最优订货方案的确定

最优订货方案的确定摘要本文着力研究大中型超市的最优订货方案。对于大中型超市，根据其所售商品的销售形势及超市条件适当地选择每种商品的订货数量及批次是降低超市成本从而增加收益的重要方面。本文研究了大中超市在不考虑运输费用，和有考虑运输方式以及商品供应时间这两种情况下的最优订货方案。对于问题一，由于不考虑运输的费用（即当库存量为 0 时，商品可以立即得到补充） ，我们运用初等数学建立存贮模型，即总成本和库存量的函数关系为。根据总成本和库存量的函数关系，我们可以易得出21()/(/)CQkNQC该商品的最优订购量表达式为 和最优订购次数的表达式为12NkC。21knC对于问题二，我们根据给定超市所提供的数据代入问题一所得出的最优订购量和最优订购次数通用公式，可以轻松得到 30 种商品各自的最优订购量和最优订购次数。对于问题三，我们可以算出每种商品订货周期内的需求量，然后算出贮存费的大小，并求出商品的成本费和订购费。以全年商品的订货总费用为目标函数，以每种卡车的载重量不超过 4 吨、每种商品的订购周期内的需求量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立优化模型。因为该模型求解难度较大，难以得出所需费用，因此简化模型。根据商品的总重量和卡车载重限制求解出运输所需的卡车数。最后求出每种订货方式所需要的运输费用，分别是 6083613.275 元、6073574.5 元，发现每个月订货一次的方式更优。两者贮存费和订购费之差就是超市成本增加的数额，为 7538.38 元。对于问题四，由于考虑运输的费用与限制，供应点可以随时订货，我们根据问题一计算年贮存费的公式算出两种方式下贮存费的大小，再求出商品的年订货总费用，然后以年订货总费用为最小值建立最优化模型。对于问题五，实际情况下，商品每年的需求量不是均匀分布，每次的进货量和最小库存量可能都不同。分别算出每年所有商品的年贮存费、成本费、运输费、订购费，以年订货总费用为最小值建立最优化模型，以每辆卡车的载重量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立数学模型求解。关键词：存贮模型 优化模型 整数规划 最优订货一、问题重述对于大中型超市，根据其所售商品的销售形势及超市条件适当地选择每种商品的订货数量及批次是降低超市成本从而增加收益的重要方面。商品的库存量要时时满足超市对商品的需求量。当库存量降到一定水平时，超市必须再一次订货，否则当库存量小于顾客对商品的需求量时再订货，有可能造成商品断货，也给超市造成损失。同时库存在超市的商品，需要一定的库存成本。超市每次对某件商品的订货量一方面不能太大，否则库存成本将增加；另一方面每次订货的数量也不能太小，否则由于每次订货将花费一定的订货费用，随着订货次数增加，订货的花费将增加。因此要根据某件商品的需求，选择每次订货时最好的订货数量，从而降低订货次数和订货成本。对于一些大中型超市，其所售商品的品种规模很大，由于每件产品的需求量，库存成本，订货成本，重量等有可能都不一样，因此不同品种商品的订货数量和时间也不一样。而且由于订货后，需要将商品运到超市，考虑到运输成本，需要结合不同商品的订货量、重量、订货时间等，使得车辆尽可能满载。本文在现有的一家超市的基础上，根据其给定的 30 种商品的需求量、库存成本、订货成本、重量等信息，需解决下列问题：1、考虑任一件商品，不考虑运输的费用，建立数学模型说明使得该商品全年订货总费用最小的最优订货量是存在的，并且求出这个订货量。2、对该超市给出的 30 中商品，不考虑运输的费用及载重限制，利用问题1 的结论分别求出每种商品的订货量和订货次数。3、在实际中，供应点实际上允许每个超市每两周（15 天）或者每个月（30天）订货一次。那么对这 30 种商品超市要选择哪种订货方式好？计算出这种订货方式与问题 2 的最优订货量情况下超市成本增加的数额。4、现在考虑运输的费用与限制，供应点可以随时订货。给出这 30 种商品的最优订购方案。5、对于更一般的情形，完善数学模型。二、问题分析问题一：由于不考虑运输的费用，可以理解为当存贮量降至 0 时，商品可以立即得到补充。而且所考虑的商品的需求是连续的、均匀分布于全年的，而且商品的库存费用都与该商品的价格成正比，每件商品的价格在全年保持不变，每次的订货费用也相等。因此，可以认为库存量与时间所构成的函数是一个周期函数，而且在一个周期中，库存量和时间成线性关系，如图 2.1.1 所示：库存量Q 234时间 t图 2.1.1 在均匀需求下存贮模型在一个周期 中，库存量和时间的函数关系为 ，则()(0)VtQt一个周期内的平均存贮量为 。从而，可以得出总费用与库存量的函数关系。/2Q根据其函数关系，易得最优订货量和最优订货次数。 问题二：由问题一的结论，可以得出最优订货量为 ，最优订货次数12NCQk为 。通过 Excel，将 30 种商品数据依次代入最优订货量21NkCn和最优订货次数 的公式中，进行数据处理。2Qk21NkCn问题三：因为在实际情况下，供应点只允许每个超市每两周（15 天）或者每个月（30 天）订货一次。我们先可以确定一种订货方式，根据每种商品的年需求量算出每种商品每次订货周期内的需求量，发现很多商品的件数不是整数，所以我们将商品的件数取整。我们根据问题一计算贮存费的公式算出两种方式下贮存费的大小，再求出商品的成本费和订购费。我们假设每次订货周期内一共需要 m 辆卡车，设 为第 i 种商品装在第 j 辆卡车上的件数，设 为第 i 种商品ijx iy的重量，设 为第 i 种商品在订货周期内的需求量（i:130） 。以全年商品的订iz货总费用为目标函数，以每种卡车的载重量不超过 4 吨、每种商品的订购周期内的需求量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立模型，考虑到该模型计算繁琐，求解难度较大，难以得出所需费用，因此简化模型求解。首先根据 建立数学模型，若 ，则需301iiiPyzt301%4iz要卡车数为 辆，若 ，则需要卡车数为301/4iz301%4i辆。最后求出每种订货方式所需要的运输费用，比较两种订货301(/)iz方式的优劣，再计算出这种订货方式与问题 2 的最优订货量情况下超市成本增加的数额。问题四：现在考虑运输的费用与限制，供应点可以随时订货。我们根据问题一计算年贮存费的公式 算出两种方式下贮存费的大小，再求出商品的年成本2/kCQ费和订购费。贮存费、订购费和年成本费。以年订货总费用为最小值建立最优化模型，以每种卡车的载重量、每种商品的订购周期内的需求量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件建立模型。问题五：设一年共进货 n 次，每次每种商品的进货量为 ，每次每种商品的最小库存量ija为 ，每次进货时所需要的卡车数为 辆。根据题意可知，库存量降为 0 时再ijs im订货，有可能造成商品断货，也给超市造成损失，即 ；实际情况下，所0ijs有商品的需求不是均匀分布于全年的，所以每次的进货量和最小库存量可能都不同，并且全年的进货量和库存量总和大于或等于全年的需求量，即。库存在超市的商品，需要一定的库存成本，所有商3030111nnijijiiasN品的年贮存费为 。每年所有商品的成本费为 ，每年3021(/)njijjkCx 3021njijiCa所有商品的运输费为 ，每年所有商品的订购费为 。以年订货总10niim 301iin费用为最小值建立最优化模型，年总订货费用为。再以每辆卡车的载3030 3022 1111min(/)0nnnjij jiiij ji iifkCxCamC重量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立数学模型。三、模型假设1、考虑的所有商品的需求是均匀分布于全年的2、商品的库存费用都与该商品的价格成正比3、每件商品的价格在全年保持不变4、每次的订货费用也相等。四、符号说明每次订货量Q每次订货费用1C每件产品的价格2产品的最小库存量S该产品的年总需求量N年进货次数n库存费用与价格比例。kf 商品的订货总费用第 i 种商品装在第 j 辆卡车上的件数(i:130，j:1m ）ijx第 i 种商品的重量（单位：kg)（i:130）iy第 i 种商品在订货周期内的需求量（i:130）izi=1 表示每两周（15 天）订货一次，i=2 表示每个月（30 天）订货一次it第 i 种商品的年需求量（i:130）iP第 i 种商品的年需求量（i:130）iN第 i 种商品的价格（ i:130）2iC五、模型的建立及求解5.1 问题一：存贮模型的建立由于所考虑的商品的需求是连续的、均匀分布于全年的，而且商品的库存费用都与该商品的价格成正比，每件商品的价格在全年保持不变，每次的订货费用也相等，则库存量随时间的变化情况如图 5.1.1 所示：订货量 （常数）Q最小库存量 S图 5.1.1 均匀需求下的库存量变化情况 （纵轴为某商品库存量，横轴为时间）设定 Q 表示每次的进货量， 表示每次订货费用， 表示每件产品的价格，1C2Cs 表示该产品的最小库存量，N 表示该产品的年总需求量，n 表示年进货次数，k 表示库存费用与价格比例。由于假定商品的需求是连续的、均匀的，并且不考虑运输的费用，当存贮降至 0 时，可以立即得到补充，这个存贮模型的变化情况如下图 5.1.2 所示：（ 表示订货的周期时间）库存量Q 234时间 t图 5.1.1 在均匀需求下存贮模型以一年时间计，每隔 进货一次，每次订货量为 Q，共进 n 次，则有 ，1，从而得： 。nQN/,/nNQ在一个周期 内，t 时刻的贮存量 V（t)应满足：()(0)Vtkb0,)Q解之， ()tt由图形直观的理解，V（t)下方的面积就是第一个周期的存贮量。库存量Q 234()Vt图 5.1.3即 ，从而得到一个周期内的平均存贮量为 ，我们把一年分成/2oQS /2Qn 个周期，并且每个周期内的平均存贮变化都是一样的，这样年内的平均存贮量都是 。从而知，一年的存储费用为 ；一年的订购费为：/ 2/kC;N 件产品的进货费用相同，所以若要使得该商品全年订货总费11()C用最小，只需考虑年订购费和年存储费用；因此该商品全年订货总费用为：；这就是存贮模型。21()/(/)QkQC当 Q 等于多少时，C(Q)达到最小呢？随每次订货量 Q 的增加，年订购费减少，但是贮存费用增加；每次订货量 Q 的减少，年订购费增加，但是保管费减少。从下面的直观图形（图 5.1.4）可以看出，要想使总贮存费用达到最小，必须使订购费和贮存费用相等。图 5.1.4 总费用与库存量的关系令 ,即 ，则该商品全年订货总费用最小12(/)/NQCk12NCQk值为 ，此时最优订货量为 ，最有订货次数为12() 12k。21NkCn5.2 问题二由以上的存贮模型得出， ，当一年的存储费用（ ）=一年的订购费（2/kCQ）时，该商品全年订货总费用最小值为 ，最11(/)nCNQ 12()NkC优订货量为 ，最优订货次数为 。2Ck21kn将 30 件商品相应的数据代入公式中，得出每种商品的订货量和订货次数。结果如表所示：表 5.2.1 最优订货量 、最优进货次数Qn商品序号每年需求量N（件）每次订货费用C1(元/次）价格C2（元/件）库存费用与价格比例k(%)最优订货量 Q最优进货次数1 10000 5 2 18% 528 192 600 10 15 20% 64 103 800 17 25 12% 96 94 950 20 67 30% 44 225 15000 50 10 10% 1225 136 2000 35 35 15% 164 137 8000 24 40 12% 283 298 500 98 510 25% 28 199 8500 60 25 12% 584 1510 5700 100 35 10% 571 1011 2600 46 41 21% 167 1612 6520 45 59 16% 250 2713 3600 10 68 16% 82 4514 800 32 71 20% 61 1415 900 41 46 36% 67 1416 2000 52 100 9% 153 1417 3000 60 40 23% 198 1618 6200 30 50 12% 249 2519 1600 26 64 13% 100 1620 3200 38 40 16% 195 1721 4600 29 56 15% 179 2622 3000 28 46 16% 152 2023 2100 36 38 13% 175 1324 800 30 26 12% 125 725 500 20 45 14% 57 926 400 92 150 18% 53 827 6700 10 20 19% 188 3628 16000 8 26 12% 287 5629 9800 45 40 20% 333 3030 10200 30 70 5% 419 255.3 问题三：最优化模型的建立因为在实际情况下，供应点只允许每个超市每两周（15 天）或者每个月（30 天）订货一次。我们根据问题一计算年贮存费的公式 算出两种方2/kCQ式下贮存费的大小，再求出商品的年成本费和订购费。然后根据每种商品的年需求量算出每种商品的每次的订货量，发现很多商品的件数不是整数，所以我们将商品的件数取整。表 5.3.1：每月订货一次时，各商品的每月进货量、订购费和成本费商品序号每月进货量（件）贮存费（元） 订购费（元）年成本费（元）1 834 150.12 60 200002 50 75 120 90003 67 100.5 204 200004 80 804 240 636505 1250 625 600 1500006 167 438.375 420 700007 667 1600.8 288 3200008 42 2677.5 1176 2550009 709 1063.5 720 21250010 475 831.25 1200 19950011 217 934.185 552 10660012 544 2567.68 540 38468013 300 1632 120 24480014 67 475.7 384 5680015 75 621 492 4140016 167 751.5 624 20000017 250 1150 720 12000018 517 1551 360 31000019 134 557.44 312 10240020 267 854.4 456 12800021 384 1612.8 348 255760022 250 920 336 13800023 175 432.25 432 7980024 67 104.52 360 2080025 42 132.3 240 2250026 34 459 1104 6000027 559 1062.1 120 13400028 1334 2081.04 96 41600029 817 3268 540 39200030 850 1487.5 360 714000表 5.3.2：每 15 天订货一次时，各商品的每月进货量、订购费和成本费商品序号每15天的进货量（件）贮存费（元） 订购费（元）年成本费（元）1 417 75.06 120 200002 25 37.5 240 90003 34 51 408 200004 40 402 480 636505 625 312.5 1200 1500006 84 220.5 840 700007 334 801.6 576 3200008 21 1338.75 2352 2550009 355 532.5 1440 21250010 238 416.5 2400 19950011 109 469.245 1104 10660012 272 1283.84 1080 38468013 150 816 240 24480014 34 241.4 768 5680015 38 314.64 984 4140016 84 378 1248 20000017 125 575 1440 12000018 259 777 720 31000019 67 278.72 624 10240020 134 428.8 912 12800021 192 806.4 696 255760022 125 460 672 13800023 88 217.36 864 7980024 34 53.04 720 2080025 21 66.15 480 2250026 17 229.5 2208 6000027 280 532 240 13400028 667 1040.52 192 41600029 409 1636 1080 39200030 425 743.75 720 714000我们设 为第 i 种商品装在一辆卡车上的件数，设 为第 i 种商品的重量，ix iy设 为第 i 种商品在订货周期内的需求量（i:130 ） 。然后以年订货总费用为最iz小值建立最优化模型，以每种卡车的载重量、每种商品的订购周期内的需求量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立模型如下： 30303022111301301min.40iiii iijiimijii kCzfNCt txzstyz（1）若订货周期为 15 天，301301min2759163 40mijiijijijiifxzstyz（2）若订货周期为 30 天/kCQ5.3.2 模型的求解考虑到该模型计算繁琐，求解难度较大，难以得出所需费用，因此简化模型求解。首先根据 建立数学模型，若 ，则需要卡车数为301iiiPyzt301%4iz辆，若 ，则需要卡车数为 辆。301/4iz301%4iz301(/4)iz301301301/4,/4%,iiii ii iPytzmz根据上述模型，求得一个月或者是两周所需要的货车数量，分别为 65 辆和 33辆，然后便不难求得两种订货方法所需要的年订货费用：每 15 天订货一次：33*1000*24+5291613.3= 6083613.275 元每 30 天订货一次：65*1000*12+5293574.5= 6073574.5 元由此可以看出，每个月订货一次的方案更加节省成本，所以每个月订货一次的方案更优。每个月订货一次的方式的贮存费和订购费为 44544.46 元，问题 2 的最优订货量情况下的贮存费和订购费为 37006.08 元，每个月订货一次超市成本增加的数额为 7538.38 元。5.4 问题四：最优化模型的建立现在考虑运输的费用与限制，供应点可以随时订货。我们根据问题一计算年贮存费的公式 算出两种方式下贮存费的大小，再求出商品的年成本2/kCQ费和订购费。贮存费、订购费和年成本费见表格 5.3.1 和 5.3.2。我们设 为第 i 种商品装在一辆卡车上的件数，设 为第 i 种商品的重量，ix iy设 为第 i 种商品在订货周期内的需求量（i:130 ）,设订货一次需要 m 辆卡车，iz设一年共订货 n 次。然后以年订货总费用为最小值建立最优化模型，以每种卡车的载重量、每种商品的订购周期内的需求量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件，建立模型如下： 303030221130ij1j301min.40iiii iiimiii kCzfNCnxzstyz5.5 问题五:设一年共进货 n 次，每次每种商品的进货量为 ，每次每种商品的最小库ija存量为 ，每次进货时所需要的卡车数为 辆。有些商品在完成一次订货后，ijs im由于每天有顾客购买该商品，其库存数量将减小。当库存量降到一定水平，超市必需再一次订货，否则库存量降为 0 时再订货，有可能造成商品断货，也给超市造成损失，即 。实际情况下，所有商品的需求不是均匀分布于全年0ijs的，见图 5.3.1，所以每次的进货量和最小库存量可能都不同，并且全年的进货量和库存量总和大于或等于全年的需求量，即 。库存3030111nnijijiiasN在超市的商品，需要一定的库存成本。若订货量太大，库存成本将增加；若每次订货的数量太小，则订货次数增加，订货的花费增加，所有商品的年贮存费为 。每年所有商品的成本费为 ，每年所有商品的运3021(/)njijjkCx3021njijiCa输费为 ，每年所有商品的订购费为 。以年订货总费用为最小值10niim 301iin建立最优化模型，年总订货费用为。再以每辆卡车的载3030 3022 1111in(/)0nnnjij jiiij ji iifkCxCamC重量和订购周期内所有商品的总重量小于卡车的总载货量为约束条件， 30114(j,j0nij iinijiij iyxma且 为 整 数 )我们建立模型如下： 3030 3022 111130113030111min(/)04.(j,jnnnjij jiiij ji iinijiij iij iinnijijiifkCxCamCyamstxasN且 为 整 数 )订货量 （常数）Q图 5.5.1. 非均匀需求下的订货，库存量变化情况。纵轴为某商品库存量，横轴为时间。六、模型的改进与推广模型的优点：该模型的假设和建立都较为合理，可以大大简化模型，求得在需求是均匀分布于全年时，商品全年订货总费用最小的最优订货量和最优订货次数，从而可以降低成本，提高超市的利润。模