爬杆作业机器人设计【毕业论文+CAD图纸全套】

买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 摘要 在市政工程中，有大量的安装及维修等工作需要爬杆作业。对于较粗的杆件，人工攀爬和工程车作业都比较方便，但是对于一些直径较细，强度较小的杆件比如路灯杆等，人工攀爬较为困难。因此本文设计了一爬杆机器人， 可以在没有障碍的光杆 上爬行 ，对人工攀爬较难的作业具有较大的现实意义。 本文设计的爬杆机器人 由曲柄滑块机构、并联盘形凸轮机构、移动凸轮机构以及上下机械手爪等组成，通过弹簧的预紧力来实现机器人手爪对杆的抱紧，通过曲柄滑块机构、凸轮机构等实现攀 爬动作，同时机器人只需一个驱动源就能带动整个机器人的运动，能攀爬 变直径 的杆，工作简单可靠，运动灵活，可以广泛应用于各种高空作业。 关键字： 爬杆机器人，变直径杆，夹紧，攀爬 买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 n a of to is is as a so a on no it he of by as to at by a at In it be to of 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 目录 1 绪论 究目的 内外研究现状 究内容 计要求 2 爬杆作业机器人总体方案设计 械方案设计 气控制系统设计 结 1 3 机械系统设 计 速机构设计 柄滑块机构设计 轮机构的设计 械手爪设计 动机选择 电气控制 统论述 流电机单元电路设计与分析 流电机 制系统的实现 结论与展望 考文献 谢 文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 1 绪论 究目的 目前全国 日 益加快的现代化建设步伐随着我国经济的快速增长、人民生活水平日益不断提高，城镇中随之 矗立起无数的高层建筑，各类集实用性 与美观性一体的市政、商业工程诸如电灯杆、路灯杆、大桥斜拉钢索、广告牌立柱等，它们的直径通常在 530米，有的甚至高达百米，壁面多采用油漆、电镀、玻璃铜结构等，由于常年裸露在大气之中，风沙长年累月的积累会因此而形成灰尘层，酸 类物质 污染从而影响城市的美观，同时空气中混合的酸性物质也会对这些城市建筑特别是金属杆件造成损坏，加快它们的生锈过程，并缩短它们的使用寿命，因此需要定期进行壁面维护工作 。 在市政工作中，主要是通过人工工作的因此，存在着很多问题，特别市政工作中的清洗工作 许多都要人工清洗，在一些高空建筑上的清洗如果人工清洗就会造成很大的危险性，而在一些具有化学试剂或者有毒物质的工作环境中，就会对人产生很大的危险性，这无形中增大了市政工作的成本，而且有可能对坏境造成二次污染，对周边环境造成影响，而如果使用高压水枪，其成本更加高，而其使用范围也不宽，只局限于一些高空无遮挡的物体，同时水枪必须安置在空旷的位置否则会影响 周边的日常生活。 另外，对于较粗的杆件，人工攀爬和工程车作业都比较方便， 但是对于一些直径较细 ， 强度较小的杆件比如路灯杆等，人工攀爬较为困难。应用带升降机的工程车进行 作业，作业成本较高，而且对于狭窄的胡同，工程车难以进入，造成作业困难，因此 本课题拟设计一爬杆机器人， 可以在没有障碍的光杆 上 爬行。 对人工攀爬较难的作业具有较大的实际意义。 内外研究现状 从功能上讲， 爬杆 机器人无非包含基本的行走功能和辅助的作业功能 (例：喷涂、检测、缠绕和修复等 )，纵观这些国内外管道外机器人的行走工作原理，不外乎以下几种：基于自锁或静摩擦原理的气动蠕动式机构；基于滚动摩擦原理的螺旋爬升机构；基于克服动摩擦直线行走的机构；基于移动副和转动副的关节式爬行机构；基于并联机构的并联式爬行 机构。下面将介绍几种典型的爬杆机器人 。 12买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 图 1杆 机器人 图 1杆 机器人 (1)螺旋式 爬杆 机器人 如图 1机器人抱紧在管壁上，通过驱动导轮实现在管壁上的运动，其抱紧力即预紧力是通过用专用螺母扳手调节螺母，从而实现调节抱紧弹簧的压力，使机器人获得足够的抱紧力，如果机器人的工作坏境发生 了 变化，可以根据不同的管径，选择支撑架上不同的连接孔，从而可以得到要求的抱紧力 。 该机器人的载荷量比较大，运行也较为平稳，同时可以适合不同的管径，但他的不足之处就在于，只能够运行在连续性的管 道上，而对于非连续性的管道，该机器人就无法工作。 (2)自动喷涂 爬杆 机器人 工作时，先必须调节机器人的下体 位置，把机器人全部放在要进行工作的管道上，当完成了机器人的连接固定后启动机器人行走机构，机器人在管道上开始行走，同时配合喷枪的往复运动，实现对管道的自动化喷涂 。 34买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 该机器人的特点：结构较为简单，而且可靠性较高，能够代替人工操作，这样可以实现对管道的自动化喷涂，但由于其结构的局限性，并适合变直径的管道。 究内容 经过仔细研究分析后认为，人在爬杆或爬树的过程中，人的运动具有很好的参考价值 ，如图 1在爬升的过程中，一般是先两脚夹紧，然后身体上移， 再 收腿，整体上移，往复动作，从而爬升的过程 。 图 1本文设计的爬杆机器人就是仿照人爬树的原理，其结构组成包括夹持机构，由上下机械手爪组成，实现对杆的抱紧，通过上、下机械手爪的交替夹紧来实现爬杆机器人的支点定位和蠕动；移动机构，由连杆机构，凸轮机构，实现攀爬动作；驱动机构，整个机器人采用一个电机驱动，既减轻了重量，又满足了运动要求。结构示意图如图1示。 5买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 图 1爬杆机器人结构示意图 计要求 该机器人攀爬 直径为 100140直径杆 ， 载重 5机器人在全负载情况下应该能够保持 100mm/s 的运行速度 ， 且 直立爬行机器人的传动系统应该具有自锁机构以克服重力的影响 。 买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 2 爬杆作业机器人总体方案设计 械方案设计 本文设计的爬杆机器人攀爬的是 100140 变直径杆，本文设计的机器人仿照人爬树的原理，其结构组成包括夹持机构，由上下机械手爪组成，实现对杆的抱紧，通过上、下机械手爪的交替夹紧来实现爬杆机器人的支点定位和蠕动；移动机构，由连杆机构，凸轮机构，实现攀爬动作；驱动机构，整个机器人采用一个电 机驱动，既减轻了重量，又满足了运动要求。结构示意图如 图 2示 。 整个机体长约 250约 150约 400重不超过 5括电机重 3， 爬行部分主体结构为 2根长为 400铝合金 钢 管（可以用硬塑料管 或者其他轻型材料 代替） ， 作为机架和机器人上部滑动的 导轨 ，同时作为旋转部分的轴，结构紧凑、零件 的功能得到了扩展。在导轨和固定支架， 分别设置有上、下机械手连接臂，两对机械臂以 导轨 为转动轴，其上装有上、下机械手 爪 。在上、下机械臂的另一端分别设置有弹簧，弹簧的作用是使机械手产生足够的摩擦力抱紧立 柱。 在导轨的下部安装电动机，在减速机构的输出轴上安装有并联盘形凸轮和曲柄，曲柄通过连杆与移动凸轮相连，通过曲柄连杆机构带动 机器人上部和 移动凸轮机构运动，来实现机构的上升和相对运动。 凸轮联动机构由两套凸轮摆杆机构构成，其中一套由上机械臂和移动凸轮构成另一套由下机械臂和并联盘形凸轮构成，它们分别装在导轨的上、下部。通过曲柄、连杆将并联盘形凸轮、移动凸轮连接起来，使整个机构形成一个整体，上部的摆杆机构在曲柄连杆机构的作用下可以沿导杆上下移动。在电机的驱动下，上、下部机械臂摆动并带动机械手依次实现夹紧和放松的联 动。 买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 图 2机器人的 运动 原理可分为以下几个部分： 1) 在初始状态 1 时， 机器人 下机械手夹紧， 同时 上机械手松开； 2) 电机回转，驱 带 动曲柄及和曲柄固接在一起的下并联盘形凸轮顺时钟转动，并推动下机械臂摆动，当下并 联盘形凸轮转过升程角时，下机械手松开；与此同时上移动凸轮向下走 过空行程， 在此过程 上机械手抓紧，即状态 2.； 3) 电机继续回转，此时 机器人 上机械手夹紧，下机械手 开始松开，机器人下部被运动 到极限位置，即状态 3.； 4) 电机继续回转，当下并联盘形凸轮转过回程角时，下机械手夹紧；与此同时上移动凸轮向上 走 过空行程， 在此过程 上机械手 开始 松开，即状态 4.； 5) 电机继续回转，因为下机械手夹紧，上机械手松开，所以机器人上部在电机的提升推力下向上移动，当曲柄和连杆拉直共线时，机器人上部提升到极限位置，即状态 5； 从图中可以看出机器人每运行一周上升一次。 买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 图 2气控制系统设计 考虑到机器人的驱动部分只有一个电机，而机器人的在运动过程中只有加速，减速，停止，启动几个状态，因此只需对电动机进行控制即可。 控制部分拟采用直流电机 制方案，在设计中采用 片机作为整个控制系统 的核心，单片机在程序控制下不断给光电隔离电路发送 形 在设计中，采用 速方式，通过改变 占空比来改变电动机的电枢电压，进而实现对电动机的调速 。 直流电机 制 系统的主要功能包括 ：直流电机的加速 、 减速和电机的正转和反转，并且同时可以调整电机的转速，还可以方便的读出电机转速的大小，能够很方便的实现电机的智能控制。同时，还包括直流电机的直接清零、启动（置数）、暂停、连续功能。 该 直流电机 系统由以下电路模块组成： 振荡器和时钟电路：这部分电路主要由 80片机和一些电容、晶振组成。设计输入部分 ：这一模块主要是利用 带中断的独立式键盘 来实现。 设计 控制 部分：主要由 80片机的外部中断扩展电路组成。设计显示部分 ： 包括液晶显示部分和 码显示部分 。 液晶显示部分由 1602块 组成 ; 码显示部分由七段数码显示管组成。直流电机 制实现部分：主要由一些二极管、电机和 流电机驱动模块组成。 6买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 图 2结 该机器人在 电机的驱动下能够实现上升和下降以及停止，同时也能够在运转过程中实现机器人的加速和减速的控制，机器人的整体结构主要通过曲柄滑块机构来 实现联动，上下机械手通过曲柄滑块机构的联动来控制上下机械手的加紧和松开， 同时直流电机通过单片机的控制 转速，单片机与电机通过电机的驱动芯片连接，单片机控制驱动芯片输出的电枢电压来控制电机的转速。 买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 3 机械系统设计 速机构设计 根据已有条件确定传动方案为圆锥 圆柱齿轮减速，原有条件为 为保证机器人的移动速度 100mm/s， 减速箱输出转速为 50r/机的额定转速为 710r/因此减速箱的总传动比为 15， 其运动简图如下图所示： 图 3由图可知，原动件为电动机，传动装置为减速器， 减速器为展开式圆锥 圆柱齿轮的二级传动 动装置的运动和动力参数计算 (1)电机的类型和结构 根据选好的电动机可知：该电机使用电压为 12，其具体尺寸如第一部分所 示 (2)确定传动装置的总传动比和分配传动比 总传动比为 15，按直齿轮圆柱齿轮传动比锥i=， 则柱i=315=5 (3)计算传动装置的运动和动力参数 a 各 根 轴的转速 1n =710r/ 2n = 3710 = 3n= b 各轴的输入输出转矩： 买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 1119550m 传动效率为 1 1119550n m 传动效率为 229550n P 入= 传动效率为 229550n m 传动效率为 339550n m 传动效率为 339550n m 传动效率为 传动零件的设计计算 圆锥齿轮传动的设计计算 10r/齿轮的的转速为 动比为 3，选定齿轮类型，精度等级，材料及齿数 (1)按传动方案，选用直齿圆锥齿轮传动， 齿形角 ，齿顶高系数 =1，顶隙系数 =旋角 =0，不变 位。 (2)本机器人为一般工作机器，速度不高，故选用 8级精度。 (3)材料选择， 考虑到齿轮的重量 齿轮 轮芯 材料 选用 聚 苯醚 （又称 该材料 具有较高机械性能，尺寸稳定性好，高温下耐蠕变性是所有工程材料中最优异的 ，此外，聚苯醚还具有耐磨，无毒，耐污染等优点。 轮缘采用 45钢，小齿轮材料为 40质），硬度为 280者材料硬度差为 404)选小齿轮齿数 =17，大锥齿轮齿 数 =51 公式： 2 13122 . 9 2 (1 0 . 5 ) R （ 3 确定公式内的各计算值 (1)试选载荷系数 = (2)计算小齿轮传递的转矩。 =m1T*c*纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 (3)由表 10 =1。 (4)由表 10 = 。 (5)由图 10 =600齿轮 的接触疲劳强度极限 =550 (6)由式 10 1N =60 )153 0 082(609 6 0 =10 992 102 9 01 4 N (7)由图 10 = (8)计算接触疲劳许用应力。 取失效概率为 1%，安全系数 S 1，由 机械设计书 （ 10得 ： M P 4 06 0 1l i （ 3 M P 2l i （ 3 (9)试选 得 1， 以， =10) (11)计算小齿轮 的分度圆，代入 中的较小值得 ： 21 12)计算圆周速度 V 100060 11 t s （ 3 (13)计算载荷系数 根据 =s， 8级精度，可查 得动载荷系数 = 所以 =14)按实际的载荷系数校正所得的分度圆直径： 3311 （ 3 (15)模数 3 212 31R vav K K H买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 公式： 3 221211) （ 3 (1)确定公式内的各计算值 查得 小齿轮的弯曲疲劳强度极限 =500齿轮弯曲疲劳强度 =380 (2)查得弯曲疲劳寿命系数 ， (3)计算弯曲疲劳许用应力 取弯曲疲劳安全系数 S=， M P 111 （ 3 222 （ 3 (4)载荷系数 K=5)节圆锥角 01 rc ta n u （ 3 0102 5 6 (6)当量齿数 7c 11 Z（ 3 0222 56 1c （ 3 (7)查取齿形系数： ， ； (8)查取应力校正系数 ， (9)计算大小齿轮的 并加以比较。 111 （ 3 2纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 222 Y= （ 3 大齿轮的数值大。 (10)设计计算 3 2201 133 合分析考虑，取 m= =(11)几何尺寸计算 计算大端分度圆直径 =计算节锥顶距 R= 12 21 （ 3 大端齿顶圆直径 （ 3 （ 3 齿宽 ： b= 轮 传动 参数设计 已知小齿轮的转速为 齿轮的转速 动比 i=5, 度等级，材 料及齿数 (1)齿轮材料为 40质），硬度为 280齿轮轮缘材料为 45 钢（调质）， 轮芯材料选用聚 苯醚 ，轮缘 硬度为 240者 材料硬度相差 40 (2) =17，则 =5*17=85 公式： 3 2 (3确定公式内的各计算值 ： 1711 11 RR421 1Z 2Z 0111 o o a 0122 5 6 o o 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 (1)试选载荷系数 (2)计算小齿轮传递的转矩 (3)选取齿宽系数 (4)查得材料弹性影响系数 。 (5)按齿面的硬度查得小齿轮的接触疲劳强度极限 ，大齿轮的接触 疲劳极限 。 (6)计算应力循环次数 小齿轮： 81 6 0 6 0 4 7 3 . 3 3 1 ( 2 8 3 0 0 7 ) 9 . 5 4 2 1 0hN n j L (3大齿轮： 8 812 9 . 5 4 2 1 0 2 . 2 8 3 1 04 . 1 8NN u (3(7)查得接触批量寿命系数 (8)计算接触疲劳许用应力 1 l i m 11 0 . 9 7 6 0 0 5 8 2H L M P a M P (3 2 l i m 22 0 . 9 9 5 5 0 5 4 4 . 5H L M P a M P (3C 计算 (1)试算小齿轮的分度圆直径， 代 入 H 中的较小值得 3 2=3 22)计算圆周 速度 v 1 0 0 060 0 060 11 t=s (3(3)计算齿宽 b=4)计算齿宽与齿高比 b/h 模数： 1d 001502纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 (3齿高： 2 . 2 5 2 . 2 5 1 . 8 6 4 4 . 1 9 4th m m m m m (3(5)计算载荷系数 根据 v=s， 8 级精度， 可 查得 动载荷系数， =查得 查得使用 系数 = b/h= 查得 所以 。 =6) 按实际的载荷系数校正所得的分度圆直径： 3311 (3(7) 计算模数 按齿根弯曲疲劳强度设计 公式： m 31212 F a (3确定公式内的各计算值 (1)查得小齿轮的弯曲疲劳强度极限 ， 大齿轮的弯曲疲劳强度 ： (2)查得弯曲疲劳寿命系数 (3)计算弯曲疲劳许用应力 取弯曲疲劳安全系数 S=， 111 0 . 9 5 0 0 3 2 1 . 41 . 4F N F M P a M P (3 K122 1 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 222 0 . 9 3 3 8 0 2 5 2 . 41 . 4F N F M P a M P (3(4)计算载荷系数 K 1 1 . 1 1 1 . 2 1 . 4 1 . 8 6 5A v F K K K =5)查取齿形系数 (6)查取应力校正系数 (7)计算大、小齿轮的 并加以比较。 111 2 . 6 5 1 . 5 8 0 . 0 1 3 63 0 7 . 1 4F a S ， 222 2 . 1 1 5 1 . 8 6 0 . 0 1 6 1 92 4 4 . 2 9F a S 大齿轮的数值大。 (8)设计计算 3 m=合分析考虑，取 m= =19，得 = =95 E 几何尺寸计算 (1)分度圆直径 =762)中心距 a a=3)齿宽 = =16 =20 验算 =5 齿轮类型：直齿圆锥齿轮（ ,齿形角 ， 顶高系数，顶隙系数 ，螺旋角 ，不变位 ） 。 精度 8 级，小齿轮材 40质），大齿轮轮缘材料为 45 钢（调质），硬度分别为280 240 大端分度圆直径：小齿轮 ，大齿轮 节 圆 锥顶距： R=圆锥角： ， 大端齿顶圆直径： ， 齿宽： 14数： ， 51 模数 m=圆柱齿轮 齿轮类型 ：直齿圆柱齿轮 精度 8 级，小齿轮材 40质），大齿轮 轮缘 材料 为 45 钢 （调质），硬度分别为280 240 分度圆直径： =76心距： a=齿宽： 20 16齿数： 19， 95 模数： m=柄滑块机构设计 电机带动曲柄转动，曲柄连杆机构又把运动传递到上机械臂，同时下机械臂 也要做相应的动作来配合上机械臂的运动。 因此 曲柄连杆机构作为连接机器人上下机械臂的关键，它所做的运动仅仅是只是曲柄 回转、连杆的摆动， 在传统的曲柄滑块机构设计中，一般取 r+e r+e 时为摇杆滑块机构。 当 r小 l 大的机构传力特性 比较 好。 其中 曲柄长度 连杆长度 偏心距 本例中无偏心距， =0.，又机器人 的 机构之间不能有干涉 作用 ，滑块在运动过程中不能触及电 动 机的顶端， 由电机的尺寸图可知， 它的前提是： 75+85=160 （ 3 00m 01 01 a a 21 z 1z1d 2d1b 2b1z 2zl 0110 20 1*纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 在设计时考虑的一个重要因素就是结构的紧凑 性 。在这里预选曲柄长为 =60杆长 =220上滑块的 尺寸补偿，这样可以，满足上式的要求 图 3假设曲柄的转速为 r/转一圈的时间为 ： 60（ 3 当曲柄转一圈时机器人上升 2r 即为 120 则机器人的移动速度： v=2 mm/s 又由要求可知机器人在全负载 情况下能够保持 100mm/s 的运行速度所以 应该保持在 50r/右。 柄滑块机构对机器人的力学 和运动 模型进行分析 (1)能量和高应力状态下工作要求， 因此 需求结构的速度，以及 力学性能分析，而曲柄滑块机构的主要受往复机械惯性力影响 ， 曲柄滑块机构的惯性力包括三部分：曲柄旋转运动产生的离心惯性力；滑块往复运动产生的往复惯性力以及连杆平面运动产生的惯性力。因此本设计中采用双导杆结构 (2)构模型运动的振动 和平稳 进行评估（机构各部分的速度分析） 买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 图 3如 上 图所示，取 O 点为坐标原点， P 在 X 轴上的坐标为 x，用 x 表示滑块的位移，利用三角关系有一下式子： 2 2 2 2 c o sl r x r x （ 3 从而有以下式子： 222s i nc o s 1 rx r （ 3 代入数据 ： 26 0 c o s 2 2 0 1 0 . 0 7 4 s i （ 3 图 3使用 件可得到该函数 的模拟 图象 又： ， 故滑块的 速度 为 22c o ss i n 1 s i nd x d x t （ 3 t买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 进而可以得到滑块的加速度： 2 2 4232 2 2 2( c o s 2 s i n ) c o s( s i n )d v d v r l t d （ 3 同时又由正玄定理： s in s ； （ 3 又 摆角的表达式 可表示为 ： a r c s i n ( s i n ) （ 3 对式 6 两次求导： c o s c o s c o r rd t d t （ 3 c o sc o l （ 3 222s i n c o s s i nc o t l （ 3 利用 已知 可以得出关于 的关系式： 2 2 2c o ss i （ 3 2 2 2 22 2 2 2 3 / 2s i n ( )( s i n )d r l rd t l r （ 3 图 3买文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 至此， 我们得到了滑块位移 x 有关 的表达式 和连杆摆角 运动规律中有关变量 的表达式。 虽然我们得到了有关变量的解析式，但 对于 问题的解 并没有达到要求 ， 因 33较复杂，不易求解， 于是可 使用近似方法求解。 将位移的表达式 4写为： 2 2 1 / 22c o s ( 1 s i n )rx r l l （ 3 一般而言， ，于是利用 麦克劳林公式 ： (1 ) 1 . . . . . 1 （ 3 可将滑块位移的模型 3似为： 2 21 2c o s ( 1 s i n )2rx r l l （ 3 从而滑块的速度和加速度可近似为如下 ： 111 ( s i n s i n 2 )2d x d x t d d t l （ 3 211 ( c o s c o s 2 )dv t l （ 3 摆角 可以利用麦克劳林公式 ： 2a r c s i n . . ， 1 （ 3 得到摆角的近似模型 ： （ 3 得到 近似角速度 ： c o l （ 3 近似角加速度 ： 2 212 s i nd rd t l （ 3 1/ 22 文档就送您 纸全套， Q 号交流 401339828 或 11970985 图 3从图中可以看出，在一个周期内，滑块 的移动速度 和连杆摆角的 角 速度曲线和加速度曲线 都比较 平滑、无拐点， 没有 出现 不连续的点 ， 整个机构模拟运动平稳，无抖动 块连杆连接铰点 的 受力分析 电机在旋转过程中，连杆对上连 接件的力可分解为水平分力和垂直分力，垂直分力就是电机的提升力，水平分力对 整个 机构 来说 是有害的。 电机旋转过程中， 摇杆在铅垂方向的力即 电机的提升力为： )s c o s)90c o s ( 01 （ 3 在上式中，曲柄转角 为自变量，摆角的相似模型 ，由此