概率论与数理统计三版课后答案

1第一章 事件与概率1写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分） 。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。（3）生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数。（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品” ，不合格的记上“次品” ，如连续查出 2 个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果。（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。（6）实测某种型号灯泡的寿命。解 （1）,10,nin其中 n 为班级人数。（2） 8,43 。（3） 10。（4）00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111 ，其中0 表示次品，1 表示正品。（5） (x,y) 0x1,0y1。（6） t t 0。2设 A，B，C 为三事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列各事件， 。（1）A 发生，B 与 C 不发生。2（2）A 与 B 都发生，而 C 不发生。（3）A，B，C 中至少有一个发生。（4）A，B，C 都发生。（5）A，B，C 都不发生。（6）A，B，C 中不多于一个发生。（7）A，B，C 至少有一个不发生。（8）A，B，C 中至少有两个发生。解 （1） ， （2） CAB， （3） ，（4） ， （5） ，（6） BA或CC，（7） ，（8） BA或 CCAB3指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。（1） BA （2） AB（3） 则若 , （4）若 BA则,（5） CBA （6） 若3AB且 C， 则 B解 : (1) 成立，因为A)(。(2) 不成立，因为 B。(3) 成立， AB,又。(4) 成立。(5) 不成立，因左边包含事件 C，右边不包含事件 C，所以不成立。(6) 成立。因若 BC，则因 CA，必有 BCAB，所以 AB 与已知矛盾，所以成立。图略。4简化下列各式：（1） )(CBA （2）)(（3）解:（1） BCACBA)( ，因为 ，所以， )(。4（2） BABA)( ，因为 ，且 C，所以 )(BA。（3） )(BA)(。 5设A，B， C 是三事件，且 P（A）P （B ） P（C） 41， ,81)(,0)()(C求 A，B，C至少有一个发生的概率。解 ABCAB 0P(ABC) P(AB)=0，故P(ABC)=0所求概率为P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 87012416 从 1、2、 3、4、5 这 5 个数中，任取其三，构成一个三位数。试求下列事件的概率：（1）三位数是奇数； （2）三位数为 5 的倍数；（3）三位数为 3 的倍数； （4）三位5数小于 350。解 设 A 表示事件“三位数是奇数 ”， B 表示事件“三位数为 5 的倍数” ，C 表示事件“三位数为 3 的倍数” ，D 表示事件“三位数小于 350”。基本事件总数为 5AV，(1)6.03)(,352424 PA；(2)2.601)(,1352424ABVB；(3)4.!)(,!335PC；(4) 5.0632)(,23514134 ADPAVD。7某油漆公司发出 17 桶油漆，其中白漆 10 桶、黑漆 4 桶、红漆 3 桶，在搬运中所有标签脱落，交贷人随意将这些油漆发给顾客。问一个定货 4 桶白漆、3桶黑漆和 2 桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？解 随机试验 E 为任意取 9 桶交与定货人，共有917C种交货方式。其中符合定货要求的有410C 3623C种，故所求概率为 24315917340CP8在 1700 个产品中有 500 个次品、1200 个正品。任取 200 个。 （1）求恰有 90 个次品的概率；（2）求至少有 2 个次品的概率。解 （1）试验 E 为 1700 个产品中任取 200 个，共有07C种取法，其中恰有 90 个次品的取法为95 12，故恰有 90 个次品的概率为 2017951CP（2）设事件 A 表示至少有 2 个次品，B 表示恰有1 个次品，C 表示没有次品，则 A=S-(BC)，且BC=， BCSP(A)=PS-(B C)=P(S)-P(B)+P(C)2017959把 10 本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。解 V =P10=10！，设所论事件为 A，则VA=8！3！ 067.!138)(P10从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解 V =C410，设 A 表示事件“4 只鞋中至少有 2只配成一双” ，则 表示“4 只鞋中没有 2 只能配成一双” 。先求出 P( )，再求 P(A)。7有利于 A 的情形共有 !46810种（因为不考虑取 4 只鞋的次序，所以被 4！除） 。381.02!)(410CP故69.81)(A另一解法：有利于事件 A 的总数为)(252815是 重 复 的 数 目C619.023)410528CP11将 3 鸡蛋随机地打入 5 个杯子中去，求杯子中鸡蛋的最大个数分别为 1，2，3 的概率。解 依题意知样本点总数为 53 个。以 Ai(i=1, 2, 3)表示事件“杯子中鸡蛋的最大个数为 i”，则 A1 表示每杯最多放一只鸡蛋，共有35A种放法，故 215)(31PA2 表示由 3 个鸡蛋中任取 2 个放入 5 个杯中的任一个中，其余一个鸡蛋放入其余 4 个杯子中，放法总数为1453C种 251)(34152CPA3 表示 3 个鸡蛋放入同一个杯中，共有 种放法，故8251)(3CAP12把长度为 a 的线段在任意二点折断成为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。解 设所论事件为 A，线段 a 被分成的三段长度分别用 x，y 和 a-x-y 表示，则样本空间 为：0xa，0y a ，0x+y a，其面积为,2)(L而有利于 A 的情形必须满足构成三角形的条件，即 .2,0,0ayxayax其面积为,)(1AL25.0421)(2aP。 13甲乙两艘轮船要在一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。若甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需等候码头空出的概率。解 设自当天 0 时算起，甲乙两船到达码头的时刻分别为 x 及 y，则 为：0x24，0y24，L()=24 2，设所论事件为A，则有利于 A 的情形分别为：（1）当甲船先到时，乙船应迟来一小时以上，即 y-x1 或 y1+x ；（2）当乙船先到时，甲船应迟来两小时以上，9即 x-y2 或 yx-2；事件 A 应满足关系：y1+x，yx-2，L(A) 22)4(1)(879.024)3()( LAP。14已知 ,21)(,3)(,1( BAP求 ),(BAP。解 由乘法公式知 1243)(|)( )(|BPAP 6/|()B 31241)()( AP15已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。求下列事件的概率。（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。解 设以 Ai(i=1,2)表示事件“第 i 次取出的是正品10“，因为不放回抽样，故（1） 45289710)|()(212 APAP（2）1)|(2（3）451698021)|()|()21121 APAP（4） 9)()()()( 2121212 16在做钢筋混凝土构件以前，通过拉伸试验，抽样检查钢筋的强度指标，今有一组 A3 钢筋 100 根，次品率为 2%，任取 3 根做拉伸试验，如果 3 根都是合格品的概率大于 095，认为这组钢筋可用于做构件，否则作为废品处理，问这组钢筋能否用于做构件？解 设 iA表示事件“第 i 次取出的钢筋是合格品” ，则 986)(,97)(,1098)( 21312 APAPP所以 5.04.)()()( 213121321 A故这组钢筋不能用于做构件。17某人忘记了密码锁的最后个数字，他随意地拨数，求他拨数不超过三次而打开锁的概率。若已知最后一个数字是偶数，那么此概率是多少？解 设以 Ai表示事件 “第 i 次打开锁”11（i=1,2,3） ，A 表示“不超过三次打开” ，则有 3211A易知： 321,是互不相容的。 1038910 )|()|()|()() 2131221 APPAP同理，当已知最后一个数字是偶数时，所求概率是 5345P18袋中有 8 个球，6 个是白球、2 个是红球。 8 个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中。问第一人，第二人，最后一人取得红球的概率各是多少个。解 设以 Ai(i=1,2,8)表示事件“第 i 个人取到的是红球” 。则 41)(P又因 A2= 21，由概率的全概公式得 41786 )|()|()()() 121121 APAP类似地有 )8,3()iAPi19设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，问另一件也是不合格品的概率是多少？解 设 A，B 分别表示取出的第一件和第二件为正品，则所求概率为1251)()(1)()( 2062104AABPBAP20对某种水泥进行强度试验，已知该水泥达到500#的概率为 09，达到 600#的概率为 0.3，现取一水泥块进行试验，已达到 500#标准而未破坏，求其为600#的概率。解 设 A 表示事件“水泥达到 500#”， B 表示事件“水泥达到 600#”。则 P(A)=0.9, P(B)=0.3, 又 A ,即 P(AB)=0.3,所以 319.0)()( PBP。21以 A，B 分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现的停水事件，据记载知P（A）0.35， P（B）0.30 ，并知条件概率为P（A B）0.15，试求：（1）两个区同时发生停止供水事件的概率；（2） 两个区至少有一个区发生停水事件的概率。解 （1） 由题设，所求概率为 04530)()( BAP；（2） 所求概率为 6053)()()( 。22设有甲、乙两袋，甲袋中装有 n 只白球、 ，m只红球；乙袋中装有 N 只白球、 M 只红球，今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再从乙袋中任意取只13球。问取到白球的概率是多少？解 设 A1、A 2 分别表示从甲、乙袋中取到白球，则 mnP)(1 mnAP)(1|2MN1)|(1A由全概率公式 )(1( 1)(|()|(222mnMNnNAPAPP23盒中放有 12 只乒乓球，其中有 9 只是新的。第一次比赛时从其中任取 3 只来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取 3 只，求第二次取出的球都是新球的概率。解 设 ),210(iB表示事件“第一次比赛时用了 i 个新球” ，用 A 表示事件“第二次比赛时取出的球都是新球” 。则有 31293129)(,)( CBAPCPiiii 。由全概公式有 46.035)()()( 231930BAiii ii。1424 将两信息分别编码为 A 和 B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作 B 的概率为 002而 B 被误收作 A 的概率为 001信息 A 与信息 B 传送的频繁程度为 2：l若接收站收到的信息是 A，问原发信息是 A 的概率是多少？解 设事件 H 表示原发信息为 A，C 表示收到信息为 A，则 表示原发信息是 B。H， 是 S 的一个划分。依题意有 01.)|(,98.0)|(,31)(,2)( PPP由贝叶斯公式有 197630.298.)(|)(|)|( HCHC25甲、乙、丙三组工人加工同样的零件，它们出现废品的概率：甲组是 0.01，乙组是 0.02，丙组是0.03，它们加工完的零件放在同一个盒子里，其中甲组加工的零件是乙组加工的 2 倍，丙组加工的是乙组加工的一半，从盒中任取一个零件是废品，求它不是乙组加工的概率。解 设 321,A分别表示事件“零件是甲、乙、丙加工的” ，B 表示事件“加工的零件是废品 ”。则 03.)(,0.)(,0.)(21 ABPP71)(,7)(,74)( 321A15140304.7/)3.1024(/)()(222 BPAA所以 711(22。26有两箱同种类的零件。第一箱装 50 只，其中10 只一等品；第二箱装 30 只，其中 18 只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。 （2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解 设事件 A 表示“取到第一箱 ”，则 A表示“取到第二箱” ，B 1，B 2 分别表示第一、二次取到一等品。（1）依题意有： )(P， 510)|(1，38|1AB由全概率公式52135)(|)(|()11 PPB（2） 4950|2A378)|(1由全概率公式21957349)(|()|()( 212121 APBAPBP 164856.02/195734)()|(1212 BP27设有四张卡片分别标以数字 1，2，34今任取一张设事件 A 为取到 4 或 2，事件 B 为取到 4或 3，事件 C 为取到 4 或 1，试验证P（AB ）P（A）P （B） ， P（BC）P（B）P（C ） ， P（CA）P （C）P（A ，P（ABC）P AP （B）P（C） 。证 样本空间 中有 4 个样本点，而A、B 、 C 中均含有 2 个样本点，故21)()(又 AB、AC 、BC 中均含有 1 个样本点“取到 4”故 )()()(BCPABP 4同理 P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)又 ABC 中有 1 个样本点取到 4 )()(84)( CPBAABCP28假设 21,关于条件 与 都相互独立，求证 PABPBAPBA()()()(12121212证 由 2,关于条件 与 是相互独立的，故有17)()()(),()()( 21212121 ABPABPABP，以及 )()()( 1111，从而 )()()( )() )()()( 212121 2111 21 2122121 ABPABPABPABPABP29如果一危险情况 C 发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关井联以改善可靠性，在 C 发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有 096 的可靠性（即在情况 C 发生时闭合的概率） ，问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为 09999 的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。解 设 n 只开关并联，以 Ai 表示事件“在 C 发生时，第 i 只开关闭合“，则由已知条件诸 Ai 相互独立，且 P(Ai)=0.96，从而知，当 n=2 时，系统的可靠性为 984.0)6.1()()(22121 PPAP又若使系统可靠性至少为 0.9999，则必须180.9999 nnininini APAP)04.(1)(1)(1)(1)( 即 86.204.lg9故至少需用 3 只开关才能使系统的可靠性至少为0.9999。30甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人中的概率分别为 0.4，0.5，0.7飞机被一人击中而被击落的概率为 0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。解 设 321,A分别表示甲、乙、丙击中飞机，),0(iB表示有 i 个人击中飞机，H 表示飞机被击落。则 321,独立，且 3213321321321 210 ,ABAABB于是 09.)7(5.0)4.()0P36.5.63.6.35.4)(1 41.07.07.54.0.0)(2BP1)(319依题意有： 1)(,6.0)(,2.0)(,)( 3210 BHPBHP于是，由全概公式有 458.0.41.36.9.)( 。31在装有 6 个白球，8 个红球和 3 个黑球的口袋中，有放回地从中任取 5 次，每次取出一个。试求恰有 3 次取到非白球的概率。解 由题设知，取一个非白球的概率 p=11/17，于是 375.0)1/6(7/)1/,5;3( 2335Cb。若视 ，则可查表得 4.).0,;3()/,;(b。32电灯泡使用时数在 1000 小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用 1000 小时后最多只有一只坏了的概率。解 设 A 表示事件“一个灯泡可使用 1000 小时以上” ，则 A 的概率为 p=0.2,q=0.8。考察三个灯泡可视为 n=3 的贝努利试验，于是所求概率为104.8)2.0(3).(2303 qpCP。33某地区一年内发生洪水的概率为 0.2，如果每20年发生洪水是相互独立的，试求：（1） 洪水十年一遇的概率；（2）