第六章_线性变换_68180769

1第六章 线性变换映射： ，如果有一个法则 ，它使得 X 中每,XY个元素 ，在 Y 中有唯一确定的元素 与之对应，则称为 X 到 Y 的一个映射，记作 ， ，:XY称为 在 下的象， 称为 在 下的原象。注： 。, 对变换：一个集合到自身的映射。线性变换的定义与性质定义 设 V 是数域 F 上的线性空间， 是 V 的一个变换，如果满足条件：（1） ；,（2） ，kFV,k则称 是 V 上的线性变换或线性算子。(1), (2)等价于条件： ,klFV。kll例：设 ： ，定义为 ，c 为常数。- 数nnR乘变换或位似变换。c=0-零变换，记为 o。c=1-恒等变换，记为 。例：设是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转角的变换设 ，则, ,TTxyxy2cosinicsxyy记 ，则 是一个线性变换。cosniAA例：判断下列变换是否是线性变换(1) ;12323,1,TTaa(2) ;0(3) ;1231231, ,T Ta(4) .123123,Taa线性变换的基本性质（1） ； （2） ；（3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若，则 ；skk21 12skk若 ，则 。skk21 skk21（4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。3线性变换的运算-线性空间 上所有线性变换的集合。VLV定义 设 ，它们的和 定义为L, .,V易证 ，即线性变换的和仍是线性变换。V，有Flk,klklklkl 定义 设 ， 与 的数量乘法 定义为FVL,kk.,Vk同样 .k可以直接验证， 下列性质成立：, FlkVL（1） ；（2） ；（3） ；0（4） ；（5） ；1（6） ；kllk（7） ；l（8） .kk定理 对于上述定义的加法和数量乘法构成数域 上LV F4的线性空间。定义 设 ，定义线性变换的乘积 为VL, .,V易证 ，且 ，变换的乘积 FkL,还有如下性质：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；kk（5） ；（6） .oo注：线性变换的乘法交换律和消去律不成立。定义 设 ，如果存在 ，使得VLVL则称 是可逆的， 称为 的逆变换。(逆变换是唯一的。)的逆变换记为 ，且 .1VL1规定： ，则0 1,kk1, ,n kmnmnmnk 注意： 。kk5定义：设 ，且 ，1nfxF110nnfxaxax给定 ，称 为线()LV 110nf性变换 的多项式。显然 。()fLV线性变换在一组基下的矩阵定理 1 设 是 n 维线性空间 V 的一个线性变换，是 V 的一组基，则 V 中任一向量 的像 由n,2 基的像 所完全确定。n,21设 是 V 的一组基，则 可n,2 ,1,2i n由 线性表出，设1 nnnn naaa aaa 21 22122 111 nnn naaA 21 2221 1记 ，则有n, 2121 An称 A 为线性变换 在基 下的矩阵。n,216注 1：A 不一定是可逆矩阵。注2： 。12 12, ,n nAA 定理 2 设线性变换 在基 下的矩阵为 A，向量n2和 在这组基下的坐标分别是 和 Tn,x,x21，则 y=Ax.Tn,y,y21证明：因为 12,nxyAnn, 2121 12,nxxA 即 y=Ax.例 设线性变换 在基 下的矩阵为123,456789A求 在基 下的矩阵 B。321,例 设 是 的一组基， 是 的线性变换，且3,R3R，求 在这组基下的矩132231,阵；若 在 下的坐标为 ，求 在这组13, 2,T基下的坐标。线性变换与矩阵的一一对应关系7引理 设 是 n 维线性空间 V 的一组基，则对任意,21给定的 n 个向量 都存在线性变换 ，使得,21 。,ii 证明：设 是任一 n 维向量， 12=ncc定义一个变换 为：12 1=nniiccc则有 。以下证明 是一个线性变换。,ii 设 ，12 12=,=n nxxyy 则 1111 11nnni i iiii i in nniiii ii i ixyxyxy1111nni ii inni ii ikkxkxx定理 1 设 是 n 维线性空间 V 的一组基，,2是任一 n 阶矩阵，则有唯一的线性变换 满足ijaA 。Ann, 2121 证明：构造向量如下：12=,jjj njaa 8由引理，存在线性变换 ，使得 ，于=,12,ii n是 121212,nnnA 即存在线性变换 在基 下的矩阵是 A。如果有两个线性变换 在基 下的矩阵都是 A,n,21则 121212, ,nn n 即 ,.ii例 已知 的一组基，求(1)线性212,3TTR是变换 ，使 在这组基下的矩阵是 ; (2) 求线性变换14，使得 。12,00,TT定理 2 设 V 是 F 上 n 维线性空间，则 L(V)与 Mn(F)同构。证明：在 V 中取一组基 ，设 ，则n,21 ,12,n A 12,nB 定义映射 ，使得 。易证 是双射，:()nLVM且12121212, , ,n n nnABAB 即 。对任意的 ，有kF121212,n n nkkAkA 9即 k所以 是同构映射，即 L(V)与 Mn(F)同构。例 设 V 是数域 F 上的 n 维线性空间，证明由 V 的全体线性变换组成的线性空间 L(V)是 n2 维的。以二维线性空间为例，写出 L(V)的一组基。定理 3 设 是同构映射，则对 ，FM:n VL,。证明：设 ，则,AB12 1212,n n nBABA 即 。推论：设 ，若 可逆，则 A 是可逆矩阵，(),LV且 ；反之，如果 A 可逆，则 也可逆。11A线性变换的核与值域定义 1 设 ， 的全体像的集合称为 的值域，记VL作 Im .V|Im定义 2 设 ，所有被 映成零向量的向量的集合称VL为 的核，记作 ker ，即。ker|结论：Im 及 ker 都是 V 的子空间。10定义 3 dim Im 称为线性变换 的秩， dim ker 称为线性变换 的零度。例：零变换 o： 。Im,keroV例：恒等变换 ：定理 1 设 ， 是 V 的一组基，A 是VLn,21在这组基下的矩阵，则（1） ；12Im,n（2） 的秩= A 的秩；（3）dim ker =n-秩 A。证明：设 ，则12, nVaa112,ImnnL显然 ，所以（1）成立。12,ImnL（2）由（1）知， ，又 A2=,n秩 秩的列向量是 在基 下的坐标in,21建立 的同构映射，把 V 中每个向量与它的坐标对应，nVF由于通过映射保持向量组的一切线性关系，因此，向量组，12,=nA秩 的 列 秩 秩所以 的秩= A 的秩。（3）设 ，设 ，则ker,即 12,nx12nxA 11由于 线性无关，所以有 Ax=0。n,21反之，假设 是以满足 Ax=0 的解 x 为坐标的向量，即，则12,nx 1212,n nxAx 所以 因此 维数与 Ax=0 的解空间的维数相等，ker.ker即 dim ker =n-秩 A。例： ：12323,0,TTaaIm,|,ker,0|TxyFxxF例： 1231231, ,T Taaa,00,00,T TT3Im,kerR例：设 是三维线性空间 V 的一组基，已知线性变123,换 在这组基下的矩阵为102求 Im 及 ker 的基及维数。定理 2 设 ，则VL.Imdikerdiim证明：设 中取一组基,.kern在12，扩充为 V 的一组基 ，则12,r 121,rn 12Im,nL由于 ,所以1r +12Im,rrnL以下证明 线性无关。考虑+12,rrn 21+2 kerrrrrnrrrr nkkkkk 1+ 1rr rk 因为 线性无关，所以有21,rn 1 10rr rkkk 即 线性无关，从而 是+2,rrn +12,rrn的一组基，于是有Im.Imdikerdii V推论 对于有限维线性空间的线性变换 ， 是单射的充要条件是 是满射。注意：。例：dimikerdimI=kerImVV设线性空间是 ，线性变换是微分变换 ，则nFx dx1I,kern F显然 。dimikerdimIkerImVV但结论：当 ，erI时 ， 不 仅 有而且有 。13证明：设 中取一组基dim,diker.kerVn在，扩充为 V 的一组基 ，则12,r 121,rn 12I,nL已证 线性无关，以下证明+12,rrn,r +12,rrn线性无关。设1 1+rrrnkkk 则有 1 1+rrn r 因为 ，所以有eIm1+ 1rrn rkkkk 由于 和 线性无关，所以2,r +12,rrn 0ik即 , 为 V 的一组基，因此1r rr。keImV例：设 是 n 维线性空间 V 上的线性变换， ，证明 2在 V 上存在一组基，使 在这组基下的矩阵为diag(1,.,1,0,.,0).例 设 ，试研究以 A 为矩阵的线性变换20101A的核与值域，并探讨如何取基，使表达 的矩阵更简单。 不变子空间定义：设 ，W 是 V 的子空间，如果 ，都有LW，则称 W 是线性变换 的不变子空间。14平凡不变子空间：V，零子空间 。例 1：考虑 上的微分变换 ，则对于 ， 是nFxmnmFx的不变子空间。例 2 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间。不变子空间与矩阵化简之间的关系设 ，V 的 r 维子空间 W 是 的不变子空间，在LW 中取一组基 ，扩充成 V 的一组基r,21nr,121 假设 rrrr rraa aa 21 22122 1111, ,11,1,11 1,rr rrrrnrnnrnrnrna aa 因此 Anrnr , 121121 15nnr nrr rrrr nrr aaaaa aaaA 11121 11110000将 在基 下的矩阵记作 ，那么n,21 A3210A其中 rr raaaaA 1111 rnr nr aaaaA 1112nrn nrr aaA 1 113：将 的作用限制在 W 上，称为 在 W 上的限制。W| 12121 ,| Arr 16若 ，其中 是 V 的关于12sVW 1iWs的不变子空间，在每个 取一组基is，则这些向量合起来构成 V 的一组基，且12,iiir在这组基下的矩阵为准对角矩阵 ，12,sAdiagA其中 是 在 的基 下的矩阵；iAs|iWi12,iiir反之亦然。例 设 是 的线性变换，在基 下的矩阵为3R123,102A则 ，而且 都1211223, ,VWLWL其 中 12,W是 的不变子空间。例(P227,16) 如果 是线性空间 V 的 s 个两两不同12,s的线性变换，那么在 V 中存在向量 ，使 也12,s两两不同。证明：令 |,ij ijijs易证 ，且 是 V 的子空间ijVij因为 两两不同，所以对 ，存在 ，i,ijjV使得 ，即ijijijV设 中有 r 个零子空间，其余都是 V 的非平凡子空间ijV则存在 不属于每个非平凡子空间，,显然 ，所以 不属于零子空间，17即 不属于每个 。ijV特征值与特征向量定义 设 ，如果对于 中的数 ，存在非零向量 ，LF使得 ，则称 是线性变换 的一个特征值， 是的属于特征值 的特征向量.例：设 是 上的数乘变换， ，c 是一个常数，3R则任意非零向量都是特征值 c 的特征向量。例：零变换的特征值只有 0，且任意非零向量都是特征值 0的特征向量.例：设 是 上线性变换，满足 ，则2R1212,TTaa是特征值 1 的特征向量； 是,0Tx 0,0y特征值-1 的特征向量。特征向量的性质：（1） 如果 是 的属于 的特征向量，则对任意的非零常数 k， 也是 的属于 的特征向量；（2） 如果 是 的属于 的特征向量，则当12,时， 也是 的属于 的特征向量。12定义 称 为线性变换 的属于特征值V|的特征子空间，特征子空间 的维数称为特征值 的几何 V重数。结论 1：特征子空间 是 的不变子空间。结论 2：设 W=L(e)是 的任意一维不变子空间，且18，则 W 是特征子空间 的子空间。eV结论 3： 且 。kerVdimker1结论 4：设 是线性变换，A 是 在某组基下的矩阵，则数是 特征值Fker不 可 逆。0I IA不 可 逆11212 212 nnn naaaIAaaa 定义：多项式 称为线性变换 的特征多AfIA项式，它的根称为 的特征根。在复数域中把 A 的特征多项式进行因式分解，假设12 snnnAf其中 ，称 为特征值12,ij sij i的代数重数。i定理：设 是 n 阶复方阵 A 的特征值，则它的几何重数总i不大于它的代数重数。特征值与特征向量的计算定义 1：设 A 是 n 阶方阵，若存在数 及非零向量 x，使得Ax= x则称 是 A 的特征值，x 是 A 的属于特征值 的特征向量。19例 已知 是矩阵 的一个1,Tx21253Aab特征向量，试确定参数 a, b 及 x 对应的特征值。特征向量的性质1 若 x 是 A 的属于特征值 的特征向量，则对任意的k(k0), kx 也是属于 A 的特征向量。2 若 x1, x2 是 A 的属于特征值 的两个特征向量，则(其中 k1, k2 是数，且 )也是k 021xkA 的属于特征值 的特征向量。3 一个特征向量不能属于 A 的不同的特征值。4 属于不同特征值的特征向量线性无关。证明：设 是属于 A 的互不相同的特征值，k,21为对应于它们的特征向量。kx,x21k=1 时，因为 ，所以 线性无关。011x假设 k-1 时命题成立，下证命题对 k 也成立。设 )1(2kxlxll用 乘(1)式两端，得k)2(021 kkxlxll 再用 A 左乘(1) 式两端，得21 kAxlxll即 )3(0k201122110k k kkkklxlxlx由归纳假设， 线性无关，所以11,0,k,iliki 因为 12liik ，代入(1)，得 0, kkk lxxl所以 线性无关。,x215 设 是 A 的特征值，x 是 A 的属于 的特征向量，则 是 Am 的特征值，且 x 是 Am 的属于 的特征向量。m6 设 A 是可逆矩阵， 是 A 的特征值，则 ，且0是 A-1 的特征值， |A|是 A*的特征值。117 设 是 A 的特征值，f (x)是一个多项式，则 是 f(A)的f特征值。特征值和特征向量的求法由 0xAIxA即特征向量 x 满足齐次线性方程组 0021 2212 11 nnn nxaxaxaxa 因为 x0，所以有21021 2221 11 nnn naaaaAI 定义：设 A 为一个 n 阶方阵，则行列式 nnn nA aaIf 21 2221 11称为矩阵 A 的特征多项式。求给定方阵 A 的特征值与特征向量的步骤：（1） 求出特征多项式 的所有解，得到0AIfAA 的全部特征值 及它们的代数重数。12,s（2） 分别把 A 的每个特征值 代入线性方程组中，得到i0iIx,i,s分别求出它们的基础解系 ，则所有非零线性组imixx21合 就是 A 的属于 的全部特征向量。,s,i,xkimjj211 i例 求下列矩阵的特征值和全部特征向量 011020240 C,B,A解：求 A 的特征多项式:2222200 20224 AIfA所以，A 的特征值为 。)(2,01二 重 根当 时，由 得01xAI024213xx解得基础解系 。T1)1,(所以属于 的全部特征向量为 cx11，c 为任意非零常数。0当 时，由 得2102xAI0223131xx解得基础解系 。21 2110TT,x,所以属于 的全部特征向量为 其中1 ,21xc取遍所有不同时为 0 的数。21,c23B 的特征多项式为 211102 BIfB所以 B 的特征值为 。)(,21二 重 根当 时，由 得210xBI0321xx解得基础解系 。T)2,1(1所以属于 的全部特征向量为 cx11，c 为任意非零常数。当 时，由 得2102xBI021x解得基础解系 。T,11所以属于 的全部特征向量为 其中 取遍所有非零,21cxc数。C 的特征多项式为 11C2C If在复数域上，C 的特征值为 ii,2124属于 的所有特征向量为 ，其中 取遍i1Ti,c1c所有非零数。属于 的所有特征向量为 ，其中 取遍所i2 Ti,cc有非零数。例 1 A 为 n 阶方阵，则 A 与 AT 具有相同的特征值。例 2 对矩阵 ，证明 AB 与 BA 的非零特征值均相同；,mnB当 n=m 时，AB 与 BA 具有相同的特征值。例 3 设 是 A 的特征值，对应的特征向量为 x，证明满足矩阵方程 的方阵 A 的特征值只能取 1 或 2.230I例 4 若 A 的所有特征值均小于 1，则矩阵 可逆。IA例 5 设 A 是 3 阶矩阵，A -1 的特征值是 1, 2, 3，则|A| 的代数余子式 123?例 6 已知 的一个特征值153,|1,0acAbAca对应的特征向量1,.Tabc求特征多项式的性质定理：设 n 阶矩阵 的 n 个特征值为 ，则ijaAn,21(1) ;tr11aiiii(2) .|2n证明：A 的特征多项式为25 nnnn nnA aa aaaaAIf 11 22221 11 I 在复数域上 可以完全分解，即fAI21 nA f (2) 在(I) 中取 ，0|A|f nA1|在(II)中取 ，nnnA f 21210.|21An(1) 在(I) 中展开后含 项的行列式有下面几个1n1 21 12 21 200000 0nn n naaa, ,aaa 它们之和为 11121 nniinaaa(II)中展开后 项的系数为：1n11121 nniin26所以 .tr11Aaniinii推论： 。个 特 征 值 全 不 为的可 逆 00| nA例 1 已知 3 阶方阵 A 的特征值为 1, -2, -1，求|A+3I|。例 2 若 ，证明 1 或-1 至少有一个是 A 的特征值。2I定理(Hamiltin-Cayley 定理) 设 ，nMF是 A 的特征多项式，则 。AfI0Af证明： III的元素是 的元素的代数余子式，因而是次I数不超过 n-1 的 的多项式。假设1210nnIABB其中 。于是,0,1inBMFi 120nnII IA 设 110+nnAfaa由 ，展开并比较系数，得到AIIfI12110110nnnBaIBAIa 1100nn AAaaIf27推论： , 0.LVf f 设 是 的 特 征 多 项 式 ， 则例 证明：方阵 A 的特征值全为零的充分必要条件是存在自然数 m，使得 Am=0.证明：（充分性）设 是 A 的任一特征值，则 是 Am 的特征值，因为 Am=0，所以， 00m即 A 的特征值全为零。（必要性）设 A 的所有特征值都为零，则 ，nAf由 Hamiltin-Cayley 定理， 。0nAf相似矩阵设 V 是 n 维线性空间， 是 V 的1212,nn 两组基， 的过渡矩阵为 P。12,n 到设 是线性空间 V 的一个线性变换， 在这两组基下的 矩阵分别为 A 和 B，则12121212,n nn nPAB 12121, nn PPAA 所以 P-1AP=B。定义：设 A, B 是两个 n 阶方阵，如果存在一个 n 阶可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，28则称矩阵 B 相似于矩阵 A，记作 。BA基本性质：（1） 自反性： ；,nM（2） 对称性：若 ，则 ；BAB（3） 传递性：若 ， ，则 。CA定理：n 维线性空间 V 上的一个线性变换 在 V 的不同