最新全国高考理科数学试题及详解湖南卷

数学（理工农医类）2011 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 6 页，时量 120 分钟，满分150 分。参考公式：（1） ，其中 为两个事件，且 ，()()PAB, ()0PA（2）柱体体积公式 ，其中 为底面面积， 为高。VShh（3）球的体积公式 ，其中 为求的半径。34R一选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1.若 ， 为虚数单位，且 ，则（ ）,abRi()aibiA B C D 11,1,1,ab答案：D解析：因 ()aiib，根据复数相等的条件可知 ,。2.设 ， ，则“ ”是1,2M2N1a“ ”则（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 答案：A解析：因“ ”，即 ，满足“ ”，反1aNM之“ ”，则 ，或 ，M2=12=a不一定有“ ”。3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B 912918C D 436答案：B解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积 39+2=18V（ ）。332正视图 侧视图俯视图图 14.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计爱好 40 20 60不爱好 20 30 50总计 60 50 110由 算得22()(nadbcK2210(430)7.865K附表： 2()Pk0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是（ ）A在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关 ”0.1%B在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”9D有 以上的把握认为“ 爱好该项运动与性别有关” 答案：C解析：由 27.8635K，而 2(6.35)0.1PK，故由独立性检验的意义可知选C.5.设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为（ ）21(0)9xya2xyaA4 B 3 C2 D1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为 ，故可知 。3yxa26. 由直线 与曲线 所围成的封闭图形的面积为（ ）,03xcosA B1 C D2323答案：D解析：由定积分知识可得 ，故选 D。333cosin|()2Sxd7. 设 ，在约束条件 下，目标函数 的最大值小于 2，则 的取1m1ymxzxmym值范围为（ ）A B C D(1,2)(12,)(1,3)(3,)答案：A解析：画出可行域，可知 在点 取最大值，由 解5zxy(,)m21m得 。12m8.设直线 与函数 的图像分别交于点 ，则当 达到最xt2(),()lnfxgx,MN|小时 的值为（ ）tA1 B C D12522答案：D解析：由题 ， 不妨令 ，则 ，令2|lnMNx(0)x2()lnhx1()2hx解得 ，因 时， ，当 时， ，()0hx2,0,()0所以当 时， 达到最小。即 。2|Nt二填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。一、选做题（请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在直角坐标系 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数）在极坐xoycos,1inxy标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 轴正半轴x为极轴）中，曲线 的方程为 ，则 与 的交点个数为 2cosin01C2。 答案：2解析：曲线 ， ，由圆心到直线的距离221:()1Cxy2:10Cxy，故 与 的交点个数为 2.|0|d1210.设 ,则 的最小值为 。,xyR221()(4)xy答案：9解析：由柯西不等式可知 。2221()(4)(19xy11.如图 2， 是半圆周上的两个三等分点，直径 ，,AE4BC,垂足为 D, 与 相交与点 F，则 的长为 。DBCBADA答案： 3解析：由题可知， ， ,得 , ，60AOBEC2OAB1D3F又 ，所以 .23ADC 3FD二、必做题（1216 题）12、设 是等差数列 的前 项和，且 ，则nS*()naNn14,7a5_S答案：25解析：由 可得 ，所以 。14,71,2nd5(9)213、若执行如图 3 所示的框图，输入 ，123,2xx则输出的数等于 。答案： 2解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则 。222(1)()(3)S14、在边长为 1 的正三角形 中，设 ，ABC2,3BDCAE则 。_ADBE答案： 4解析：由题 ， ，12ADCBCA13EBCA所以 。17()()3264BE 15、如图 4， 是以 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形，将FGHO一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形内” ，B 表示事件“豆子落在扇形 （阴影部分）内” ，则HE（1） ；（2 ）=_PA（ ） =_P（ B|）答案：（1） ；（2 ）14（ ）解析：（1）由几何概型概率计算公式可得 ；2=SA正圆（ ）（2）由条件概率的计算公式可得 。142PB（ ）（ |） （ ）16、对于 ，将 表示为 ，*nN121002 2kkkkknaaa当 时， ，当 时， 为 0 或 1.记 为上述表示中 为 0 的个数，0i1iaii ()Ini（例如 ， ：故 ）则022141,42（1） （2）()_I7()1_In答案：（1）2；（2） 093解析：（1）因 ，故 ；2101+2(1)2I（2）在 2 进制的 位数中，没有 0 的有 1 个，有 1 个 0 的有 个，有 2 个 0()k 1kC的有 个，有 个 0 的有 个，有 个 0 的有 个。故对所有 21kCm1mkCk1进制为 位数的数 ，在所求式中的 的和为：n()2In。01211123kkkk又 恰为 2 进制的最大 7 位数，所以 。7277()011239Ink三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足ABC, ,abc.sincosAa（I）求角 的大小；C（II）求 的最大值，并求取得最大值时角 的大小3i()4,AB解析：（I）由正弦定理得 sinsico.CAC因为 所以0,A0. s0,tan1,4C从 而 又 所 以 则（II）由（I）知 于是34Bsinco()3sinco()3s2().610,46623AAA 从 而 当 即 时取最大值 22sin()6综上所述， 的最大值为 2，此时3sico()4AB5,.312B18. 某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量（件） 0 1 2 3频数 1 5 9 5试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变） ，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率。(）求当天商品不进货的概率；（）记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望。解析：（I）P（“当天商店不进货” ）=P（“当天商品销售量为 0 件” ）+P（“当天商品销售量 1 件” ）= 。53201（II）由题意知， 的可能取值为 2，3.；(2)(“)4Px当 天 商 品 销 售 量 为 件(3)(“)+(“)+(1953+204Px PP当 天 商 品 销 售 量 为 0件 当 天 商 品 销 售 量 为 2件 当 天 商 品 销 售量 为 件故 的分布列为X2 3P144的数学期望为 。31+=E19.（本题满分 12 分）如图 5，在圆锥 中，已知 的直径PO2,OA的中点A2,BCDC是 的 中 点 为（I）证明： ;POA平 面 平 面（II）求二面角 的余弦值解：（I）连接 ，因为 , 为的 中点，所以 .AC又因,.POOACP底 面 底 面 所 以为 内的两条相交直线，所以,D是 平 面 P而 ，所以AC平 面 。 AC平 面。O平 面 平 面（II）在平面 中，过 作 于 ，由（I ）知， ,PDOHPDPODAC平 面 平 面所以 又 所以 .,HAC平 面 ,AC平 面 H在平面 中，过 作 连接 ,则有 ，G于 AG平 面从而 ，所以 是二面角 的平面角PBP在 2,sin45RtODA中在 210, 5+2PODtPH中在 216, 3+POARtAG中在 ,所以 。05,sin63HtH中 10cos5OGH故二面角 的余弦值为 。BPAC10520. 如图 6，长方形物体 E 在雨中沿面 P（面积为 S）的垂直方向作匀速移动，速度为 ，雨速沿 E 移动方向的分速度为 。E 移动时单位时间内(0)v()cR的淋雨量包括两部分：（1）P 或 P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与 S 成正比，比例系数为 ；（2）其它面的淋雨量之和，其值c10为 ，记 为 E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离 d=100，面积 S= 时。2y 32（）写出 的表达式y（）设 0v10,0c 5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度 ，使v总淋雨量 最少。解析：（I）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为 ，31|20vc故 .10315(|)(3|10)2yvcvc（II）由(I)知，当 时，5(310)()cyvv；当 时，10cv55(103)(3)cyvcv.故 。5(3),10,10ycvv(1)当 时， 是关于 的减函数.故当 时， 。3y10vmin320cy(2) 当 时，在 上， 是关于 的减函数；在 上， 是关于105c(0,cy(,1y的增函数；故当 时， 。vvmin5A.(本小题满分 13 分）如图 7，椭圆 的离心率为 ， 轴被曲线22:Cyxb21:(0)xyCab32x截得的线段长等于 的长半轴长。（）求 1， 2的方程；（）设 C与 轴的交点为 M，过坐标原点 O 的y直线 与 2相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与l1相交与 D,E.（i）证明： ；DE(ii)记MAB,MDE 的面积分别是 .问：是否12,S存在直线 ,使得 21S= 37?l请说明理由。解析：（I）由题意知 ，从而 ，又 ，解得 。32cea2aba2,1b故 1C， 2的方程分别为 。21,4xyx（II） （i）由题意知，直线 的斜率存在，设为 ，则直线 的方程为 .lklykx由 得 ，21ykx20kx设 ，则 是上述方程的两个实根，于是 。2(,)(,)ABy12, 1212,xkx又点 的坐标为 ，所以M02 21212112()()1ABykxkxxkkx 故 ，即 。DE（ii）设直线的斜率为 ，则直线的方程为 ，由 解得1k1ykx12ykx或 ，则点的坐标为01xy12 21(,)又直线 的斜率为 ，同理可得点 B 的坐标为 .MB1k21(,)k于是 21 1211| |.2 |SAk由 得 ，1240ykx211(4)80x解得 或 ，则点 的坐标为 ；1xy214kD21184(,)k又直线的斜率为 ，同理可得点 的坐标1kE2112(,)4k于是2123()|1|4kSMDE因此 2112(47)6k由题意知， 解得 或 。211()32214k21又由点 的坐标可知， ，所以,AB121kk3.2k故满足条件的直线 存在，且有两条，其方程分别为 和 。l yxx22.（本小题满分 13 分）已知函数 ( ) = ，g ( )= + 。fx3x（）求函数 h ( )= ( )-g ( )的零点个数，并说明理由；f（）设数列 满足 ， ，证明：存在常*naN10)a1()(nnfag数 M,使得对于任意的 ，都有 .nM解析：（I）由 知， ，而 ，且3()hxx,)()0h，则 为 的一个零点，且 在 内有(1)0,260h(x()x12（ ， ）零点，因此 至少有两个零点()x解法 1： ，记 ，则 。1223hx122()3x32()64x当 时， ，因此 在 上单调递增，则 在 内(0,)x()00,)(0,)至多只有一个零点。又因为 ，则 在 内有零点，所3(1),()x3,1)以 在 内有且只有一个零点。记此零点为 ，则当 时，()x0,)11(0,x；当 时， ；1()0x1(,)x1()0x所以，当 时， 单调递减，而 ，则 在 内无零点；1(,)()h(0)h()hx1,当 时， 单调递增，则 在 内至多只有一个零点；xx1,从而 在 内至多只有一个零点。综上所述， 有且只有两个零点。()0,) ()x解法 2： ，记 ，则 。122()hxx122()x321x当 时， ，因此 在 上单调递增，则 在 内(0,)00,)()0,)至多只有一个零点。因此 在 内也至多只有一个零点，()hx,综上所述， 有且只有两个零点。()hx（II）记 的正零点为 ，即 。030x（1）当 时，由 ，即 .而 ，因此 ，0ax1a13 32100ax20ax由此猜测： 。下面用