2016年江西省抚州市临川中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 33 页） 2016 年江西省抚州市临川中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1 的倒数是（ ） A B C D 2下列运算正确的是（ ） A = 9 B = 2 C （ = 2（ a b） = 2a 2b 3某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示： 时间（小时） 5 6 7 8 人数 10 15 20 5 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ） A 时 B 时 C 时 D 7 小时 4将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（ ） A B C D 5如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为 2a，则纸片的剩余部分的面积为 （ ） A 5a B 4a C 3a D 2a 6二次函数 y=x2+x+c 的图象与 x 轴的两个交点 A（ 0）， B（ 0），且 2 页（共 33 页） P（ m， n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ） A当 n 0 时， m 0 B当 n 0 时， m 当 n 0 时， m 当 n 0 时， m 、填空题（本大题共 8 个题，每小题 3 分，共 24 分） 7计算： = 8一张薄的金箔的厚度为 科学记数法可表示 m 9若 1 是关于 x 的方程 x2+5=0 的一个根，则方程的另一个根 10分解因式： 4a= 11已知点（ 3， 5）在直线 y=ax+b（ a， b 为常数，且 a 0）上，则 的值为 12如图， O 的直径， O 的弦， 延长线交于 E 点，若 E=18，则 度数为 度 13把四张形状大小完全相同的小长方形卡 片（如图 1）不重复地放在一个底面为长方形（长为 m 为 n 盒子底部（如图 2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示则图 2 中两块阴影部分周长和是 用 m 或 n 的式子表示） 14如图，在矩形 ， ， ，点 E 为 一个动点，把 叠，当点 D 的对点 D落在矩形的对角线上， 长为 第 3 页（共 33 页） 三、（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分） 15先化简： （ ），再从 2 x 3 的范围内选取一个你喜欢的 x 值代入求值 16如图，在 ， F 是 中点，延长 点 E，使 接 F （ 1）求证：四边形 平行四边形； （ 2）若 ， ， B=60，求 长 17在四边形 ， C=90， D， 分 E，请你只用无刻度的直尺画出矩形 留作图痕迹） 18为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次 （ 1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况； （ 2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率； （ 3）三次传球 后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？ 四、（本大题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分） 19近年来，我国很多地区持续出现雾霾天气某市记者为了了解 “雾霾天气的第 4 页（共 33 页） 主要成因 ”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表 组别 观点 频数（人数） A 大气气压低，空气不流动 m B 地面灰尘大，空气湿度低 40 C 汽车尾气排放 n D 工厂造成的污染 120 E 其他 60 请根据图表中提供的信息解答下列问题： （ 1）填空： m= ， n= ，扇形统计图中 E 组所占的百分比为 % （ 2）若该市人口约有 400 万人，请你计算其中持 D 组 “观点 ”的市民人数 （ 3）对于 “雾霾 ”这个环境问题，请用简短的语言发出倡议 20某商场要建一个地下停车场，下图是地下停车场的入口设计示意图，拟设计斜坡的倾斜角为 18，一楼到地下停车场地面的距离 ，地平线到一楼的垂直距离 米， （ 1）为保证斜坡倾斜角为 18，应在地面上距点 B 多远的 A 处开始斜坡的施工？（精确到 ） （ 2）如果一辆高 的小货 车要进入地下停车场，能否进入？为什么？（参考数据： 第 5 页（共 33 页） 21如图，已知点 A（ 4， 0）， B（ 0， 4 ），把一个直角三角尺 在 其斜边 线段 ，三角尺可沿着线段 下滑动其中 0，点 G 为边 中点 （ 1）求直线 解析式； （ 2）如图 1，当点 D 与点 A 重合时，求经过点 G 的反比例 函数 y= （ k 0）的解析式； （ 3）在三角尺滑动的过程中，经过点 G 的反比例函数的图象能否同时经过点 F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由 22如图， O 的直径，弦 H，过 长线上一点 E 作 O 的切线交 延长线于 F切点为 G，连接 K （ 1）如图 1，求证： E； （ 2）如图 2，若 判断线段 的数量关系，并说 明理由； （ 3）在（ 2）的条件下，若 ， ，求 O 的半径 五、（本大题共 2 小题， 23 题 10 分， 24 题 12 分，共 22 分） 第 6 页（共 33 页） 23在正五边形 ， （ 1）如图 1，将正五边形 叠，点 E 落在 E处，连接 证明 D、 E、 B 三点在一条直线上； 填空： （ 2）如图 2，点 F 在 上，且 叠正五边形 A、E 的对应点分别为 A、 E，那么 A E大小有什么关系？请说明理由 （ 3）如图 3，在正五边形 连接 点 P 在线段 （点 P 与A、 D 不重合）动点 Q 在线段 延长线上，且 Q，连接 点 N，过点 P 作 点 M 点 P、 Q 在移动的过程中，线段 长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求中线段 长度 24在平面直角坐标系中，已知抛物线 y= x2+bx+c（ b， c 为常数）的顶点为 P，等腰直角三角形 顶点 A 的坐标为（ 0， 1）， C 的坐标为（ 4， 3），直角顶点 B 在第四象限 （ 1）如图，若该抛物线过 A， B 两点，求该抛物线的函数表达式； （ 2）平移（ 1）中的抛物线，使顶点 P 在直线 滑动，且与 于另一点 Q （ i）若点 M 在直线 方，且为平移前（ 1）中的抛物线上的点，当以 M、 P、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角 形时，求出所有符合条件的点 M 的坐标； （ 中点 N，连接 探究 是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由 第 7 页（共 33 页） 第 8 页（共 33 页） 2016 年江西省抚州市临川中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1 的倒数是（ ） A B C D 【考点】 倒数 【分析】 根据倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数 【解答】 解： （ ） （ ） =1， 的倒数是 故选 D 2下列运算正确的是（ ） A = 9 B = 2 C （ = 2（ a b） = 2a 2b 【考点】 整式的除法；算术平方根；去括号与添括号；负整数指数幂 【分析】 直接利用整式除法运算法则以及结合算术平方根和负指数幂的性质分贝化简求出答案 【解答】 解： A、（ ） 2=9，故此选项错误，不合题意； B、 =2，故此选项错误，不合题意； C、 （ = 确，符合题意； D、 2（ a b） = 2a+2b，故此选项错误，不合题意 故选： C 3某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示： 第 9 页（共 33 页） 时间（小时） 5 6 7 8 人数 10 15 20 5 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ） A 时 B 时 C 时 D 7 小时 【考点】 加权平均数 【分析】 根据加权平均数的计算公式列出算式（ 5 10+6 15+7 20+8 5） 50，再进行计算即可 【解答】 解：根据题意得： （ 5 10+6 15+7 20+8 5） 50 =（ 50+90+140+40） 50 =320 50 =时） 故这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 时 故选： B 4将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（ ） A B C D 【考点】 简单组合体的三视图 【分析】 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中 【解答】 解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线 故选 A 5如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为 2a，则纸片的剩余部分的面积为 （ ） 第 10 页（共 33 页） A 5a B 4a C 3a D 2a 【考点】 图形的剪拼 【分析】 如图所示可将正六边形分为 6 个全等的三角形，阴影部分由两个三角形组成，剩余部分由 4 个三角形组成，故此可求得剩余部分的面积 【解答】 解：如图所示： 将正六边形可分为 6 个全等的三角形， 阴影部分的面积为 2a， 每一个三角形的面积为 a， 剩余部分可分割为 4 个三角形， 剩余部分的面积 为 4a 故选： B 6二次函数 y=x2+x+c 的图象与 x 轴的两个交点 A（ 0）， B（ 0），且 x1 P（ m， n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ） A当 n 0 时， m 0 B当 n 0 时， m 当 n 0 时， m 当 n 0 时， m 考点】 抛物线与 x 轴的交点 【分析】 首先根据 a 确定开口方向，再确定对称轴，根据图象分析得出结论 【解答】 解： a=1 0， 开口向上， 抛物线的对称轴为： x= = = ， 二次函数 y=x2+x+c 的图象与 x 轴的两个交点 A（ 0）， B（ 0），且 第 11 页（共 33 页） 无法确定 正负情况， 当 n 0 时， m m 的正负无法确定，故 A 错误， C 正确； 当 n 0 时， m m B， D 错误， 故选 C 二、填空题（本大题共 8 个题，每小题 3 分，共 24 分） 7计算： = 【考点】 二次根式的加减法 【分析】 先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式求解 【解答】 解：原式 =2 = 故答案为： 8一张薄的金箔的厚度为 科学记数法可表示 10 8 m 【考点】 科学记数法 表示较小的数 【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10n与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定本题 a=n= 8 【解答】 解： 00 091m 用科学记数法可表示 10 8m 第 12 页（共 33 页） 9若 1 是关于 x 的方程 x2+5=0 的一个根，则方程的另一个 根 5 【考点】 根与系数的关系 【分析】 设方程的另一根为 一个根为 1，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于 方程，求出方程的解得到 值，即为方程的另一根 【解答】 解： 关于 x 的方程 x2+5=0 的一个根为 1，设另一个为 5， 解得： ， 则方程的另一根是 故答案为： 5 10分解因式： 4a= a（ b 2） 2 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分析】 先提取公因式 a，再根据完全平方公式进行二次 分解完全平方公式：2ab+ a b） 2 【解答】 解： 4a =a（ 4b+4）（提取公因式） =a（ b 2） 2（完全平方公式） 故答案为： a（ b 2） 2 11已知点（ 3， 5）在直线 y=ax+b（ a， b 为常数，且 a 0）上，则 的值为 【考点】 一次函数图象上点的坐标特征 【分析】 将点（ 3， 5）代入直线解析式，可得出 b 5 的值，继而代入可得出 答案 【解答】 解： 点（ 3， 5）在直线 y=ax+b 上， 5=3a+b， b 5= 3a， 则 = = 第 13 页（共 33 页） 故答案为： 12如图， O 的直径， O 的弦， 延长线交于 E 点，若 E=18，则 度数为 54 度 【考点】 三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识 【分析】 根据 于圆的半径，在 ，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解 【解答】 解：连接 E， E= 在 ， E+ 6， D， 6， 在 ， E+ 8+36=54 13把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图 1）不重复地放在一个底面为长方形（长为 m 为 n 盒子底部（如图 2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示则图 2 中两块阴影部分周长和是 4n 用 m 或 第 14 页（共 33 页） 【考点】 整式的加减 【分析】 设小长方形卡片的长为 为 图形得到 m x=2y，即 x+2y=m，分别表示阴影部分两长方形的长与宽，进而表示出阴影部分的周长和，去括号合并后，将 x+2y=m 代入，即可得到 结果 【解答】 解：设小长方形卡片的长为 为 得： m x=2y，即 x+2y=m， 根据近题意得：阴影部分的周长为 2（ m x） +（ n x） +2（ n 2y） +（ m2y） =2（ 2m+2n 2x 4y） =4m+n（ x+2y） =4（ m+n m） =4n（ 故答案为： 4n 14如图，在矩形 ， ， ，点 E 为 一个动点，把 叠，当点 D 的对点 D落在矩形的对角线上， 长为 【考点】 翻折变换（折叠问题）；矩形的性质 【分析】 先依据勾股定理可求得 长，然后由翻折的性质可求得 D=3，于是可求得 DC 的长，接下来，证明 据相似三角形的性质可求得 翻折的性质可求得 长 【解答】 解：如图所示；连接 第 15 页（共 33 页） 由翻折的性质可知； D， D=3， D= =90， =90 在 ，由勾股定理得： =5 2 = 0， 即 ，解得； 故答案为： 三、（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分） 15先化简： （ ），再从 2 x 3 的范围内选取一个你喜欢的 x 值代入求值 【考点】 分式的化简求值 【分析】 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出 x 的值，代入计算即可求出值 【解答】 解：原式 = = = ， 当 x=2 时，原式 =4（ x 1， 0， 1） 16如图，在 ， F 是 中点，延长 点 E，使 接 F （ 1）求证：四边形 平行四边形； （ 2）若 ， ， B=60，求 长 第 16 页（共 33 页） 【考点】 平行四边形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理 【分析】 （ 1）由 “平行四边形的对边平行且相等 ”的性质推知 C；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形 对边平行且相等（ E，且 即四边形 平行四边形； （ 2）如图，过点 H ，构造含 30度角的直角 过解直角 在直角 运用勾股定理来求线段 长度 【解答】 证明：（ 1）在 ， C F 是 中点， 又 E，且 四边形 平行四边形； （ 2）解：如图，过点 D 作 点 H 在 ， B=60， 0 ， B=4， ， 在 ， F= ，则 在 ，根据勾股定理知 = 第 17 页（共 33 页） 17在四边形 ， C=90， D， 分 E，请你只用无刻度的直尺画出矩形 留作图痕迹） 【考点】 作图 应用与设计作图；矩形的性质 【分析】 根据矩形的性质得到 是 过 D 作 F 即可 【解答】 解：如图，过 D 作 F， 则四边形 为所求 18为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次 （ 1）请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况； （ 2）求三次传球后，球回到甲脚下的概率； （ 3）三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？ 【考点】 列表法与树状图法 第 18 页（共 33 页） 【分析】 （ 1）画出树状图， （ 2）根据（ 1）的树形图，利用概率公式列式进行计算即可得解； （ 3）分别求出球回到甲脚下的概率和传到乙脚下的概率，比较大小即可 【解答】 解：（ 1）根据题意画出树状图如下： 由树形图可知三次传球有 8 种等可能结果； （ 2）由（ 1）可知三次传球后，球回到甲脚下的概率 = ； （ 3）由（ 1）可知球回到甲脚下的概率 = ，传到乙脚下的概率 = ， 所以球回到乙脚下的概率大 四、（本大题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分） 19近年来，我国很多地区持续出现雾霾天气某市记者为了了解 “雾霾天气的主要成因 ”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表 组别 观点 频数（人数） A 大气气压低，空气不流动 m B 地面灰尘大，空气湿度低 40 C 汽车尾气排放 n D 工厂造成的污染 120 E 其他 60 请根据图表中 提供的信息解答下列问题： （ 1）填空： m= 80 ， n= 100 ，扇形统计图中 E 组所占的百分比为 15 % （ 2）若该市人口约有 400 万人，请你计算其中持 D 组 “观点 ”的市民人数 第 19 页（共 33 页） （ 3）对于 “雾霾 ”这个环境问题，请用简短的语言发出倡议 【考点】 扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表 【分析】 （ 1）根据 B 组频数及其所占百分比求得样本容量，再根据频数 =总数 频率及各组频数之和等于总数，解答即可； （ 2）用总人数乘以样本中 D 观点所占百分比即可 得； （ 3）根据各种观点所占百分比，有针对的提出合理的改善意见即可 【解答】 解：（ 1）根据题意，本次调查的总人数为 40 10%=400（人）， m=400 20%=80， n=400（ 80+40+120+60） =100， 则扇形统计图中 E 组所占的百分比为 100%=15%， 故答案为： 80， 100， 15； （ 2） 400 =120（万）， 答：其中持 D 组 “观点 ”的市民人数约为 120 万人； （ 3）根据所抽取样本中持 C、 D 两种观点的人数占总人数的比例较大， 所以倡议今后的环境改善中严格控制工厂的污染排放，同时市民多乘坐公共汽车，减少私家车出行的次数 20某商场要建一个地下停车场，下图是地下停车场的入口设计示意图，拟设计斜坡的倾斜角为 18，一楼到地下停车场地面的距离 ，地平线到一楼的垂直距离 米， （ 1）为保证斜坡倾斜角为 18，应在地面上距点 B 多远的 A 处开始斜坡的施工？（精确到 ） （ 2）如果一辆高 的小货车要进入地下停车场，能否进入？为什么？（参第 20 页（共 33 页） 考数据： 【考点】 解直角三角形的应用坡度坡角问题 【分析】 （ 1）由题意可得 8， D ），然后在 ，由三角函数的性质，即可求得 长； （ 2）首先过 C 作 足为 E，可求得 度数，然后在 ，由三角函数的性质即可得 D继而求得答案 【解答】 解：（ 1） 斜坡的倾斜角为 18， 8， D ）， 在 ， = ）， 答：在地面上距点 B 约 的 A 处开始斜坡的施工 （ 2）过 C 作 足为 E， 0， 0， 8， 在 ， D）， 货车能进入地下停车场 第 21 页（共 33 页） 21如图，已知点 A（ 4， 0）， B（ 0， 4 ），把一个直角三角尺 在 其斜边 线段 ，三角尺可沿着线段 下滑动其中 0，点 G 为边 中点 （ 1）求直线 解析式； （ 2）如图 1，当点 D 与点 A 重合时，求经过点 G 的反比例函数 y= （ k 0）的解析式； （ 3）在三角尺滑动的过程中，经过点 G 的反比例函数的图象能否同时经过点 F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由 【考点】 反比例函数综合题 【分析】 （ 1）设直线 解析式为 y=kx+b，把点 A、 B 的坐标代入，组成方程组，解方程组求出 k、 b 的值即可； （ 2）由 ，求出 求出点 D 坐标，得出点 F、 G 坐标，把点G 坐标代入反比例函数求出 k 即可； （ 3）设 F（ t， t+4 ），得出 D、 G 坐标，设过点 G 和 F 的反比例函数解析式为 y= ，用待定系数法求出 t、 m，即可得出反比例函数解析式 【解答】 解：（ 1）设直线 解析式为 y=kx+b， A（ 4， 0）， B（ 0， 4 ）， ， 解得： ， 第 22 页（共 33 页） 直线 解析式为： y= x+4 ； （ 2） 在 ， 0， ， ， ， 点 D 与点 A 重合， D（ 4， 0）， F（ 2， 2 ）， G（ 3， ）， 反比例函数 y= 经过点 G， k=3 ， 反比例函数的解析式为： y= ； （ 3）经过点 G 的反比例函数的图象能同时经过点 F；理由如下： 点 F 在直线 ， 设 F（ t， t+4 ）， 又 ， D（ t+2， t+2 ）， 点 G 为边 中点 G（ t+1， t+3 ）， 若过点 G 的反比例函数的图象也经过点 F， 设解析式为 y= ， 则 ， 整理得：（ t+3 ）（ t+1） =（ t+4 ） t， 解得： t= ， m= ， 经过点 G 的反比例函数的图象能同时经过点 F，这个反比例函数解析式为：y= 第 23 页（共 33 页） 22如图， O 的直径，弦 H，过 长线上一点 E 作 O 的切线交 延长线于 F切点为 G，连接 K （ 1）如图 1，求证： E； （ 2）如图 2，若 判断线段 的数量关系，并说明理由； （ 3）在（ 2）的条件下，若 ， ，求 O 的半径 【考点】 圆的综合题 【分析】 （ 1）如图 1，连接 据切线性质及 以推出 据等角对等边得到 E； （ 2）如图 2，根据平行得角相等，证明 比例式可得结论； （ 3）如图 3 所示，连接 （ 1）得 E，根据 设 t，则t， t，列式先求 t 的值，再求出圆的半径 【解答】 解：（ 1）如图 1，连接 切线， 0， 0， 又 G， E （ 2） D由是： 连接 图 2， 第 24 页（共 33 页） C= E， C= E= ， D 由（ 1）得： E， D （ 3）连接 图 3 所示， 由（ 1）得： E E= ， 设 t，则 t， t， E， C=5t， K CH=t 在 ，根据勾股定理得 即（ 3t） 2+，解得 t= 设 O 半径为 r，在 ， OC=r， OH=r 3t， t， 由勾股定理得： 即（ r 3t） 2+（ 4t） 2=得 r= t= ， 答： O 的半径为 第 25 页（共 33 页） 五、（本大题共 2 小题， 23 题 10 分， 24 题 12 分，共 22 分） 23在正五边形 ， （ 1）如图 1，将正五边形 叠，点 E 落在 E处，连接 证明 D、 E、 B 三点在一条直线上； 填空： 1 （ 2）如图 2，点 F 在 上，且 叠正五边形 A、E 的对应点分别为 A、 E，那么 A E大小有什么关系？请说明理由 （ 3）如图 3，在正五边形 连接 点 P 在线段 （点 P 与A、 D 不重合）动点 Q 在线段 延长线上，且 Q，连接 点 N，过点 P 作 点 M 点 P、 Q 在移动的过程中，线段 长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求中线段 长度 第 26 页（共 33 页） 【考点】 三角形综合题 【分析】 （ 1） 利用正五边形的性质得出 可求出 6，进而即可得出结论； 利用等腰三角形的性质得出 E=2，再判断出 出比例式求解即可得出结论； （ 2）利用三角形的内角和和等腰三角形的性质即可求出 180 2x=即可得出结论； （ 3）先判 断出 出 ，再判断出 可得出结论 【解答】 证明：（ 1） 正五边形， 08= B， 6， 在 ， ， 6， 6， 36， B， D， E共线， D， 6， 2， E=2， 2， 第 27 页（共 33 页） ， ， 1， 故答案为 1； （ 2） 四边形内角和为 360， 设 x， 44 x= 6+x， A08 2x， 且 108 2x， （ 3）如图 3，过点 Q 作 2= Q， ， H， H， B+M+B=2， 在 ， ， H=1 第 28 页（共 33 页） 24在平面直角坐标系中，已知抛物线 y= x2+bx+c（ b， c 为常数）的顶点为 P，等腰直角三角形 顶点 A 的坐标为（ 0， 1）， C 的坐标为（ 4， 3），直角顶点 B 在第四象限 （ 1）如图，若该抛物线过 A， B 两点，求该抛物线的函数表达式； （ 2）平移（ 1）中的抛物线，使顶点 P 在直线 滑动，且与 于另一点 Q （ i）若点 M 在直线 方，且为平移前（ 1）中的抛物线上的点，当以 M、 P、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点 M 的坐标； （ 中点 N，连接 探究 是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （ 1）先求出点 B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式； （ 2） i）首先求出直线 解析式和线段 长度，作为后续计算的基础 若 等腰直角三角形，则可分为以下 两种情况： 当 直角边时：点 M 到 距离为 此时，将直线 右平移 4第 29 页（共 33 页） 个单位后所得直线（ y=x 5）与抛物线的交点，即为所求之 M 点； 当 斜边时：点 M 到 距离为 此时，将直线 右平移 2 个单位后所得直线（ y=x 3）与抛物线的交点，即为所求之 M 点 （ i）可知， 为定值，因此当 Q 取最小值时， 有最大值 如答图 2 所示，作点 B 关于直线 对称点 B，由分析可知，当 B、 Q、 F（ 点共线时， Q 最小，最小值为线段 BF 的长度 【解答】 解：（ 1） 等腰直角三角形 顶点 A 的坐标为（ 0， 1）， C 的坐标为（ 4， 3） 点 B 的坐标为（ 4， 1） 抛物线过 A（ 0， 1）， B（ 4， 1）两点， ，解得： b=2， c= 1， 抛物线的函数表达式为： y= x 1 （ 2）方法一： i） A（ 0， 1）， C（ 4， 3）， 直线 解析式为： y=x 1 设平移前抛物线的顶点为 由（ 1）可得 坐标为（ 2， 1），且 直线 点 P 在直线 滑动， 可设 P 的坐标为（ m， m 1）， 则平移后抛物线的函数表达式为： y= （ x m） 2+m 1 解方程组： ， 解得 ， P（ m， m 1）， Q（ m 2， m