第十二章 微分方程与差分方程简介

第十二章 微分方程与差分方程简介学习测试题答案1. 选择题（1）由题书 P454 一阶线性微分方程的通解 讨论知 的通解为)(xQyP。)()()( CdxeQeyPdxP（2） ，所以方程应为)()(1 222 xyfxyyyx 齐次方程。（3） 为可分离变量的方程，分离变量得 ，其通解为02ydx 02dxy，因为 ，所以 ，即特解 为 。C32)1(y9C93（4）对微分方程 两边同时积分得 ，再积分一次得xsin 1cosCxy，再积分一次可得微分方程通解21siy。3coCxx（5）由题对应的特征方程为 ，所以对应的特征根为 或 ，所以00i方程的通解为 。321sincoxy（6）由二阶齐次线性方程解的结构可知 仍为微分方程的解，但只有当21yC和 线性无关时， 才为微分方程的通解。且由于它含有至少一1y2 21yC个任意常数，所以它不是微分方程的特解。（7）由题微分方程方程中只出现 和 的导数，没有出现 ，由高阶导数的降阶方x法知可令 ，则 。)(yP )(yPd（8）此题为欧拉方程，由欧拉方程解法知做变换 ，方程可化为tex，对应的特征方程为 ，所以00)1( 2yDyD 012，则通解为 ，作反 变换 ，原微分方程通解 为1tteCy21 xtln。xCy2（9）本题是常微分方程中关于 阶线性齐次方程的刘维尔（Liouville）公式得推论，n由 Liouville 公式知 ，所以dxPCeyy)(11， 。dxPeydx)(21211)( dxP)(21（10）由题对应的特征方程为 ，特征根为 或 ，因此 不031i2是特征根，所以所设的特解形式为 。)sin()co(*xBAeyx2. 填空题（1） 为方程的解，并且不含有任意常数，则它为微分方程特解。xey3（2） ，求导的最高阶数为 ，因此它为 阶微分方程。02y33（3） ，求导的最高阶数为 ，因此它为 阶微分方程。2cQdtRtL 2（4） ，求导的最高阶数为 ，因此它 为 阶微分方程。2sin13（5）有通解定义 解微分方程的通解应含有 个任意函数。n（6）对方程两边同时求导得 ，所以yxxy2，即方程为齐次方程。)()(122gxy（7）由题 ，所以微分方程式全微分方程。44236)()(yxxyy3. 计算题（1）微分方程可化为 ，为一阶线性非齐次方程，则xayxlnl1ln)(ln1)ln(l1ln1 CxdaxCdexaeyxdx ，其中 为任意常数。lll（2）由题 为伯努利方程，转化为 ，令 ，03yxd 01323xyd21yz则方程化为 ，即为一阶线性非齐次方程32z 2222332 CexCxeCdxeez xxd 。12 222222 e（3）由题 ，所以方程为全微分方程，其222 )()()( yxyxyx解为 。0)arctn()(12（4）由题微分方程只出现 和 的导数，没有出现 ，由高阶导数的降阶方法知可yx令 ，则 ，所以方程可化为 ，即)(yp )(pd 012py，所以 ，即 ，所以12122ln)l(Cy21p，所以 ，即 。21yC21xarch)cosh(211Cxy（5）由题微分方程只出现 和 的导数，没有出现 ，由高阶导数的降阶方法知可xy令 ，则 ，方程可化 为 ，对应齐次方程)(xpy )(p )4(2xep的特征方程为 ，特征根为 和 ，齐次方程通解为021，可令非齐次方程的特解为 ，带入xxeC21 xeDCBAx)(可得 ，则 ， ， ，xeDBA4)36()( 216，所以非齐次方程的通解为 ，9D xxxx eCp921即 ，两边同时积分可得xxxx eeCy 9162 221 ，即原方程的通解为)4(32 ，其中 ， 和 为任意常数。221 xexeyxx 1C23（6）由题方程可化为 为伯努利方程，令 ，所以方程可化为321ydxz，其通解为312yzd 12232 Cdydyezdy ，所以原方程的通解为 。因为 ，则 ，ln2C)(ln2x)(1所以满足初值的特解为 。)1(ln2yx（7）由题对应齐次方程的特征方程为 ，特征根 ，对应齐次方0212,程的通解为 ，非 齐次方程特解可设为 ，代xeCy)(21 xBAysinco*入方程可得 ，所以 ， ，所以特解为BAcossin 2，所以非齐次方程同解为 ，由 ，xysi21* xexCysi1)(210)(y则 ，由 ，则 ，所以满足初值条件的特解为01C23)(y2C。xxeysin（8）由题 为可分离变量方程，所以 ，所以其通 dxyd2sinsi解为 。Cxy2cos|t2cs|ln（9）由题可建立微分方程 ，且满足初值条件 ，微分方程可化为 1)(y，其方程通解为 ，满足初值1xy |ln11 Cxdxeydx 条件的特解为 。|lnx（10）对积分方程两边求导得到微分方程 ，即1sin2icos xx，且满足初值条件 ，其通解为xsectan1)0(，则满足初值条件的特解为tancossectantan Cxdxxd 。1to（11）由题敌舰的坐标为 ，鱼雷的坐标为 ，则 ，鱼雷速度为),(Y),(yxdtYv0，所以 ，追逐中 与鱼雷和敌舰连dtvdtytxv022)( 21Y线相切，所以 ，即 ，所以x1dxy)(，所以可得微分方程221)(dyydxY，由于鱼雷初始位置为原点，初始速度为 ，即 满足初221)( 0值条件 ， 。则鱼雷航行曲线方程为 ，0)(y)( 221)(ydx且有初值 ， 。令 ，则方程可化为 ，0y)(xpy 2p即 ，其通解为 ，即122xp 12|ln1lnCx，所以 ，连理上述两式求解可得|12C12|Cp，且 满足 ，即 ，两边同时)|1|(1xyx)1(2 xy积分可得通解 ，但 ， ，则2311)(Cy0)()(y， ，所以所求解为 。1C32 32)1(xy（12）由题过 的法线方程为 ，与 轴交点为),(0yxP)(00由题 被 轴平分，则 ，所以满足条件的,(00yQy00xy微分方程为 ，即 。xy 2x（13）1.分离变量的 ，两边同时积分得 ，dxytansectasec22 ln|ta|l|tan|l Cxy所以 ，所以通解为 。l|n|lCx Cytan2. 原方程可化为 ，分离变量并两边同时积分得dxedexxy )1()(，所以 ，所以方程通解为deyex1 lnl|lnxyCyx)(3.分离变量的 ，两边同时积分得 ，所以通dx32 41)(313Cxy解为 。xy43)1(44.原方程可化为 为齐次方程，令 ，则xyd2)(xyu，所以 ，两边同时积分得 ，uxudy21dx1|ln21Cxu则 ，即 。ln2C)ln(22xy5.原方程可化为 为齐次方程，)cosh(3in)cosh(3i xyxydx 令 ，则 ，所以yu uuutan2)(sin2，两边同时积分得 ，则dx1)tanh(32 dxeu123，即 ，所以23|ln|l2|l uueexC 23)(uxC，所以方程同解为 。)sih()(3xyexy )sinh(2xy6.先求解方程组 ，得 ， ，做变换 ， ，0310yx1x20y2yu1xv则原微分方程可化为 ，令 得如下齐次方程1vudvvw，所以 ，两 边同时积分得1wdvd2，代回得C|ln)l(2arctn2，即 ，再次vvuv|l2 Cvuv)ln(21arct2代回得 。xyxy)1()l(1arct 27.先求解方程组 ，得 ， ，做 变换 ， ，0642350 0y1yuxv则原微分方程可化为 ，令 得如下齐次方程vuvdu425w，所以 ，两边同时积分得wdv425d17，即 ，|ln|21|l6)7ln(1 C 142)7(326 Cw所以 ，代回得 ，再次代回得(426C )4(42vu。xy2)3)4(8. 。)( sinsinsincossincos Cxedxeedeexxd 9.原方程可化为 ，即 ，其通解为yl y1l，即ln2nl1lnln CyCdCdeyexdy 。2l10.原方程可化为 ，即 ，其通解为yxdx26yxd213。3232333 12121 CyyCdyyCdyeexdy 11.方程为伯努利方程，令 ，则方程可化为 ，则21z xzx，则方程的通解为 2121212121 CdxCdxeezdx 。y12.原方程可化为 ，即 ，则方程为伯努利xyd)ln1(3 )ln1(3xyxd方程，令 ，则方程可化为 ，则2yz )l(2zn1)ln1( 222 CxxCexeddx 。所以方程通解为l394332。xyxln2943213.令 ，则原方程可化为 ，其通解 为 ，代回得yv vdx121Cxv。Cxx2)(14.题目有误，应为 ，原方程可化为1cosinsi)1(sin2 2xyy，令 ，xxxy )(co)1(sin 22 1sinxyv则方程可化为 ，则 ，代回得 。2vdCCxysi115.令 ，则 ，所以 ，两xyu uxuxy22in)sin(dxu2si边同时积分得 ，代回得 。2cosin21uyy4(16.由题方程两边同时积分得 ，再两边同时积分得1Cexy，再两边同时积分得方程通解21 Cxexy。3317.设 ，则 ，原方程化 为 ，则 ，即)(xpypy21p1arctnCxp，则 。)tan( 1Cxpy21|)cos(|lnCxy18.设 ，则 ，原方程化为 ，则 或 ， dp 3pdy021pdy当 时，则 是方程的解，但不是方程的通解。当 时，则0py 2，则 ，即 。)tan(1Cy21|)sin(|lCx12)arcsin(Ceyx19. 设 ，则 ，原方程化为 ，则 或)ypdp 0pyd，当 时， 则 是方程的解，但不是方程的通解。当dyp120时，则 ，则 ，即)1ln(|l2Cyp21)(ypy。所以通解为 。)1(2Cxy21x20.特征方程为 ，特征根为 ， ，则方程通解为 。0440241Ceyx21.特征方程为 ，特征根为 ，则方程通解为25225,1。teCx251)(22.特征方程为 ，特征根为 ，则方程0136 i2321462,1 通解为 。xexx321)sinco(23.特征方程为 ，所以 ，即 或 ，06542364524292特征根为 ， ， ， ，则方程通解为2i3i。xCeCyxx snco43124.特征方程为 ，特征根为 ，齐次方程的通解为02aai2,1，因为 不是特征根，所以可设非齐次方程的特解为xysinco21，代入方程可得 ，所以 ，特解 为 ，xAey* xeAa)(2 21aAxeay2*1所以通解为 。Cxy2211sinco25.特征方程为 ，特征根为 ， ，齐次方程的通解为032，因为 是单特征根，所以可 设非齐次方程的特解为xxeCy21，代入方程可得BA)(*，所以xBAx3)2()634 ，所以 ，则特解为 ，所以通解0232BA3xey)32(*为 。xxx eeCy)(2126.特征方程为 ，特征根为 ，齐次方程的通解为4i2,1，因为 不是特征根，所以可设非齐次方程的特解为xy2sinco1i，代入方程可得DCBAxs)()(*，xDCxAxxC cossin)42(co42 所以 ，所以 ，则特解为 ，所以通解 为0321CDA92031CBxxysi92co31*。xxxy sinco1sinco21 27.特征方程为 ，特征根为 ，齐次方程的通解为 ，012, xxeCy21因为 ，且 ， 不是特征根，所以可设非齐次方程的特xxfcs2si)(20i解为 ，代入方程可得CBAyino*，所以 ，则特解为xxCBA2cos1sin52co012CBA，所以通解为 。xycs102* xeyxx 2cos2128.方程为欧拉方程，可做变换 ，即 ，则 ，tlndtytdy1，原方程可化为 ，特征方程222)()( txdtytxdyxd 0t为 ，特征根为 ，方程的通解为 ，代回 ，得011,tteCy21xln原方程的通解为 。xCy2129.原题有误。方程应为 为欧拉方程，可做变换 ，xylnl 2 tex即 ，则 ， ，xtlndtxtyd 222 1)1()( dtytdty原方程可化为 ，特征方程为 ，特征根为 ，tt23 0321，齐次方程的通解为 ，因 为 ，且 不是特征根，2tteCy21 ttf)(所以可设非齐次方程的特解为 ，代入方程得BtA*，则 ， ，则特解为tBtAA2)()(32 21C，通解为 ，代回 ，得原方程412*ty 41teCytt xtln的通解为 。ln2l21 xxC30.方程为欧拉方程，可做变换 ，即 ，则 ，tel dtyxtdxy1，原方程可化为222 1)()( txdtytxdyxd，特征方程为 ，特征根为 ，齐次方程tttt ey24 042,1的通解为 ，因为 不是特征根，但 是二重特征根，所以可设非齐tC21)(12次方程的特解为 ，代入方程得 ，tteBtAey22*)( tttt eCBAe22)6(则 ， ， ，则特解为 ，通解为1A6B0Cttey23*61，代回 ，得原方程的通解为tteety2321)(xtln。xx21lln31.令 ，则方程可化为 ，特征方程 为 ，特征根 为 ，yu0u01212,齐次方程的通解为 ，所以原方程的通解为 。xxeCu21 xxeCy1ln（14）1.分离变量得 ，两边同时积分得 ，所xdytant |cos|l|cs|lxy以方程通解为 ，由初值条件知 ，所以 ，则满足方程Ccos4)0(y2C得特解为 。xy2cos2.分离变量得 ，两 边同时积分得 ，dedx1tan )1ln(|cos|l Ceyx所以方程通解为 ，由初值条件知 ，所以 ，则满足方程Cyxcos 4)0(y42C得特解为 。421xe3.原方程可化为 为齐次方程，令 ，则 ，3)(2xydxyu32udx所以 ，由有理函数形式积分法知 ，两u132 u1)13(边同时积分得 ，所以方程通解为|ln|1|l|ln|l Cxu，代回知 ，由初值条件知 ，所以 ，则满足方Cxu32132Cyx1)0(y程得特解为 。32y4.原方程可化为 为齐次方程，令 ，则1)(2xydxy xyu，所以 ，由有理函数形式2uxudxy 123udx积分法知 ，两边同时积分得xd1)1(，所以方程通解为 ，代回知|ln|l|ln2Cu Cxu12，由初值条件知 ，所以 ，则满足方程得特解为 。Cyx2 1)(y 12yx5.由题通解为 55 |sinlco|sinlcotscot CdxeeCdxee xxxxd ，由初值条件 ，所以in1s5sin1scoCxx 4)2(y，则满足方程得特解为 。C15cosxey6.由题通解为 ln31ln33232 22 Cdxedey xxxdx ，由初值条)1(21 22222 1313313 CxCxex xx 件 ，所以 ，则满足方程得特解为 。0)(y1e 1132eyx7.由题通解为 ，因为解连续则 ，且由初值021xCyx 121Ce得 ，所以 ， ，所以满足初值的特解为0211)1(2e。)(xeyx8.由题 ，则 ，两 边积分得 ，因 为当 ， ，31y3y12Cy1xy，知 ，所以 ，从而 ，则 ，两边0yC12d2积分得 ，由 ，知 ，则 解为 ，即Cxy211)(yC)1(12xy为 ，即 。2)(x229.题目错误，初值应改为 ， ， 。设 ，则 ，代入方程得0y )(xpypy，两边积分得 ，因为当 ， ， ，知 ，从而adxp2 1Caxp01C，所以 ，两 边积分得 ，当 ，1ydy axy|ln0x时，知 ，则解为 。0C|1|lnax10.设设 ，则 ，代入方程得 ，两 边积分得)(ypdxdypx2 dyp213，因为当 ， ， ，知 ，从而 ，所以213C0120C23，因为当 ， ， ，所以排除 ，所以 ，43ydxxy43ydx43ydx即 ，两边积分得 ，当 ， 时，知 ，则解为y243Cx24101yC。11x11.特征方程为 ，所以 ，其通解为 ，则014221,xeCy211)(，由初值条件可得 ， ，所以 ，xeCy221)( 1C0211，所以特解 为 。2 xy21)(12.特征方程为 ，所以 ，其通解为0342i3,1，则)sinco(212xCeyx，由初值条件可得 ，xeC221)cossi3s 01C，所以 ， ，所以特解为 。221012y3in13.特征方程为 ，所以 ， ，齐次方程通解 为 ，042142xeCy421则，因为 为单特征根，可设特解为 ，代入方程得 ，于是0Axy* 54A，所以通解为 ，所以 由初值条件可得xy45*eCy45212xeCy， ，所以 ， ，所以特解为 。121C02612xey451614.特征方程为 ，所以 ，齐次方程通解为 ，则，122,1x)(21因为 为重特征根，可 设特解为 ，代入方程得1 xeBAxy)(*，所以 ， ，于是 ，所以通解xxeBA)()3(262xey)3(62*为 ，所以xCy)3(61221由初值条件可得 ，xe6( 3213)(21eC，所以 ， ，所以特解为1)12 621C2。xxeeey3(6)(6215.特征方程为 ，所以 ，齐次方程通解为042i2,1，则，因 为 为特征根，可 设 特解为xCysinco21，代入方程得BAx*，所以 ， ， ，于是xx2cos1cos4si4 81A0B81C，所以通解为 ，所以xy2n81* xxCy 2sin2sin1 由初值条件可得 ，xxCc4sin8cssi1 01，所以 ， ，所以特解 为 。0201162 xxysi8si16（15）以速度为零的点为原点，由牛顿运动规律的 ，且有初值Vktdm21，则 ，其通解 为0)(VmtkVdt12 2 CteVdmtk，由初值tmktmktmktmktk CektCeeCde 22222 1211 )()( 条件知 ，即满足初值的特解为 。12k tktV212)(（16）由二阶线性齐次微分方程解的结构知 和 都是齐次方xey23 212xy程的特解，并且它们显然是线性无关的，所以 齐次方程的通解为。21xCey（17）1.因为 ，所以微分方程为全微分方程，通解为 。yyyex)( Cyxe22.因为 ，所以微分方程不是全微分方程。yxy)(2)(23.因为 ，所以微分方程为全微分方程，通解为2)()1(ee。C2（18）1.积分因子为 ，则方程可化为全微分方程 ，其通解为21y 0)1(2dyxx。Cx212.积分因子为 ，则方程可化为全微分方程 ，其通xe2 02)(2dyexeyx解为 ，即 。Cyx2 xey223.积分因子为 ，则方程可化为全微分方程 ，其21 02)1(2)1(dyxdyx通解为 ，即 。Cxy|lnxye1（19）考虑 ，则0)()()(1dyxgyfxgyfx yxgfx)(2)( )()()()( xygf xffffxyf ，2)()(xygffx yxgfyxf )()(。则22 )()()( )()( xfyfxf gfy可以推出方程 为全微分方程，所以0)()()(1dyxyfxyf为积分因子。)(1gxyf由题这时 ， ，所以积分因子为22)(yxyg，从而 为全微分31)(1xygxfy 03)2()(3 dxyxd方程， ，所以方)1ln(12, 2213132 yxduy程通解为 。Cyx22ln（20）由题 ，则它的通解为 ，)()(fefx )()( Cxedexfxdx 且满足初值 ，则 ，所以满足要求的 。210)21()f（21）由题 ， ，则 ，且 ，则原来)(xdte0)()(1)0( xex的积分方程转化为二阶线性齐次方程 ，且满足初值 ，ex1)0(，对应齐次方程的特征方程为 ，则 ，则对应齐次方程1)0(2i的通解为 ，可设非齐次方程的特解为 ，带xCxsinco)(21 xAe)(*入方程得 ，即其特解为 ，所以非齐次方程的通解为21Axe21)(*，则由初值可得 ， ，即所求 积分方xeCxsinco)(1 21C程的解为 。xi)(（22）1.设所给方程的解为 ，其中 为任意常数。从而 ，带1nxaCyC1nxay入方程得 ，即)(11 xnan，所以 ， ， ，1)2()2(11 nnxaC