0件时，二厂的利润为： 当二厂的生产数量为 0件，三 厂的生产数量为 20001件时，三厂的利润为： 题四 问题的分析：当三个厂进行合作，使得三个厂的总的收益最大。每个厂的成本价会随着生产数量的变化而改变。市场销售价格也会随着产品数量的变化而改变。要求三个厂的总收益最大，可列目标函数为： 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )Q p c q p c q p c q 7 约束条件为： 25000375000. 321 321 根据每个厂的生产数量的不同，其成本价不同，销售价也会发生改变。因此可分为八种情况，结果如（ 表二）所示： 表二 问题四根据生产数量范围的变化列出如下表格 一厂 二厂 三厂 生产数量 总收益 8 不存在 由上表可知：种情况的收益最大，种情况应该舍去。 种情况相对于的收益较低。因此在三个厂相互合作的情况下，总的生产量为 31250件的时候，收益最大。不论是一厂生产 31250 件汽车配件，还是二厂生产 31250件汽车配件，更或者是三厂生产 31250件配件，总的收益为 自厂的收益均为： 。 四 模型的比较和评价 此题属于多目标规划模型。问题一主要运用了多目标规划模型，问题二运用了线性模型，问题三运用了生产分配模型，问题四运用了合作模型。对于问题的解答并没有固定的模型进行求解，可同时运用到多个模型进行求解。 在问题三和问题 四的解答结果可知，使得收益达到最大值，会有的厂生产汽车配件，而另外的厂不生产汽车配件。这个不符合实际情况。问题四所建立的模型是合作模型，最后每个厂收益均为 涉及到一个厂生产汽车配件，而另外两个厂不生产，虽然是合作关系，可不符合按劳分配利润，所以此种生产方案有待改进。 五 附录 【参考文献】： 1 ：姜启源 谢金星， 数学建模案例选集， 高等教育出版社， 北京， 2006 2 ：颜文勇 ，数学建模， 高等教育出版社，北京 ， 2011 【问题的编程和结果】： （问题一） （最大利润） ; p*; P*; p*; P*; p*; p=3-(q1+q2+25000; 11 1 46 1 1 2 2 3 3 0 1 ; p*; P*; p*; .5;P*; p*; .5;0001; p=3-(q1+q2+25000; 0 17 14 1 1 2 2 3 3 0 1 ; p*; P*; p*; .5;5001; P*; p*; .5;5001; p=3-(q1+q2+25000; 0 17 23 1 1 2 2 3 3 0 1 ; p*; P*; p*; .5;.5;5001; 0001; P*; p*; .5;.5;5001; 0001; 0001; p=3-(q1+q2+25000; 结果错误） （问题二） p*p=3-(0408)/25000; 5001; 24 0 22 2 2 3 3 2=0.5 .6 p=3-(q2+25000; q2+0001; .5; 26 0 10 2 2 3 3 问题四） 27 q