《自动控制原理》习题及解答

119 第六章习题及解答 6试求下列函数的 )()1( ( ) ( )2 2 3e t t e t 21)()3( )2)(1( 3)()4( （ 1） 0 111)(az （ 2） 322)1()1(由移位定理： 33 33233 33232 )( )()1( )1( T Tt ez （ 3）22111)( 2)1(1)( （ 4）21)( 210 s cs (3(3)(1(3 22)1(2 3)( 2 TT ez zz 6 2 试分别用部分分式法、幂级数法和反演积分法求下列函数的 120 ( ) ( )( ) ( )1 101 2E z zz z 21121 3)()2( zz （ 1）)2)(1( 10)( zz 部分分式法 )12(10210110)()2(10)1(10)(210110)2)(1(10)( 幂级数法：用长除法可得 )3(70)2(30)(10)(7030102310)2)(1( 10)(*3212 反演积分法 )()12(10)()12(10210110)(21011021111（ 2） 2221)1()13(12)13(213)( 部分分式法 00*222)()32()(32)()(132)(13)1(2)(13)1(2)1(31)( 121 幂级数法：用长除法可得 )3(9)2(7)(5)(3)(9753123)(*32122 反演积分法 12111 )3(1)( 32)1(31 0* )()32()( 6试确定下列函数的终值 ( ) ( )( )1 111 2E z )1()2(22 解 （ 1） 21111 )1()1(2）)1(6已知差分方程为 c k c k c k( ) ( ) ( ) 4 1 2 0 初始条件： c(0)=0,c(1)=1。试用迭代法求输出序列 c(k),k=0， 1， 2， 3， 4。 解 依题有 564154)4(15144)3(4014)2(1)1(,0)0()()1(4)2(试用 )0(0)(,)(1)()()(8)1(6)2()1( 122 ),2,1,0(,)(0)()0()()()1(2)2()2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , ( )3 3 6 2 11 1 6 00 1 1 2 0c k c k c k c kc c c )2/c o s ()(6)1(5)2()4( 0)1()0( 解 （ 1） 令 ，代入原方程可得： 0)( 对差分方程两端取 z 变换，整理得 1)4)(2( 1)(861)( 2 z z zz zz 61221131)( （ 2） 对差分方程两端取 z 变换，整理得 01*113211211211132321121121112222)()1(141)()1(141)(41)1()1(2)1(1)(2)1(1)()1()1(121)(123 (3) 对差分方程两端取 z 变换得 0)(6)0()(11)1()0()(6)2()1()0()( 22233代入初条件整理得 ()3(25)2(7)1(211)(3212521711211)(6116177)(177)()6116(23232323（ 4） 由原方程可得 112c o c o s()()65( 2222 z 2s o (2s o (103)2(52)(11101311032152)1)(3)(2()()1)(3)(2()1)(65()(1112222222由以下差分方程确定脉冲传递函数。 )1()1()()1()1()2( 对上式实行 z 变换，并设所有初始条件为 0 得 )()1()()()1()( 根据定义有 ()1()()()( 124 6设开环离散系统如题 6求开环脉冲传递函数 )( 解 （ a ） )(105522)(522TT （ b ）)()(310513102131055225252 )()(3105522)(5252 （ c ） )5)(2(1)1(10)5)(2(10)1( 1s 5115121611101)1(10 (3532)32351(1321351323511)(52752525252 125 6 8 试求下列闭环离散系统的脉冲传递函数 )(z 或输出 z 变换 )( 题 6 离散系统结构图 解 （ a ）将原系统结构图等效变换为图解 6-8(a)所示 图解 6-8(a) )()()(1)()()()()()()()()()(1)()()()()()(1)()()()(1)()()()()()()()()()()()()(1)()()(1)(1)()()(1)()()()()()(1)()()()()()()()(31211131213121321213322211212112121121121121111 126 （ b ）由系统结构图 )(1)()()()()()()()()()()()()()()(43143421434214342（ c ）由系统结构图 )()()()()()()()( 2112122 )()()( )()()()()()()()( 2112122 )()(1 )()()()()()()()( 211 2112122 h )()(1 )()()()()(21121212 6 9 设有单位反馈误差采样的离散系统，连续部分传递函数 G ss s( ) ( ) 1 52输入 )(1)( ，采样周期 。试求： （ 1）输出 z 变换 )( （ 2）采样瞬时的输出响应 )(* （ 3）输出响应的终值 )(c 。 解 （ 1）依据题意画出系统结构图如图解 6 1()4()()1(25)61()4()(1)()()()1(2561)4()(1(5)1()1(51)5(1)(2325255252552555522127 8 9 6 7 3 8 3 8 3 9 )()()()( （ 2） )4(4 5 8 1 5 9 * （ 3）判断系统稳定性 (,()( 23列朱利表 0z 1z 2z 3z 1 5 2 25 )(闭环系统不稳定，求终值无意义。 6试判断下列系统的稳定性 （ 1）已知离散系统的特征方程为 D z z z z( ) ( ) ( . ) ( ) 1 0 5 2 0 （ 2）已知闭环离散系统的特征方程为 D z z z z z( ) . . . 4 3 20 2 0 36 0 8 0 （注：要求用朱利判据） （ 3）已知误差采样的单位反馈离散系统，采样周期 T=1(s)，开环传递函数 G s s s( ) .( ) 22 5712 解 （ 1）系统特征根幅值 21 ， 有特征根落在单位圆之外，系统不稳定。 （ 2） 234 用朱利稳定判据（ 4n ） 128 0z 1z 2z 3z 4z 1 2 1 4 5 0 8 9 (,203040统不稳定。 （ 3） ( 22 )1()1()21(21112 1()1()(231112 用朱利稳定判据（ 3n ） 0z 1z 2z 3z 1 2 1 )(,(2030系统不稳定6设离散系统如题 6样周期 T=1(s)， Gh(s)为零阶保持器，而 G s Ks s( ) ( . ) 0 2 1要求： 129 （ 1）当 K=5时，分别在 （ 2）确定使系统稳定的 解 （ 1） 561)54()1(5154)(1()()(1(5154)(5111)1)(1(5)1()1(1)1()(55552555555555555221K 时 09 66 2 解根得 )(3 6 3 1 系统不稳定 以11 2 0 3 5 2 )(有系数小于零，不满足系统稳定的必要条件。 （ 2）当 K 为变量时 )0 0 6 7 3 1 0 0 6 7 3 1 3 ( 2 以11 )6 0 9 4 3 3 8 3 6 9 3 2 由劳斯判据可得系统稳定的 K 值范围为： K 6利用 劳思 判据分析题 6示二阶离散系统在改变 K 和采样周期 T 的影响。 解 根据已知的 )(以求出开环脉冲传递函数 )(1()1()( 闭环特征方程为： 0)(1( )1(1)(1 题 6 130 即 0)1()1(2 令11，进行 w 变换，得 011)1()1(11 2 化简整理后得 0)1()1(2)1()1(2 2 可得如下劳思表： 2w )1()1(2 TT )1( 1w )1(2 0w )1( 得系统稳定的条件 00)1(0)1()1(2 1 )1(206题 6(1 )()1()( 122 试确定系统稳定时的 K 值范围。 解 由于 )()()()()1()(1212122则 112 11)()()( 广义对象脉冲传递函数 131 (1()1()1()1()1()1()1()(1111s 开环脉冲传递函数为 )1( )()( 1 03 6 6 ()(1 2 进行 w 变换，令11，化简后得 06 3 6 3 27 3 2 出劳斯表如下 2w 1w 0 0w 若系统稳定，必须满足 0,063 K 6如题 6求在 )( 作用下的稳态误差，试确定放大系数 K 及系统稳定时 T 的取值范围。 解 )(1( )1(1111)1()( zz 因为 2)1()1()(1()(1()()(11)( 以 ()1()(1()(1()1(由上式求得 4K 。 该系统的特征方程为 0)1(4)(1()(1 TT 即 0)53(2 TT 令11代入上式得 026)1(2)1(4 2 列出劳斯表如下 132 2w )1(4 26 1w )1(2 0 0w 26 系统若要稳定，则劳斯表得第一列系数必须全部为正值，即有 3260,01由此得出 3T 时，该系统是稳定的。 6设离散系统如题 6中采样周期,21)(,10,)( 试用终值定理计算系统的稳态误差 )(e 。 解 系统开环脉冲传递函数为 2321312)1(5)1()1(5)1()0)1()01)( 代入并整理得 ()1(2)1()()1(2)1()1()(11)()()()1(221113222222233 6设离散系统如题 6中 )(,1,)(试求静态误 差系数、，并求系统在 )( 作用下的稳态误差 )(e 。 解 系统开环脉冲传递函数为 )(1()1()1()1()1(1)1()(2121 代入并整理得 11)(1()()1(1()11()1111已知离散系统如题 6中 )(25.0 2)( 时，欲使稳态误差小于 试求 K 值。 解 首先验证系统的稳定性 1(1)(s 1)1(11)( 22222 s 134 232322)(1)( 0011)1( 82011)1( 3w 0 2w 1 1w 221 T 0w 21 0122 解出 K 综合 ， K 稳定的范围为 K 使稳态误差为 值： 2)1(12)(12)( z 系统是 型系统，阶跃输入下的稳态误差为零，斜坡输入下的稳态误差为常值 )1(10 K 10 K 时不稳定，不能使 1.06试分别求出题 6( 解 （ a） 135 )1(222220 入得 1( 2 zz (1()()( 2322 654321 0 0 )6(* (b) )9 0 1()9 6 6 0 4 8 (1)1()( 1 0 4 8 1)()(21 T 9 6 6 0 4 8 9 6 6 0 4 8 )()( 2322 654321 1 4 0 8 4 8 4.0 )6(* 6已知离散系统如题 6其中采样周期 )(1 ，连续部分传递函数 136 G ss 1( ) ( ) 试求当 )(1)( 时，系统无稳态误差，过渡过程在最少拍内结束的数字控制器 )( 解 )1( ( 1)( 11 110 zz zz )(1)( 查教材中表 6 1()()1()(11111111 6设离散系统如题 6其中采样周期 )(1 ，试求当 (1)( 时，系统无稳态误差、过渡过程在最少拍内结束的 )( 解 系统开环脉冲传递函数为 1)1()( 21 z 1(1)( 令 0)(1)()1(1011 21 )1()( 212)(1)( (2)1(1 1)2()()()()(1121111 37 6已知采样系统如题 6中采样周期 )(1 ，要求设计一个数字控制器 )(使系统在斜坡输入下，调节时间为最短，并且在采样时刻没有稳态误差。 题 6 具有数字控制器的采样系统 题 6 最少拍无静