高考数学专题复习：三角函数

高考数学专题复习：三角函数备考要点：三角函数是中学数学的主体内容,是高考的重点,也是高考的热点,其考点主要包括:同角三角关系式及诱导公式,三角函数的图象和性质,三角函数的化简求值,三角形中的三角函数,三角函数的最值及综合应用。一般设计一道或两道客观题,一道解答题,约占总分的 13%,即20 分左右.多数是中、低档题.一、经典呈现主要题型剖析：题型一、三角函数的图象与性质此类题型在高考中主要考察三角公式中的和（差）角公式、倍角公式的应用，三角函数的单调性、周期性、对称轴、对称中心、最值、图象的变换也是常考的内容，考题一般属中低档题，熟记并灵活运用相关公式和性质是解决此题型的指导思想。例 1、 （2009 年山东 17）设函数 2()cos)sin3fxx.(1) 求函数 ()fx的最大值和最小正周期.(2) 设 ,ABC为 的三个内角，若 1csB， 1()4Cf，且 为非钝角，求 sin分析：本题主要考察三角函数中两角和差公式、二倍角公式、三角函数的性质及三角形中的三角关系。解析：（1） 2()cos)sin3fxx= 1cos23cosin2ssin233xxx所以函数 ()f的最大值为 1,最小正周期 . （2） ()3Cf= 2sin3= 4,所以 23sinC,因为 为非钝角,所以 23C,所以 ,所以 iA=coB= 1.点评：本题要先运用三角恒等变换将其化一，即化为“一个角的一种三角函数”的形式，即形如 )sin(x的形式.此类题型，也是高考三角函数解答题的常见题型例 2 （2010 年山东 17）已知函数 )0)(2sin1cosis1)(2 xxf其图象过点 )21,6(.（）求 的值；（）将函数 )(xfy的图象上各点的横坐标缩短到原来的 21，纵坐标不变，得到函数 )(xgy的图象，求函数 g在 4,0上的最大值和最小值 .分析：本题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质、三角函数的图象，进行运算、变形、转换和求解的能力.解析：把点 )21,6(的坐标代入函数 )(xf的解析式，解方程即可求出 的值；先把)(xf化为 sinxA的形式，然后根据图象变换知识求出函数 )(xgy的解析式，即可求它在区间 4,0上的最小值.解答过程如下：（）把点 )21,6(的坐标代入 )2sin(1cosin2s1)(2xxf ，得cos4sin3，整理得 6sin.因为 0，所以 7，所以 26，所以 3.（）依题意可得： )6sin(1co42sin341cos2sin43)( xxxxf，所以 )6i()(fg.当 40x时， 76x，所以 1)6sin(21x，所以 21)(4xg.所以函数 )(gy在区间 4,0上的最小值是 4，最大值是 2.点评：本题中的函数 xf是一个关于 xcos,in的齐次函数，研究这个函数的性质，要先运用三角恒等变换将其化一，即化为“一个角的一种三角函数”的形式，即形如 )sin(xA的形式.此类题型，也是高考三角函数解答题的常见题型.求解时，要借助函数图象.题型二：三角恒等变换与解三角形三角变换与解三角形这两个知识块往往是结合在一起出现在高考试题中的，一般是先进行三角变换，后解三角形，题型往往是解答题，难度中等。当然，也经常出现独立的考察三角变换和解三角形的试题。例 3（2010 年山东 15）在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc若 2， b,sinco2B,则角 的大小为 .【答案】 6分析：本题主要考查三角恒等变换和解三角形知识.解析：对 2cosinB进行三角恒等变换后，可以求出角 B，根据已知条件，易知用正弦定理可求角 A.解答过程如下：由 si，可得 2cosin）（ B，所以 2sin1，所以 1sinB，所以 902B，所以 45.在 C中，由正弦定理可得 iibaA，又因为 ba，所以 30A.点评：求角 时，还可以运用添加辅助角公式，但不如上述方法简捷.运用正弦定理求角 A时，运用边长关系确定角 唯一是求解的关键.易错警示：本题的易错点是忽视边的大小，从而得出角 的值为 或 15.例 4（2011 年山东 17 ） 在 BC中，内角 ,A的对边分别为 ,abc，已知cos2CcaBb，（）求 inA的值；（）若 1os,24b，求 的面积 S。分析：应把题设中的边角关系式 cACcaB通过正弦定理转换为角角关系式才可找到求三角代数式 sinC的值的目的，由已知求 ,及 sinB后可求 。解析：（）在 AB中，由 co2scb及正弦定理可得cos2siA，即 incnsicosincCBA则 o22Csi()2si()AB，而 ，则 isi，即 in。另解 1：在 C中，由 cos2AcaBb可得cos2bAa由余弦定理可得222222b cbca，整理可得 ca，由正弦定理可得 sinCcA。另解 2：利用教材习题结论解题，在 B中有结论os,cos,oscabCBbabA.由 c2A可得 2cosCBa即 cos2cosbAaBbC，则 2ca，由正弦定理可得 inC。（）由 及 1s,4可得2224co4,caBaa则 1， 2c，215sin1cosS，即 54S。点评：在解三角形的题型中，常遇到的是边角关系式，解决的手段就是把边角关系式转换为角与角的关系式，或转换为边与边的关系式。题型三：三角函数与其它知识的联系三角函数与集合、不等式、函数、方程、概率等知识相联系，解决问题时常用思想方法主要是数形结合、化归思想与分类讨论。例 5（2009 年山东 11）在区间 ,2上随机取一个数 x， cos的值介于 0到 21之间的概率为( ).A. 31 B.2 C. 1 D. 3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 分析:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量 x 的取值范围,得到函数值cosx的范围 ,再由长度型几何概型求得.【解析】:在区间 ,2 上随机取一个数 x,即 ,2时,要使 cosx的值介于 0到21之间,需使 3x或 2，区间长度为 3，由几何概型知 的值介于0到 之间的概率为 1.故选 A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案: A例 6（2011 年山东 10）函数 xysin2的图象大致是【答案】 CxyAxyxyxyBCDO 22O 2O 2O【解析】因为 12cosyx,所以令 12cos0yx,得 1cs4x,此时原函数是增函数;令 0,得 4,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选 C正确.考查函数的导数的性质，函数图象等，中档题。二2012 年命题方向：例 1.将函数 sin6yx图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12倍（纵坐标不变） ，再把所得图象向右平移 个单位后得到函数 yfx的图象，则函数 yfx的图象A.关于点 0,对称 B.关于点 ,04对称 C.关于直线 3x对称 D.关于直线 x对称分析：主要考察三角函数图象的平移和伸缩变换，和图象的形状和位置特征，如对称中心是图象与 轴的交点，对称轴经过图象的最高或最低点。解析：伸缩、平移后得到 sin26fx答案： C例 2.已知 43cossi65，则 5si()的值是A.- 532 B. 2 C.- 4 D. 54分析：本题围绕“角”做文章，寻找角与角的联系、特殊角与特殊角的转换、角的分解、角的合并等，在化简过程起着十分重要的作用。解析： 343cossincosin3si6265 4i54sinsinsin6665答案： C例 3若 (cos,),(si,0)axibx，其中 0，函数).fxbk（1）若 ()fx图象相邻两条对称轴间的距离不小于 2，求 的取值范围（2）若 的最小正周期为 3，且当 13,x时， ()fx的最小值是 12，求()fx的解析式分析：考察向量和三角的结合、三角函数式的恒等变形、 sinyAB的图象和性质（值域、单调性、周期性）解析： 3cos,insin,0axbx 2sicosi1sin2621,01bfxkkTA2331sin62fxk145283936sin136xxxf的最小值是 2k1ksin36fx例 4.在 ABC中，角 、 、 C的对边分别为 a、 b、 c.已知 5ab， 7c，且274sicos2，(1) 求角 的大小； （2）求 AB的面积.分析：三角变换与解三角形这两个只知识经常结合在一起，一般是先进行三角变换，本题正确的运用二倍角公式化简为含 C角的方程，然后利用正弦定理、余弦定理解决。解析：（1） 018AB由 274sincos2ABC得 274cos2C 11 整理，得 2cs0 解得： oC 0186o（2）解：由余弦定理得： 22coscabC，即 27ab 273ab由条件 5得 76 13sin622ABCSab 三、模拟演练1在 中，若 20ABC，则 AB的形状为 （ ）A等腰三角形 等边三角形 等腰直角三角形 D.直角三角形2在锐角 B中， “ 3A”是“ 3sin2A”成立的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3. 已知 2sinicosfxx，则 fx的最小正周期和一个单调增区间分别为（ ） A. ,0 B. 3,4 C. 3,8 D.2,44.函数 cos2infxx的最小值和最大值分别为（ ）. 3，1 . 2，2 . 3， 2. 2， 35.已知函数 cosfxAx的图象如图所示， 23f，则 0f=( )A. 23 B. 23 C. 12 D. 1 6函数 lncos2yx的图象是 （ ）7在 ABC中，角 、 、 C所对的边分别是 ,abc若 22bca，且 3ab，则角 的值为 ( ) 45o B 60o C 90o D 10o8已知函数 ()sin2),fx其中 为实数，若 ()6fxf对 xR恒成立，且(),2f则 的单调递增区间是（ ）.()36AkkZ.,()2BkkZ2.,C.,D9.已知 abc， ， 为 ABC 的三个内角 AC， ， 的对边，向量 (31)，m，(osin)，若 m，且 cossinaBbc，则角 B 10.在海岛 上有一座海拔 1千米的山，山顶上有一个观察站 A，上午 1时，测得一轮船在岛的北偏东 03，俯角 0的 处，到 1时0分又测得该船在岛的北偏西 6，俯角 的 C处，则轮船航行速度是_千米/小时11.已知 324, 12cos()3， 3sin()5，则sinco的值是_12.已知 ,均为锐角，且 itans则 ta()_.13.在 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,bc.若 osinAbB,则2sincos_.14.已知 中角 ,所对的边分别为 ,abc若 C的面积为 12,且 sin4A,则12bc的最小值为 15. 在 ABC中， 、所对的边分别为 ,abc，且满足25cos,3.A.6cb（I）求 a的值；（II）求 ACB2cos1)4in()4si(的值。16.已知函数 2()3ics.fxxx 求 的单调递增区间；若 ()2fxm对一切 0,2x均成立，求实数 m的取值范围17、设函数 sin()cos1468f（1）求 ()x的最小正周期 （2）若函数 yg与 ()fx的图像关于直线 1x对称，求当 40,3x时()yfx的最大值18.已知 ABC的角 ,所对的边分别是 ,abc，设向量(,)(sin)(2,)mabpb，(1)若 /,mn，求证： ABC为等腰三角形； 2若 p，边长 2c，角 3，求 ABC的面积 .19.已知：函数 2()sinixfxm的周期为 3，且当 0,x时，函数()fx的最小值为 0（1）求函数 ()fx的表达式；（2）在 ABC中，若 ()1,f且 2sincos(),BAC求 sin的值20.已知 ,的坐标分别为 40(,)3,iC.（）若 ,0，且，求角 的大小；（）若 ACB，求2sini1ta的值。模拟演练答案：选择题答案： DCBA填空题答案： 6 230 65 1 215.解： 5(1)cosA231又 ABC即 cosb25025a由 余 弦 定 理 得 ：2sin()si()44)1coi()i()s22sin()co()41sAA37coc255原式= 716. 解： 1)62sin(12cossin3)( xxxf 由 kxk262，解得 Zkxk,36所以， )(f的递增区间为 3,Z, 由 xm，得 xf对一切 20均成立 5102sin1666xmax33f117.解：（1） ()sincosincos46464fxxx3sis2n()4x故 ()fx的最小正周期为 8T（2） 在 yg的图象上任取一点 (,)xg，它关于 1x的对称点 (2,)xg.由题设条件，点 (2,)x在 yf的图象上，从而 ()3sin(43gxf xco)当 403x时， 23x，因此 ()ygx在区间 40,3上的最大值为maxcos2g 18.证明： (1)/,nisinaAbB即 2baR，其中 R是三角形 C外接圆半径， ab ABC为等腰三角形()由题意可知 0,mp即 (2)()0abab由余弦定理可知， 224()3abab