第2章连续控制系统的数学模型

主讲人：肖纯第 2章 连续系统的数学模型 2.1 系统数学模型的概念 2.3 传递函数 2.2 微分方程描述2.4 结构图 2.5 信号流图 2.6 系统数学模型的 MATLAB表示 1主讲人：肖纯第 2章 连续控制系统的数学模型 2.1 系统数学模型的概念 2.2 微分方程描述 2.3 传递函数 2.4 结构图 2.5 信号流图 2.6 系统数学模型的 MATLAB表示 2主讲人：肖纯2.1 系统数学模型的概念 自动控制理论方法 是先将系统抽象成数学模型，然后用数学的方法处理。 数学模型 ：是根据 系统运动过程的物理、化学等规律 ，所写出的描述系统 运动规律、特性和输出与输入关系 的数学表达式。3主讲人：肖纯2.1 系统数学模型的概念 完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！4主讲人：肖纯2.1.1 数学模型的定义与主要类型 静态模型与动态模型 (静态模型是 t 时系统的动态模型 ) 输入输出描述模型（外部描述模型）与内部描述模型 连续时间模型与离散时间模型 参数模型与非参数模型105主讲人：肖纯 描述系统静态（工作状态不变或慢变过程）特性的模型，称为 静态数学模型 。静态数学模型一般是以代数方程表示的，数学表达式中的变量不依赖于时间，是 输入输出之间的稳态关系 。 描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型 。动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程等形式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。（ 1）静态模型与动态模型2.1.1 数学模型的定义与主要类型6主讲人：肖纯（ 2）输入输出描述模型与内部描述模型 描述系统 输出与输入 之间关系的数学模型称为输入输出描述模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。 状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系 ，所以称为内部描述模型。内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系，而且描述了系统内部信息传递关系，所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。2.1.1 数学模型的定义与主要类型7主讲人：肖纯（ 3）连续时间模型与离散时间模型 根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号，数学模型分为 连续时间模型 和 离散时间模型 ，简称连续模型和离散模型。 连续数学模型有 微分方程、传递函数、状态空间表达式 等。 离散数学模型有 差分方程、 Z传递函数、离散状态空间表达式 等。 2.1.1 数学模型的定义与主要类型8主讲人：肖纯（ 4）参数模型与非参数模型 从描述方式上看，数学模型分为参数模型和非参数模型两大类。 参数模型 是用数学表达式表示的数学模型，如传递函数、差分方程、状态方程等。 非参数模型 是直接或间接从物理系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应、频率特性曲线等。2.1.1 数学模型的定义与主要类型9主讲人：肖纯2.1.2 建立数学模型的方法 机理分析建模方法 ，称为 分析法 ； 对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律、化学规律分别列写运动方程。（白箱）KCL KVL 牛顿定律 热力学定律等。 实验建模方法 ，通常称为 系统辨识 。 人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，并用适当的数学模型去逼近。（黑箱）建立系统的数学模型简称为建模。系统建模有两大类方法，或者说有两种不同的途径。10主讲人：肖纯分析法建立系统数学模型的几个步骤： 建立物理模型。 列写原始方程。利用适当的物理定律 如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等） 选定系统的 输入量、输出量及状态变量 （仅在建立状态模型时要求）， 消去中间变量 ，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。2.1.2 建立数学模型的方法 11主讲人：肖纯实验法基于系统辨识的建模方法 已知知识和辨识目的 实验设计 -选择实验条件 模型阶次 -适合于应用的适当的阶次 参数估计 -最小二乘法、最大似然估计、相关分析、时域、频域 模型验证 将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近2.1.2 建立数学模型的方法 12主讲人：肖纯最有效的建模方法是将 机理分析建模方法与系统辨识方法 结合起来。实用的建模方法是尽量利用人们对物理系统的认识，由机理分析提出模型结构，然后用观测数据估计出模型参数，这种方法常称为 “ 灰箱 ” 建模方法，实践证明这种建模方法是非常有效的。2.1.2 建立数学模型的方法 13主讲人：肖纯第 2章 连续控制系统的数学模型 2.1 控制系统数学模型的概念 2.2 微分方程描述 2.3 传递函数 2.4 结构图 2.5 信号流图 2.6 系统数学模型的 MATLAB表示 14主讲人：肖纯第 2章 连续控制系统的数学模型 2.2 微分方程描述 描述系统 输出变量和输入变量 之间动态关系的微分方程称为 微分方程 模型 15主讲人：肖纯2.2 微分方程描述系统微分方程的形式与系统分类之间的关系 :（ 1）非线性微分方程描述的是 非线性系统 ；（ 2） 线性微分方程描述的是线性系统 ;（ 3）时变系统的微分方程的系数与时间有关；（ 4） 时不变 (定常 )系统的微分方程的系数与时间无关 。系统u(t) y(t)16主讲人：肖纯根据系统的机理分析，列写系统微分方程的一般步骤为 （ 1） 确定 系统的输入、输出变量； （ 2） 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理、化学等定律， 列写 各变量之间的动态方程，一般为微分方程组； （ 3） 消去中间变量 ，得到输入、输出变量的微分方程； （ 4） 标准化 ：将与输入有关的各项放在等号 右边 ，与输出有关的各项放在等号 左边 ，并且分别按 降幂排列 ，最后将系数归化为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。注意：由于实际系统的结构一般比较复杂，甚至不清楚内部机理，所以，列写实际工程系统的微分方程是很困难的。2.2 微分方程描述17列写如图所示 RC网络的微分方程。给定输入电压 为系统的输入量，电容上的电压 为系统的输出量。 解 设回路电流为 i，由电路理论可知，电阻上的电压为： 由基尔霍夫电压定律，列写回路方程式电容上的电压与电流的关系为：消去中间变量 u1、 i得令 为电路时间常数，则为 RC网络的微分方程，它是一阶常系数线性微分方程。例 2.1 一阶 RC网络系统18例 2.2 二阶 RC网络系统 给定输入电压 为系统的输入量，电容C2上的电压 为系统的输出量。 i1 i219思考： 能否可以将二阶 RC网络看成是两个一阶 RC网络的串联？分别建立一阶 RC网络的输入输出之间的微分方程关系，然后直接得到二阶 RC网络的输入输出之间的微分方程关系？串联？T12=020串联i2i121串联？T12=0二阶 RC网络虽然是两个一阶 RC网络的串联，但应该注意到前面一个 RC网络不是开路，后面一个 RC网络是前面一个 RC网络的负载， T12系数项就反映了这一负载效应。22主讲人：肖纯 23C-+一阶有源网络系统二阶有源网络系统思考： 能否可以将下列有源二阶 RC网络看成是两个有源一阶 RC网络的串联？为什么？24主讲人：肖纯图 2-3 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压 Ua(t)(v)为输入量，电动机转速 m(t)(rad/s)为输出量，列写微分方程。图中 Ra()、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感， Mc(NM)是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。例 2-32.2 微分方程描述25主讲人：肖纯解：电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压 Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流 ia(t)，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转矩 Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。 电枢回路电压平衡方程 电磁转矩方程 电动机轴上的转矩平衡方程 2.2 微分方程描述26主讲人：肖纯Ea 是 电枢反电势 ，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反 ，即Ea=Cem(t) Ce反电势系数 (v/rad/s)电枢回路电压平衡方程：2.2 微分方程描述27主讲人：肖纯： 电动机转 矩 系数 （ N m/A）： 由电枢电流产生的电磁转 矩 （ Nm ）电动机轴上的转矩平衡方程：fm： 电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数 （Nm/rad/s）Jm： 转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kgm电磁转矩方程：Mc(NM)是折合到电动机轴上的总负载转矩。是折合到电动机轴上的总负载转矩。2.2 微分方程描述28主讲人：