数学建模之输油管的布置方案

1 数学建模之 输油管的布置 方案 一、问题的重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂， 同时在铁路线上增建一个车站，用来 运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出 你 的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 2. 设计院目前 需 对复杂情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示 ， 其中A 厂位于郊区（图中的 I 区域）， B 厂位于城区（图中的 域 ） ，两个区域的分界线用图中的虚线表示 。图中各字母表示的距离（单位： 千米） 分别为 a = 5， b = 8， c = 15， l = 20。 若 所有 管线 的 铺设费用均为每千米 元。 铺设在城区的 管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中 公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质） 进行了估算。估算结果如下表所示： 请为设计院给出管线布置方案 及相应的费用 。 3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送 A 厂成品油的每千米 元，输送 B 厂 成品油的每千米 元，共用管线费用为每千米 元 ，拆迁等附加费用同上。请给出管线工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元 /千米） 21 24 20 2 最佳布置方案 及相应的费用 。 二、模型假设 1、管道均以直线段铺设，不考虑地形影响。 2、不考虑管道的接头处费用。 3、忽略铺设过程中的劳动力费用，只考虑管线费用。 4、将两炼油厂和车站近似看作三个点。 5、将铁路近似看作一条直线。 6、不考虑施工之中的意外 情况，所有工作均可顺利进行。 7、共用管线的价格如果和非公用管线不一致，则共用管线价格大于任意一条非公用管 线价格，小于两条非公用管线价格之和。 8、根据查询资料我们可以为所给出的三个工程咨询公司进行分权，甲级资质分权 乙级资质分权为 9、假设共用管线与非共用管线存在价格差时，共用管线价格大于非共用管线价格低于 两倍的非共用管线价格。 10、默认 炼油厂近。 3 三、符号说明 W：方案的经费 a： b： c: l: A、 m：共用管道的费用（万元 /千米） n：非共用管道费用（万元 /千米） L: 为管线总长度 h：共用管线的长度 站的横坐标（问题二） 郊分界处拐点的纵坐标（问题二） 用管线和非共用管线交点的横坐标（问题三） 郊分界处拐点的纵坐标（问题三） p：附加费用的估计值。 四、问题分析 问题一：首先要考虑两个工厂是否在铁路的同一侧，如果两个工厂在铁路的同 一侧那么一定要考虑共用管线的问题。如果不在铁路的同一 侧那么就没有必要考 虑共用管线这个问题。当两个工厂在铁路两边时，根据两点之间线段最短的原理 4 只要求出两厂之间的距离，就可以得到最低费用设计；当两个工厂在铁路的同一 侧时，且当没有共用管线时，只需利用光的传播原理可得到最短路径；在考虑到 有共用管线时，需建立方程求解最低消费设计方案。 问题二：这个问题从市区和郊区分两个部分分析，火车站建立在郊区费用要少；因为郊区非共用管线与共用管线的费用相同，所以可以用最短路径的方法来考虑，同时又要求费用最小，可以通过方程解出最低费用及对应的铺设线路。 问题三：通 过建立坐标系设两个点的坐标，同时也是表示出管线的长度，然 后再与各自的费用之积确定总的费用，从而算出两点的坐标值。即确定了管线的 路线。 五、模型的建立与求解 的模型建立与求解 对于管线布置的分析，分为两种情况： 1、 两个炼油厂在铁路两侧，如图所示： 两炼油厂 A,为车站位置 此时 L= 22()a b l 此时为最低费用设计方案。 2、两个炼油厂位于铁路的同一侧 ,则 需考虑有无共用管线两种情况： C A E D a b l B 5 时找出两厂与铁路交点连线的最近路线即可，如图： 过铁路 A 点的对称点 A ，连接 A B，与铁路相交于点 E 即为车站所在位置，此时 L= 22()a b l 此时为最低费用设计方案。 b当存在共用管线时： A、当共用管线与非共用管线价格相同，均为 m 时： 设计方案如图所示 假设公共管线长度为 h；（ 0 h b） x= （ 1） A C D B b l h E F a 2x x Y X C A E D a b l B A a 6 L= 22()x b l+h （ 2） L= 22()a h b l +h （ 3） W=Lm=m* 22()a h b l +m*h （ 4） 当实际情况下已知 a， b， 式只存在一个未知数 h，再结合 B、当共用管线价格为 m，非共用管线价格为 n；（ n m 2n） 设计方案如图所示： W=h*m+n* 22()a h x+n* 22( ) ( )b h l x 其中： 0 x l； 0 h b； 实际情况下的费用可以根据已知道的常量 a、 b、 l 再结合 x、 h 的取值范围可以得出最小费用。 的模型建立与求解 因为在城区和郊区铁路管线的费用相同，而在城区有拆迁和工程补偿等费用，所以城区和郊区要分为两部分来考虑。我们从三家咨询公司给出的三个方案来看，我们考虑到甲级资质和乙级资质的评估准确性，所以我们对三家公司进行分权，甲级资质的权重为 40%，乙级资质的权重为 30% 所需要的附加费预估值为 p=1+4+0=元 /千米 ) A a C l x h F E b B D 7 由于城区管线铺设所花费的费用比较大 ，所以车站站点建设在郊区才是相 对节约经费的。 我们根据共用管线与非共用价格相同设计出如下图所示模型： 如上图所示建立坐标系， W= h+ 22( 1 5 2 ) 1 5 ） +22(8 1) 5y （ 1） x=5 （ 2） W= h+ 22( 1 5 2 ) 1 5 ） +22(8 1) 5y （ 3） 其中 0 h 8 0 8 利用 C+程序编辑器编辑程序求解： 最小费用 W=。 F（ h） G（ 5， A 5 C h E B D 8 20 15 x 2x Y X 8 的模型建立与求解 根据城郊管线之间以及共用管线之间存在价格差异，我们建立出如下图的模型： G 为 B 管线与分界线之间的交点； F 为 A， B 管线间的交点； A 厂到 F 点距离： 22( 5 ) ( 2 0 2 ) ； 间 距离： 22( 2 5 ) ( 2 )x y h ； B 厂到 G 点距离： 225 (8 2 )y ； 共用管道 离为 h； 0 h 8； 5 20； 0 8； F（ h） G（ 5， A 5 C h E B D 8 20 15 x 2x Y X 9 总费用： W=F+6*F+（ ） * (1) W=22( 5 ) ( 2 0 2 ) +6* 22( 2 5 ) ( 2 )x y h +7.2*h+25 (8 2 )y 利用 C+程序编辑器编辑程序求解： 得到最低的费用为 W=元。 六、模型的评价与应用 从实际的生活出发输油管道是石油生产过程中的重要环节，石油工业始终离不 开输油管线的铺设问题。它是炼油厂、车站、用户、产地之间的重要环节。 优点 ：利用数学模型的建立，是复杂的实际问题简单化，同时又与实际情况相 联系。建立合适的数学模型可以使设计达到最优的目的，使解决复杂的时间问题 更加简单化，更加得节约和快捷。 缺点 ：该模型进行了很多假设，比如忽略接头问题，和施工费用问题，以及忽 略了地形对施工的影响。在计算过程中由于 C+程序编程循环过于庞大，即采用 由粗至细的运算方法，存在一定误差。 应用 ：模型在实际运用中，不仅仅可以用在成品油运输管布置，还可运用到原 油输送和污水处理，电线电缆的布置还有公路铁路的修建等一些列的线路布置问 10 题。 附录 问题二的 C+程序片段 # h,