《机械优化设计》孙靖民哈尔滨工业大学课后答案

第四章 第 1 题答案： 当取初始点 300= x， 。 2= 题答案： 取 300= x， 。 2= 题答案： 112=x， 。 1)(2= 题答案： 取 110= x， 。 2= 题答案： 可参考表 4 第五章 第 1 题答案： 0 0 4*=时， = *第 2 题答案： 4280 0 84 24 20*= 第 3 题提示： 求解方法可参考第四节中的应用实例。 第 4 题提示： 如果设 分别以、 、五种下料方式所用钢材的件数， 则此问题的数学模型是： 求一组 的值，满足下列限制条件 54321、)5,2,1(L=+=+=+)5,2,1( 01003 23100 22 100 2 5321543421 +=达到最小。 第六章 第 1 题答案： =+ 题答案： =。 题答案： = 题答案： = 题答案： 当 时， ，该问题的最优解为： 。 0r 32x=311已知约束优化问题： 02)(0)()1()2()(+=+=k 次 的迭代点 出发，沿由（1 ）区间的随机数 成一次迭代，获取一个新的迭代点1)(=)1( +并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。 解 1）确定本次迭代的随机方向： += 2) 用公式： 计算新的迭代点。 步长取为搜索到约束边界上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为 2，则： +=+ )()1(+=+=+=+=+=+ 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。 2已知约束优化问题： 0)(0)(025)(124)(=+= 3,14,12030201= 为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。 解 1）计 算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点： 935120101=030302023314顶点均为可行点，其中， 为最坏点。为最好点，0203算去掉最坏点 后的复合形的中心点： 02x+=+=3）计 算反射点 （取反射系数1 ） 1102001=+=+=目标函数经判断4）去 掉最坏点 构成新的复合形，在新的复合形中 1，由02，进行新的一轮迭代。 为最坏点为最好点，011算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得： =+=6）计 算新一轮迭代的反射点得： ，完成第二次迭代。值为可行点，其目标函数经判断 1201112=+=+=3设已知在二维空间中的点 ，并已知该点的适时约束的梯度，目标函数的梯度1 = ，试用简化方法确定一个适用的可行方向。 解 按公式 6算适用的可行方向：)(= /)( 点的目标函数梯度为： = 点处起作用约束的梯度 G 为一个 阶的矩阵，题中：n=2 ，J=1 ： 1)(1= 梯度投影矩阵 P 为： =则：适用可行方向为： =4已知约束优化问题： 000)(34)(3(222121=+=的梯度投影方向。 解 按公式 6算适用的可行方向：)(= /)( 点的目标函数梯度为： = )( 点处起作用约束的梯度 G 为一个 阶的矩阵，题中：n=3 ，J=1 ： 01)(1= 梯度投影矩阵 P 为： =10001000000100100100110001000111则：适用可行方向为： =5用内点法求下列问题的最优解： 0312)(2112221=+=示：可构造惩罚函数 ，然后用解析法求解。 ） =21)(),(解 构造内点惩罚函数： =+=21)()(),(32令惩罚函数对 x 的极值 等于零： 0)3/()(222221= 48366121=舍去负根后，得483662= 当 1302= 该问题的最优解为，时， 。 6 用外点法求下列问题的最优解： 00)(=+= 将上述问题按规定写成如下的数学模型： n,x,x(n) fx=x(1)+x(2) n,kg,x,x(n),gx()=x(1)*x(1) )=) n,kh,x,x(n),hx()=0.0 后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解： = = N= 2 2 0 X : 1 1 1 1 1 X : 1 1 1 1 1 1 R = 1 C = 0 = = 21 54 117 3759 0 0 R= : X: X: 用混合惩罚函数法求下列问题的最优解： 01)(0)()(2121112+= 将上述问题按规定写成如下的数学模型： n,x,x(n) fx=x(2) n,kg,x,x(n),gx()=x(1) )=) )=) n,kh,x,x(n),hx()=x(1)+x(2)-1 后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解： = = N= 2 3 1 X : 1 1 1 0 1 1 X : 1 1 1 0 1 1 1 1 R = 1 C = 0 = = 29 143 143 1190 0 172 R= 0 X : 1 X: 1 1 X: 有一汽门用弹簧，已知安装高度 装（初始）载荷 72N，最大工作载 荷 80N，工作行程 h=簧丝用油淬火的 50丝，进行喷丸处理； 工作温度 126C ；要求弹簧中径为 200弹簧总圈数 4 50，支 承圈数 绕比 C6 ；安全系数为 计一个具有重量最轻的结构方案。 解 1设计变量：影响弹簧的重量的参数有弹簧钢丝直径：d ，弹簧中径 弹簧总圈数 取这三个参数作为设计变量：即： = 标函数：弹簧的重量为 式中 钢丝材料的容重， 36/107.8 =目标函数的表达式为 = 约束条件： ）弹簧的疲劳强度应满足 式中 可取最小安全系数，按题意 S弹簧的疲劳安全系数，由下式计算： + =0002式中 ：劳极限，计算方法如下弹簧实际的脉动循环疲0 初选弹簧钢丝直径：4 d 8抗拉强度 ，取弹簧的循环工作次数大于 ，则材料的脉动循环疲劳极限为 = 设可靠度为 90，可靠性 系数 868.0= 工作温度为 126C ，温度修正系数 =+=提高疲劳强度 10，则弹簧实际的脉动循环疲劳极限为 00=+= 簧材料的剪切屈服极限，计算公式为 = 弹簧的剪应力幅，计算公式为 328 式中 k 曲度系数，弹簧承受变应力时，计算公式为 += 载荷幅，其值为 272680(2/)(12= 弹簧的平均剪应力，计算公式为 328 式中 应力修正系数，计算公式为 += 平均载荷，其值为 272680(2/)(12=+=+= 由此，得到弹簧疲劳强度的约束条件为 计算剪应力幅 ： (=328计算平均应力幅 +=33288 计算弹簧的实际疲劳安全系数 S ： + =0002从而得到弹簧的疲劳强度约束条件为 =）根据旋绕比的要求，得到约束条件 016)(21=）根据对弹簧中径的要求，得到约束条件 050222=1)4(0120)3(据压缩弹簧的稳定性条件，要求： 2式中 压缩弹簧稳定性的临界载荷，可按下式计算： =K 要求弹簧具有的刚度，按下式计算： = 弹簧的自由高度，按下式计算： 0 = 时， 10+=+= 长度折算系数，当弹簧一端固定，一端铰支时，取 ； 则： +=13 01680)(25= 5） 为了保证弹簧在最大载荷作用下不发生并圈现象，要求弹簧在最大载荷 时的高度应大于压并高度 ，由于 2=于是得到 131226= 了保证弹簧具有足够的刚度，要求弹簧的刚度 与设计要求的刚度K K 的误差小于 1/100，其误差值用下式计算： 100/)(33241=式中 G弹簧材料的剪切弹性模量，取 G=80000于是得到 0)()(7= ）为了限制设计变量的取值范围，得到 180)( = 39= 从上面的分析， 以重量最轻为目标的汽门弹簧的优化设计问题共有 3 个设计变量，个约束条件。按优化方法程序的规定，编写数学模型的程序如下： n,x,x(n) x(1)*x(1)*x(2)*x(3) n,kg,x,x(n),gx(30.3*x(2)*x(1)*x(2)/x(1)*3+x(1)*2 s=)=1.2/ )=6.0*x(1)/x(2) )=20.0/x(2) )=x(2)/ p=x(2)/(x(3)x(1)+*2 if(0 (x(3)x(1)+( p) )=68.0/ 0 10 )=0 )=x(1)*x(3)x(1) )=) )=) 8.0*x(2)*3*(x(3) if()= 0000.0*x(1)*4/)=if n,kh,x,x(n),hx()=0.0 利用惩罚函数法（）或约束方向法（ ）计算，得到的计算结果如下： = = N= 3 9 0 X : 1 2 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 R = C = 0 = = 22 87 320 2179 0 0 R= 0 X : 1 2 1 0 0 0 1 1 1 图 6示为一对称的两杆支架，在支架的顶点承受一个载荷为 2F=300000N， 支架之间的水平距离 2B=1520已选定壁厚 T=管，密度 /1083 屈服极限 700=求在满足强度与稳定性条件下设计最轻的支架尺寸。 解 1建立数学模型 设计变量： = =+= 约束条件： ）圆管杆件中的压应力 应小于或等于即 +=22于是得 ）圆管杆件中的压应力 应小于或等于压杆稳定的临界应力由欧拉公式得钢管的压杆温度应力()(=+=2式中 A 圆管的截面积； L圆管的长度。 于是得 0)(577(2221521222+= ）设计变量的值不得小于或等于 0 于是得 0)(0)(2213= 以上分析可知，该优化设计问题具有 2 个设计变量，4 个约束条件，按优化方法程序的规定编写数学模型的程序如下： x(1)*77600.0+x(2)*x(2) n,kg,x,x(n),gx()=77600.0+x(2)*x(2)/(x(1)*x(2) )=77600.0+x(2)*x(2)/(x(1)*x(2)- 1 x(1)*x(1)+(577600.0+x(2)*x(2) )=) )=) 利 用惩罚函数法（）计算，得到的最优解为： = = N= 2 4 0 X : 2 3 1 3 3 2 3 1 R = 1 C = 0 = = 18 39 39 229 0 57 R= 1 X : 2 3 1 3 2 3 10图 6示为一箱形盖板，已知长度 L=6000度 b=600度 承最大单位载荷 q=箱形盖板的材料为铝合金，其弹性模量 ，泊松比 ，许用弯曲应力 ，许用剪应力 ，要求在满足强度、刚度和稳定性条件下，设计重量最轻的结构方案。 解 1 建立数学模型 设计变量：取结构的翼板厚度 和高度 为设计变量，即 ft h=21结构的总重量最轻为目标函数，计算公式为 )(1206000)2(2 += 不计材料密度和常数，不会影响目标函数的极小化，于是得 21120)( = 约束条件： ）设计变量不得小于或等于 0，于是得 0)(22=)(11）结构的剪应力不得大于许用剪应力： 结构的最大剪应力用下式计算： 式中 Q 最大剪力， = 许用剪应力： 于是得 0401)(23=构的弯曲应力不得大于许用弯曲应力： 结构的最大弯曲应力用下式计算： 式中 M 最大弯矩， = 4500082I截面惯性矩， 于是得 070)(14=45000145000112板中的屈曲临界稳定应力不得大于或等于最大应力： 2(14= 于是得 01045710457)(431435=2构的最大挠度不得大于或等于许用挠度： 结构的最大挠度用下式计算： = 材料的许用挠度： 5400/ = 于是得 522152626=2从 以上分析可知，该优化设计问题具有个设计变量，个约束条件，按优化方法程序