现代cad基础与应用第二章3

机械类专业基础核心课程主讲 :刘子建 教授汽车楼 322， 88823080， 助教：周晋超等综合实验楼 468， 88821726精品课程网站： /2010/jxcad 课程中心网站： *生成模型后需要解决的问题1、如何改变计算机三维模型的形状？2、如何控制计算机三维模型的运动？3、如何得到三维模型的平面视图？4、三维模型的立体视图如何表达？ 解决三维模型的控制和表达问题*方法： 几何变换 （ geometrical transformation）或称为 图形变换 （ graphics transformation）1. 保持图形的拓扑关系不变的线性变换；2. 线框模型的变换以顶点的变换为基础；3. 表面和实体模型的变换以对控制点的变换为基础；4. 曲线和曲面的变换以对参数方程或型值点位置向量的变换为基础。*学习要点1、熟练掌握基本几何变换及其 T矩阵；2、掌握 T矩阵各元素的图形变换作用规律；3、已知变换矩阵求取变换的图形结果；4、已知变换后的图形写出变换矩阵。高度关注变换矩阵 T元素与图形的关系！*第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换基本算法设计模型变换的基本概念 几何图形（或形体）按某种规则变换成另一几何图形（或形体）的过程称为 模型的变换 。 设计模型变换的基本方法是 几何变换 。 包括二维、三维基本几何变换、齐次变换和它们的组合变换等 。 投影变换 是与画法几何理论相关的图形变换，包括正投影变换、轴测投影变换、透视投影变换等。 用来研究和实现几何变换的数学工具是 线性代数 ，主要是 矩阵理论 。*第 2章 CAD建模的理论基础变换后的位置向量第 2节 设计模型变换基本算法1.平面图形的变换 图形可以用点的 位置向量矩阵 来表示。 点 可以用 位置向量 表示。 为了 使某一点变换前和变换后的位置向量有如下关系：变换矩阵变换前的位置向量 不妨 令*第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换基本算法1.平面图形的变换 恒等变换 基本几何变换中的 即例如：坐标值没有变化*第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换基本算法1.平面图形的变换 比例变换 基本几何变换中的例如： T矩阵主对角线元素影响图形的比例变换T矩阵的第 1列元素影响图形 x方向的变换 T矩阵的第 2列元素影响图形 y方向的变换 *第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换基本算法1.平面图形的变换 镜像（对称）变换 基本几何变换关于 x轴对称关于 y轴对称关于 y=x轴对称关于任意直线对称关于 y=x对称关于 y轴对称关于 x轴对称镜像变换的本质是通过 T矩阵的变换改变了位置向量坐标的正负号。*第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换基本算法1.平面图形的变换 错切变换 基本几何变换沿 y方向沿 y方向沿 x方向沿 x方向副对角线的元素控制错切变换*第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换基本算法1.平面图形的变换 旋转变换 基本几何变换基本 旋转变换是图形绕坐标原点进行旋转的变换旋转 角度的方向：逆时针方向旋转为正，反之为负 。 *第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法1.平面图形的变换实现图形的平移变换需要思考的几个问题：1.图形的平移可以用几何变换方法实现吗？2.能否像比例、旋转等变换一样，用 22 的T矩阵实现图形的平移？3.如何发展一种新的变换方法解决平移问题？*第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法1.平面图形的变换 为了实现图形的 平移需要 改造 T矩阵 齐次坐标变换 位置向量增加一维，并使 T矩阵由 2X2矩阵变成 3X3矩阵 可以得到平移后的坐标： *第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法1.平面图形的变换 定义： 用 N+1维位置向量表示 N维位置坐标的方法称为 位置向量的齐次坐标表示法 ，对应的变换矩阵称为 齐次坐标变换矩阵 ，用齐次坐标变换矩阵进行的几何变换称为 齐次坐标几何变换 。 齐次坐标几何变换请问，比例、错切、镜像、旋转等变换是否也可以用齐次坐标表示？*第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法1.平面图形的变换 齐次坐标变换 齐次坐标变换矩阵的一般形式 左上角 2X2矩阵控制基本变换左下角 1X2矩阵控制平移变换右上角 2X1矩阵控制透视变换右下角 1X1矩阵控制全比例变换 齐次坐标变换表达式的一般形式请问，基本几何变换共计有几种？ *第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法1.平面图形的变换 组合变换问题： 如何通过几何变换实现平面图形绕平面上任意点的旋转？需要通过多次基本几何变换才能解决问题。定义： 连续多次采用基本几何变换解决问题的方法称为组合变换 或 级联变换 (Composite Transformation)注意 :组合变换包含的先后顺序与进行变换的先后顺序一一对应 ,不能交换。即变换矩阵的乘积不满足交换律。*第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法1.平面图形的变换 组合变换图形绕平面上任意点的旋转可通过组合变换矩阵实现*第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法2.三维模型的几何变换（模型的控制）三维几何变换使用 4X4的齐次变换矩阵： 矩阵中各元素在几何变换中各有什么作用？ 左上角 3X3矩阵控制模型的基本变换左下角 1X3矩阵控制模型的平移变换右上角 3X1矩阵控制模型的透视变换右下角 1X1矩阵控制模型的全比例变换*第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法2.三维模型的几何变换 三维模型的比例、错切、镜像、平移变换如何写出模型 关于 YOZ面和 XOZ面镜射的变换矩阵？ *第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法2.三维模型的几何变换 模型 绕坐标轴（ X轴、 Y轴、 Z轴）的旋转变换 请 注意矩阵 Ty与矩阵 Tx、 Tz之间的区别请问，模型 绕空间任意轴旋转的变换矩阵如何求？*第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法2.三维模型的几何变换 例题：空间点 P绕任意直线 AB逆时针旋 角度到 P*，试求 P点新坐标（X * ， Y *， Z * ）。如图，已知以 AB为对角线的立方体的长宽高分别为 a、 b、 c，以及 A点坐标。*第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法2.三维模型的几何变换 第一步（ 注意 :以下所有的变换都 作用于 P点 ）坐标 Oxyz原点 O平移到 A，得到新坐标系 Axyz，有*第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法2.三维模型的几何变换 第二步 AB绕 xA旋转一个角度 到 AB2（逆时针） ， 有 如何求出？*第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法2.三维模型的几何变换 第三步 AB2绕 yA旋转一个角度 到 AB4（顺时针），有*第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法2.三维模型的几何变换 第四步此时的 AB4与 Az 重合， P点绕 Az （即 AB4）逆时针旋转 角度，有*第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法2.三维模型的几何变换 第五步按照前述的步骤逆向返回，可得如下三个变换矩阵 *第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法2.三维模型的几何变换 第六步上述 所有 7个矩阵相乘，即为所求的变换矩阵因而，空间任意点 P点绕空间任意直线 AB旋转的变换式为模型 绕过原点的任意轴旋转，其变换矩阵如何求？ *第 2章 CAD建模的理论基础第 2节 设计模型变换的基本算法2.三维模型的几何变换 几何变换求解的两类问题第一类问题： 已知变换要得到的图形，求变换矩阵 (过程)解题方法： 确定变换过程，写出矩阵，计算结果，得到总体变换矩阵。第二类问题： 已知变换的过程，求变换得到的结果（图形）解题方法： 写出描述变换过程的矩阵，计算结果，绘出图形。*第 2章 CAD建模的理论基础课后作业：2-11已知 ABC各顶点坐标分别为 A（ 10， 10）、 B（ 10， 40）、 C（ 40， 50），现对其实施如下变换：1、沿 x方向平移 30，沿 y方向平移 20，再绕原点旋转 900；2、绕原点旋转 900，再沿 x方向平移 30，沿 y方向平移 20。2-12已知单位立方体各顶点坐标为： A（ 0,0,0）、 B（ 0,0,1）、 C（ 1,0,1）、 D（ 1,0,0）、 E（ 0,1,0）、 F（ 0,1,1）、 G（ 1,1,1）、 H（ 1,1,0）。1、求将 AG连线旋转至与 x轴重合的变换矩阵，并计算出每次旋转的具体角度；2、求将 F点绕 CG连线正转 300度的变换矩阵，并计算出变换后的坐标值。思考与复习题：1、试简述齐次坐标的几何意义；2、阅读复习教材 P39-50，预习教材 P51-60。*如何用 OPEN GRIP编程完成几何变换？1、 说明矩阵变量 命令的格式NUMBER / 矩阵变量 （数组下标）例：编写程序生成圆，再对其实施平移变