2005年高考湖南文科数学试题

2005 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择）题两部分，满分 150 分.考试用时 120 分钟.第卷（选择题）一、选择题：本大题共 10 小，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集 U=2，1，0，1，2，A=2，1，0，B=0，1，2，则（ UA）B=（ ）A0 B 2，1 C1，2 D0 ，1，22tan600的值是 （ ）A B C D 33333函数 f(x) 的定义域是 （ x21）A ，0 B 0， C （，0） D （，）( )4如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，E 是 A1B1的中点，则 E 到平面 AB C1D1 的距离为（ ）A B 232C D 135已知数列 满足 ，则 = （ na)(1,0*11 Nnan 20a）2A0 B C D33236设集合 Ax| 0 ，Bx | x 1| a ，若“a1”是“AB ”的（ 1）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件7设直线的方程是 ，从 1，2，3，4，5 这五个数中每次取两个不同的数作为0ByxA、B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ）A20 B 19 C18 D168已知双曲线 1（a0，b0）的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点2xyA，OAF 的面积为 （O 为原点） ，则两条渐近线的夹角为 （ 2）A30 B 45 C60 D909P 是ABC 所在平面上一点，若 ，则 P 是ABC 的（ APBA）A外心 B内心 C重心 D垂心10某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为 L1=5.06x0.15 x 2和L2=2 x，其中 x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利润为 （ ）A45.606 B 45.6 C45.56 D45.51第卷（非选择题）3二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分（第 15 小题每空 2 分） ，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11设直线 和圆 相交于点 A、B，则弦 AB 的垂直平0132yx 0322xy分线方程是 .12一工厂生产了某种产品 16800 件，它们来自甲、乙、丙 3 条生产线.为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙 3 条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品.13在（1x）（1x ） 2（1x ） 6 的展开式中， x 2 项的系数是 .（用数字作答）14设函数 f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数 f1 (x)，f (4)0，则 f1 (4) .15已知平面 和直线，给出条件： ； ； ； ；, /mm./（i）当满足条件 时，有 ；（ii）当满足条件 时，有/.m（填所选条件的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16 （本小题满分 12 分）已知数列 为等差数列，且)1(log*2Nna.9,31a（）求数列 的通项公式；n（）证明 .112312 naaa17 （本小题满分 12 分）已知在ABC 中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求角 A、B、C的大小.418 （本小题满分 14 分）如图 1，已知 ABCD 是上下底边长分别为 2 和 6，高为 的等腰梯形，将它沿对称3轴 OO1 折成直二面角，如图 2.（）证明：ACBO 1；（）求二面角 OACO 1 的大小.19 （本小题满分 14 分）设 ，点 P（ ，0）是函数 的图象的一个公共点，tt cbxgaxf 23)()(与两函数的图象在点 P 处有相同的切线.图 1 图 25（）用 表示 a，b，c；t（）若函数 在（1，3）上单调递减，求 的取值范围.)(xgfyt20 （本小题满分 14 分）某单位组织 4 个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界 3 个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.（）求 3 个景区都有部门选择的概率；（）求恰有 2 个景区有部门选择的概率.21 （本小题满分 14 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的左右焦点为 F1、F 2，离心率为 e. 直线2xyl：yexa 与 x 轴y 轴分别交于点 A、B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，P 是点F1 关于直线 l 的对称点，设 .6（）证明：1e 2；（）若 ，PF 1F2 的周长为 6；写出椭圆 C 的方程；43（）确定 的值，使得PF 1F2 是等腰三角形.2005 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择）题两部分，满分 150 分.考试用时 120 分钟.第卷（选择题）一、选择题：本大题共 10 小，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设全集 U=2，1，0，1，2，A=2，1，0，B=0，1，2，则（ UA）B=（ ）A0 B 2，1 C1，2 D0 ，1，22tan600的值是 （ ）A B C D 33333函数 f(x) 的定义域是 （ x21）7A ，0 B 0， C （，0） D （，）( )4如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，E 是 A1B1的中点，则 E 到平面 AB C1D1 的距离为（ ）A B 232C D 135已知数列 满足 ，则 = （ na)(1,0*11 Nnan 20a）A0 B C D33236设集合 Ax| 0 ，Bx | x 1| a ，若“a1”是“AB ”的（ 1）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件7设直线的方程是 ，从 1，2，3，4，5 这五个数中每次取两个不同的数作为0ByxA、B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ）A20 B 19 C18 D168已知双曲线 1（a0，b0）的右焦点为 F，右准线与一条渐近线交于点2xyA，OAF 的面积为 （O 为原点） ，则两条渐近线的夹角为 （ 2）8A30 B 45 C60 D909P 是ABC 所在平面上一点，若 ，则 P 是ABC 的（ APBA）A外心 B内心 C重心 D垂心10某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为 L1=5.06x0.15 x 2和L2=2 x，其中 x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的最大利润为 （ ）A45.606 B 45.6 C45.56 D45.51第卷（非选择题）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分（第 15 小题每空 2 分） ，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11设直线 和圆 相交于点 A、B，则弦 AB 的垂直平0132yx 0322xy分线方程是 .12一工厂生产了某种产品 16800 件，它们来自甲、乙、丙 3 条生产线.为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙 3 条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品.13在（1x）（1x ） 2（1x ） 6 的展开式中， x 2 项的系数是 .（用数字作答）14设函数 f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数 f1 (x)，f (4)0，则 f1 (4) .15已知平面 和直线，给出条件： ； ； ； ；, /mm./（i）当满足条件 时，有 ；（ii）当满足条件 时，有/.m（填所选条件的序号）9三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16 （本小题满分 12 分）已知数列 为等差数列，且)1(log*2Nna.9,31a（）求数列 的通项公式；n（）证明 .112312 naaa17 （本小题满分 12 分）已知在ABC 中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求角 A、B、C的大小.18 （本小题满分 14 分）如图 1，已知 ABCD 是上下底边长分别为 2 和 6，高为 的等腰梯形，将它沿对称3轴 OO1 折成直二面角，如图 2.（）证明：ACBO 1；（）求二面角 OACO 1 的大小.1019 （本小题满分 14 分）设 ，点 P（ ，0）是函数 的图象的一个公共点，tt cbxgaxf 23)()(与两函数的图象在点 P 处有相同的切线.（）用 表示 a，b，c；t（）若函数 在（1，3）上单调递减，求 的取值范围.)(xgfyt20 （本小题满分 14 分）某单位组织 4 个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界 3 个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.（）求 3 个景区都有部门选择的概率；（）求恰有 2 个景区有部门选择的概率.图 1 图 21121 （本小题满分 14 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的左右焦点为 F1、F 2，离心率为 e. 直线2xyl：yexa 与 x 轴y 轴分别交于点 A、B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点，P 是点F1 关于直线 l 的对称点，设 .（）证明：1e 2；（）若 ，PF 1F2 的周长为 6；写出椭圆 C 的方程；43（）确定 的值，使得PF 1F2 是等腰三角形.2005 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：15：CDABB 610： ACDDB二、填空题：11 125600 1335 142 15 032yx三、解答题：1216 （I）解：设等差数列 的公差为 d.)1(log2na由 即 d=1.,8log2l9,31 da得所以 即,)()(log2n.1n（II）证明因为 ，nnna211所以 nnaa 2113212312 .2nn17解法一 由 0si)co(siCBA得 .n(insAB所以 .0sincosisi B即 .0)co(i因为 所以 ，从而,0sin.si由 知 从而 .)(A.443CB由 .0)(2cosi2cosin CB得即 in.0亦 即由此得 所以.125,3,21cs,4A.125,3CB解法二：由 )si(cosioinCB得由 、 ，所以0c .或即 .223或13由 得 0sin)co(sinCBA .0)sin(cosinsi BABA所以 .0co即 因为 ，所以.)(i i.i由 从而 ，知 B+2C= 不合要求4),0(A知 43CB23再由 ，得 所以21BC.125, ,4A.125,CB18解法一（I）证明 由题设知 OAOO 1，OBOO 1.所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OAOB. 故可以 O 为原点， OA、OB、OO 1所在直线分别为 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，x如图 3，则相关各点的坐标是 A（3，0，0） ，B（0，3，0） ，C（0，1， ）O1（0，0， ）.从而 .03),3,0(),3( 11 BOACBOA所以 ACBO 1. （II）解：因为 所以 BO1 OC，,C由（I）ACBO 1，所以 BO1平面 OAC， 是平面 OAC 的一个法向量.设 是 0 平面 O1AC 的一个法向量，),(zyxn由 得 . ,3.,031 zzyxCA取 )3,01(n设二面角 OACO1 的大小为 ，由 、 的方向可知 ， ，n1B1BO所以 cos ， =cosnB.43|1即二面角 OACO1 的大小是 .arcos图 3ABOCO1DABOCO1DxyzF E14解法二（I）证明 由题设知 OAOO 1，OBOO 1，所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OAOB. 从而 AO平面 OBCO1，OC 是 AC 在面 OBCO1 内的射影.因为 ，3tan1OB3tan11OC所以OO 1B=60，O 1OC=30，从而 OCBO 1由三垂线定理得 ACBO 1.（II）解 由（I）ACBO 1，OCBO 1，知 BO1平面 AOC.设 OCO 1B=E，过点 E 作 EFAC 于 F，连结 O1F（如图 4） ，则 EF 是 O1F 在平面AOC内的射影，由三垂线定理得 O1FAC.所以O 1FE 是二面角 OACO1 的平面角. 由题设知 OA=3，OO 1= ，O 1C=1，3所以 ，13,221221 CAA从而 ， 又 O1E=OO1sin30= ，311CFO所以 即二面角 OACO1 的大小是.4sin11E .43arcsin19解：（I）因为函数 ， 的图象都过点（ ，0） ，所以 ，)(xfgt0)(tf即 .因为 所以 .03at,t2ta,)(2bcbg所 以即又因为 ， 在点（ ，0）处有相同的切线，所以xf)(gt ).(tgtf而 .23,2,3)(2 btatxa 所 以将 代入上式得 因此 故 ， ，ta.tb.3c2t.3tc（II）解法一 .)(,)(23 xxytxxgfy 当 时，函数 单调递减.03(t )(gf图 415由 ，若 ；若0ytxtt3,则 .3,0txt则由题意，函数 在（1，3）上单调递减，则)(gf.,),()3,1( tt或所以 9.ttt 或即或又当 时，函数 在（1，3）上单调递减.9)(xgfy所以 的取值范围为t ,(解法二： )(32,)( 323 txtxytxtxgfy 因为函数 在（1，3）上单调递减，且 是( )(y（1，3）上的抛物线，所以 即 解得.0|,31xy.0)3(9t .39tt或所以 的取值范围为t ,(20解：某单位的 4 个部门选择 3 个景区可能出现的结果数为 34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（I）3 个景区都有部门选择可能出现的结果数为 （从 4 个部门中任选 2 个作为 1 组，!24C另外 2 个部门各作为 1 组，共 3 组，共有 种分法，每组选择不同的景区，共有63！种选法） ，记“3 个景区都有部门选择”为事件 A1，那么事件 A1 的概率为P（A 1）= .94!2C（II）解法一：分别记“恰有 2 个景区有部门选择”和“ 4 个部门都选择同一个景区”为事件 A2 和 A3，则事件 A3 的概率为 P（A 3）= ，事件 A2 的概率为71P（A 2）=1P（A 1）P（A 3）= .2941解法二：恰有 2 个景区有部门选择可能的结果为 （先从 3 个景区任意选定 2).!(241C16个，共有 种选法，再让 4 个部门来选择这 2 个景区，分两种情况：第一种情况，32C从 4 个部门中任取 1 个作为 1 组，另外 3 个部门作为 1 组，共 2 组，每组选择 2 个不同的景区，共有 种不同选法.第二种情况，从 4 个部门中任选 2 个部门到 1 个景!4区，另外 2 个部门在另 1 个景区，共有 种不同选法）.所以 P（A 2）=24C.73)!(