高考第一轮复习数学：111随机事件的概率

第十一章 概率网络体系总览 随 机 事 件 的 概 率 互 斥 事 件 有 一 个 发 生 的 概 率相 互 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率概 率 考点目标定位1.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合公式计算一些等可能性事件的概率.2.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.3.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率.复习方略指南概率是新课程中新增加部分的主要内容之一.这一内容是在学习排列、组合等计数知识之后学习的,主要内容为等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件同时发生的概率.这一内容从 2000 年被列入新课程高考的考试说明.在 2000,2001,2002,2003,2004 这五年高考中,新课程试卷每年都有一道概率解答题,并且这五年的命题趋势是：从分值上看,从 10 分提高到 17 分,从题目的位置看,2000 年为第（17）题,2001 年为第（18）题,2002 年为第（19）题,2003 年为第（20）题即题目的位置后移,2004 年两题分值增加到 17 分.从概率在试卷中的分数比与课时比看,在试卷中的分数比（12150=1 12.5）是在数学中课时比（约为 11330=130）的 2.4 倍.概率试题体现了考试中心提出的“突出应用能力考查”以及“突出新增加内容的教学价值和应用功能”的指导思想,在命题时,提高了分值,提高了难度,并设置了灵活的题目情境,如普法考试、串联并联系统、计算机上网、产品合格率等,所以在概率复习中要注意全面复习,加强基础,注重应用.11.1 随机事件的概率知识梳理1.随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.2.必然事件：在一定条件下必然要发生的事件.3.不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件.4.事件 A 的概率：在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 总接近于某个常数,在nm它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P（A）.由定义可知 0P（A）1,显然必然事件的概率是 1,不可能事件的概率是 0.5.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件 A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,即此试验由 n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是 .如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率 P（A）= .1 m6.使用公式 P（A）= 计算时,确定 m、n 的数值是关键所在 ,其计算方法灵活多变,没n有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏.点击双基1.（2004 年全国,文 11）从 1，2，9 这九个数中，随机抽取 3 个不同的数，则这3 个数的和为偶数的概率是A. B. C. D.95421210解析：基本事件总数为 C ，设抽取 3 个数,和为偶数为事件 A,则 A 事件数包括两类：39抽取 3 个数全为偶数,或抽取 3 数中 2 个奇数 1 个偶数,前者 C ,后者 C C .341425A 中基本事件数为 C +C C .415符合要求的概率为 = .392答案：C2.（2004 年重庆,理 11）某校高三年级举行的一次演讲比赛共有 10 位同学参加,其中一班有 3 位,二班有 2 位,其他班有 5 位.若采取抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的 3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连） ，而二班的 2 位同学没有被排在一起的概率为A. B. C. D.10201401120解析：10 位同学总参赛次序 A .一班 3 位同学恰好排在一起,而二班的 2 位同学没有1排在一起的方法数为先将一班 3 人捆在一起 A ,与另外 5 人全排列 A ,二班 2 位同学不排36在一起,采用插空法 A ,即 A A A .27627所求概率为 = .1063答案：B3.（2004 年江苏,9）将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6 的正方体玩具）先后抛掷 3 次，至少出现一次 6 点向上的概率是A. B. C. D.2165212169解析：质地均匀的骰子先后抛掷 3 次,共有 666 种结果.3 次均不出现 6 点向上的掷法有 555 种结果.由于抛掷的每一种结果都是等可能出现的,所以不出现 6 点向上的概率为 = ,由对立事件概率公式,知 3 次至少出现一次 6 点向上的概率是 1 = 621 25.219答案：D4.一盒中装有 20 个大小相同的弹子球，其中红球 10 个，白球 6 个，黄球 4 个，一小孩随手拿出 4 个，求至少有 3 个红球的概率为_.解析：恰有 3 个红球的概率 P1= = .4203C8有 4 个红球的概率 P2= = .4013至少有 3 个红球的概率 P=P1+P2= .9答案： 2945.在两个袋中各装有分别写着 0，1，2，3，4，5 的 6 张卡片.今从每个袋中任取一张卡片，则取出的两张卡片上数字之和恰为 7 的概率为_.解析：P= = .16C49答案： 9典例剖析【例 1】用数字 1，2，3，4，5 组成五位数，求其中恰有 4 个相同数字的概率.解：五位数共有 55 个等可能的结果.现在求五位数中恰有 4 个相同数字的结果数：4 个相同数字的取法有 C 种，另一个不同数字的取法有 C 种.而这取出的五个数字共可排出 C1个不同的五位数，故恰有 4 个相同数字的五位数的结果有 C C C 个，所求概率15 514P= = .514C2答：其中恰恰有 4 个相同数字的概率是 .1254【例 2】 从男女生共 36 人的班中，选出 2 名代表，每人当选的机会均等.如果选得同性代表的概率是 ，求该班中男女生相差几名？1解：设男生有 x 名，则女生有（36x）人，选出的 2 名代表是同性的概率为 P= ,236-Cxx即 + = ,5)1(356)(x21解得 x=15 或 21.所以男女生相差 6 人.【例 3】把 4 个不同的球任意投入 4 个不同的盒子内（每盒装球数不限） ，计算：（1）无空盒的概率；（2）恰有一个空盒的概率.解：4 个球任意投入 4 个不同的盒子内有 44 种等可能的结果.（1）其中无空盒的结果有 A 种，所求概率4P= = .4A32答：无空盒的概率是 .32（2）先求恰有一空盒的结果数：选定一个空盒有 C 种，选两个球放入一盒有 C A14 24种，其余两球放入两盒有 A 种.故恰有一个空盒的结果数为 C C A A ,所求概率13 2 2413P（A ）= = .4213C69答：恰有一个空盒的概率是 .1深化拓展把 n+1 个不同的球投入 n 个不同的盒子（nN*）.求：（1）无空盒的概率；（2）恰有一空盒的概率.解：（1） .12ACn（2） .11231A)C(Cnnn【例 4】某人有 5 把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把.于是，他逐把不重复地试开，问：（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？（2）三次内打开的概率是多少？（3）如果 5 把内有 2 把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？解：5 把钥匙，逐把试开有 A 种等可能的结果.5（1）第三次打开房门的结果有 A 种，因此第三次打开房门的概率 P（A）= = .4 541（2）三次内打开房门的结果有 3A 种，因此，所求概率 P（A）= = .4 543（3）方法一：因 5 把内有 2 把房门钥匙，故三次内打不开的结果有 A A 种，从而32三次内打开的结果有 A A A 种，所求概率 P（A）= = .532 523109方法二：三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有 C A A A 种；三23次内恰有 2 次打开的结果有 A A 种.因此，三次内打开的结果有 C A A A +A A 种，23 123所求概率P（A）= = .532312C109特别提示1.在上例（1）中,读者如何解释下列两种解法的意义.P（A）= = 或 P（A）= 3524154 = .4352.仿照 1 中,你能解例题中的（2）吗?闯关训练夯实基础1.从分别写有 A、B、C、D、E 的 5 张卡片中，任取 2 张，这 2 张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为A. B. C. D.512103107解析：P= = .25C4答案：B2.（2004 年湖北模拟题）甲、乙二人参加法律知识竞赛,共有 12 个不同的题目,其中选择题 8 个,判断题 4 个.甲、乙二人各依次抽一题,则甲抽到判断题,乙抽到选择题的概率是A. B. C. D.25625138325解析：甲、乙二人依次抽一题有 C C 种方法,12而甲抽到判断题,乙抽到选择题的方法有 C C 种.418P= = .1284C3答案：C3.（2004 年全国,理 11）从数字 1、2、3、4、5 中，随机抽取 3 个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于 9 的概率为A. B. C. D.1253612581259解析：从数字 1、2、3、4、5 中，允许重复地随机抽取 3 个数字，这三个数字和为 9的情况为 5、2、2；5、3、1；4、3、2；4、4、1；3、3、3.概率为 = .21CA59答案：D4.一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文 5 篇和非试点学校的论文 3 篇.若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是_.（结果用分数表示）解析：总的排法有 A 种.8最先和最后排试点学校的排法有 A A 种.256概率为 = .862514答案： 5.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4个，甲、乙二人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？分析：（1）是等可能性事件，求基本事件总数和 A 包含的基本事件数即可.（2）分类或间接法，先求出对立事件的概率.解：（1）基本事件总数甲、乙依次抽一题有 C C 种，事件 A 包含的基本事件数为109C C ，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率为 = .64 190465（2）A 包含的基本事件总数分三类：甲抽到选择题,乙抽到判断题有 C C ；164甲抽到选择题,乙也抽到选择题有 C C ;5甲抽到判断题,乙抽到选择题有 C C .146共 C C +C C +C C .1641546基本事件总数 C C ，109甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为 = 或190645641C53P（ ） = = ，P （A）=1P（ ）= .A19034C52A1536.把编号为 1 到 6 的六个小球，平均分到三个不同的盒子内，求：（1）每盒各有一个奇数号球的概率；（2）有一盒全是偶数号球的概率.解：6 个球平均分入三盒有 C C C 种等可能的结果.264（1）每盒各有一个奇数号球的结果有 A A 种，所求概率 P（A）= = .3 2463C5（2）有一盒全是偶数号球的结果有（C C ）C C ，23124所求概率 P（A）= = .24613C)(5培养能力7.（2004 年全国,18）已知 8 支球队中有 3 支弱队，以抽签方式将这 8 支球队分为A、B 两组，每组 4 支.求：（1）A、B 两组中有一组恰有两支弱队的概率；（2）A 组中至少有两支弱队的概率.（1）解法一：三支弱队在同一组的概率为+ = ，485C7故有一组恰有两支弱队的概率为 1 = .76解法二：有一组恰有两支弱队的概率为+ = .48253C76（2）解法一：A 组中至少有两支弱队的概率为 + = .48253C1解法二：A、B 两组有一组至少有两支弱队的概率为 1，由于对 A 组和 B 组来说，至少有两支弱队的概率是相同的，所以 A 组中至少有两支弱队的概率为 .28.从 1，2,10 这 10 个数字中有放回地抽取 3 次，每次抽取一个数字，试求 3 次抽取中最小数为 3 的概率.解：有放回地抽取 3 次共有 103 个结果，因最小数为 3 又可分为：恰有一个 3，恰有两个 3，恰有三个 3.故最小数为 3 的结果有 C 72+C 7+C ,13所求概率 P（A）= =0.169.32107C答：最小数为 3 的概率为 0.169.探究创新9.有点难度哟！将甲、乙两颗骰子先后各抛一次,a、b 分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所出现的点数.（1）若点 P（a,b）落在不等式组 表示的平面区域的事件记为 A,求事件 A 的4,0yx概率;（2）若点 P（a,b）落在直线 x+y=m（m 为常数）上,且使此事件的概率最大,求 m 的值.解：（1）基本事件总数为 66=36.yxO4433221 1当 a=1 时,b=1,2,3;当 a=2 时,b=1,2;当 a=3 时,b=1.共有（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（3,1）6 个点落在条件区域内,P（A）= = .31（2）当 m=7 时 ,（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共有 6 种,此时 P= = 36最大.61