数学百大经典例题——算术平均数与几何平均数新课标

高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 1 -典型例题一例 1 已知 ，求证Rcba, .22cabcba证明： ，2，c， 三式相加，得a22，即)()(2 cbcba .22cabcba说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握典型例题二例 2 已知 是互不相等的正数，cba、求证： abcc6)()()( 222 证明： ，0a， bca2)(2同理可得： abcc2)(2，三个同向不等式相加，得bacbca6)()()( 222说明：此题中 互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立特别地，、， 时，所得不等式仍不取等号典型例题三例 3 求证 )(2222 cbacba 分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式 ，并能由2这一特征，思索如何将 进行变形，进行创造” )(2cba2证明： ，ba22两边同加 得 22)()(b即 )22ba高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 2 - )(212baba同理可得： ，)(2cc)(2a三式相加即得 )(2222 cbacba 典型例题四例 4 若正数 、 满足 ，则 的取值范围是 ab3ba解： ， ，令 ，得 ，R, 2aaby032y ，或 （舍去） 3y1 ， 的取值范围是92abab.,9说明：本题的常见错误有二一是没有舍去 ；二是忘了还原，得1y出 前者和后者的问题根源都是对 的理解，前者忽视了 后者错误,3ab.0ab地将 视为 2yab因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之典型例题五例 5 （1 ）求 的最大值4162xy（2 ）求函数 的最小值，并求出取得最小值时的 值 x（3 ）若 ，且 ，求 的最小值0,yx2yx2yx解：（1） 41621363)(222x.36高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 -即 的最大值为y.3当且仅当 时，即 时，取得此最大值122x2x（2 ） 4422y 314 的最小值为 3，当且仅当 ，即 ， ，12x4)(221x时取得此最小值1x（3 ） 即xy2222)()(y2)(yx 即 的最小值为 2yx 2当且仅当 时取得此最小值4说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件典型例题六例 6 求函数 的最值xy321分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件如：，应分别对 两种情况讨论，如果忽视 的条件，就会发生如下错误：0x0,x Rx ，621321)3(12xy .621maxy解：当 时， ，又 ，0x0,x当且仅当 ，即 时，函数 有最小值3226x3.62 .1maxy当 时， ，又 ，003,x6)3(x当且仅当 ，即 时，函数 最小值2262.62 .61miny典型例题七高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 4 -例 7 求函数 的最值9102xy分析： 291)(2 x但等号成立时 ，这是矛盾的！于是我们运用函数 在 时单调递增8x xy1这一性质，求函数 的最值)3(1ty解：设 ，92xt ty102当 时，函数 递增3tty故原函数的最小值为 ，无最大值310典型例题八例 8 求函数 的最小值452xy分析：用换元法，设 ，原函数变形为 ，再利用函数2t )2(1ty的单调性可得结果或用函数方程思想求解)2(1ty解：解法一：设 ，故42xt ).2(1452txy2112121212 )()()( ttttt ，设由 ，得： ，故： 02121tt， 021y函数 为增函数，从而 )(ty 25解法二：设 ，知 ，可得关于 的二次方程 ，由根与242tx)2(1tyt 012yt系数的关系，得： 1高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 5 -又 ，故有一个根大于或等于 2，2t设函数 ，则 ，即 ，故 1)(2ytf 0)(f 0124y25y说明：本题易出现如下错解： 要知道，452xx无实数解，即 ，所以原函数的最小值不是 2错误原因是忽视了等4122xy号成立的条件当 、 为常数，且 为定值， 时， ，不能直接求最大（小）值，可以ababbab2利用恒等变形 ，当 之差最小时，再求原函数的最大（小）a4)(2值典型例题九例 9 求 的最小值,4,0baa 221ba分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值解：由 ，得, .26)(22 a又 得 ，即 22abab16421222 ba .254422ab故 的最小值是 2215说明：本题易出现如下错解：，故841212122 baba的最小值是 8221错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有 和 ，但在 的条1ab4ba件下，这两个式子不会同时取等号（ ） 排除错误的办法是看都取等号时，与31ba时 ，题设是否有矛盾典型例题十高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 6 -例 10 已知： ，求证： Rcba, cbacba分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明证明： .2,2aba即同理： ccb,).(22baa.ccb说明：证明本题易出现的思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式 的变式；(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法因此，在a2证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性典型例题十一例 11 设 ，且 ，Redcba、 8edcba，求 的最大值16222分析：如何将 与 用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键算术平均数与几何平均数定理 两边同加 之后得 ab222b22)(1ba解：由 ，则有2)(1ba,)(41)( 2222 dcadcdc.560)8(4162ee56时 ，当 最 大 值cba说明：常有以下错解：，abcdabde 4)(21622 48ccba故 abdede42)8(,4)(高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 7 -两式相除且开方得 51604)8(162ee错因是两不等式相除，如 ，相除则有 ,2不等式 是解决从“和”到“积”的形式从“和”到“积”怎么办呢？22)(1ba有以下变形： 或 22 )(21baa典型例题十二例 12 已知： ，且： ，求证： ，并且求等号成立的条0yx 1xy22yx件分析：由已知条件 ，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有 ，Ryx， yx无法利用 ，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现 型，yx2 )(1)(再行论证证明： ,1.0, xyyx又yx2)(2yx)(.2)(2等号成立，当且仅当 时)(yx.4,2,)( 22 yxyx6)(,1.yx高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 8 -由以上得 26,26yx即当 时等号成立,说明：本题是基本题型的变形题在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式要注意灵活运用均值不等式典型例题十三例 13 已知 ，且 ，求 的最大值0yx， 302xyxy分析：由 ，可得，32)30(， 故 ，令 )0(3xxy xt2利用判别式法可求得 （即 ）的最大值，但因为 有范围 的限制，还必须ty 30x综合韦达定理展开讨论仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解解法一：由 ，可得， 302x )0(23x xy64)()(302264)(4x注意到 1624)()( xx可得， 18y当且仅当 ，即 时等号成立，代入 中得 ，故264x 302xy的最大值为 18x解法二： ， ，Ry,xy2代入 中得：302x30解此不等式得 下面解法见解法一，下略18y说明：解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二则是抓住了问题的本高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 -质，所以解得更为简捷典型例题十四例 14 若 ，且 ，求证： Rcba、 1cba 811cba分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来，而 aca21证明： ，又 ， ， ，cba10b0，即 cab22同理 ， ，1cab18ba当且仅当 时，等号成立31c说明：本题巧妙利用 的条件，同时要注意此不等式是关于 的轮换式 cba、典型例题十五例 15 设 ，求证： Rcba、 )(2222cba 分析：本题的难点在于 不易处理，如能找出 与2acb、 2ba之间的关系，问题可得到解决，注意到：，bbaba )(2)()( 222则容易得到证明证明： ，2222 )()( a，于是 2 baba同理： ， )(2cc )(22ac三式相加即得： )22 cbba高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 10 -说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于 的轮换式因此只需抓住cba、一个根号进行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性典型例题十六例 16 已知： （其中 表示正实数）Rba、 求证： baba1222分析：要证明的这一串不等式非常重要， 称为平方根， 称为算术平均22数， 称为几何平均数， 称为调和平均数abba12证明： 04222 ba2baaRb、 ，当且仅当“ ”时等号成立22aba0)(412b ，等号成立条件是“ ”22aba，0)(4122 ab ，等号成立条件是“ ”a2 bababa2)(1高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 11 -0)()2( 2baba ，等号成立条件是“ ”1说明：本题可以作为均值不等式推论，熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明问题本例证明过程说明，不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法典型例题十七例 17 设实数 ， ， ， ， ， 满足 ， ， ，求1ab1c2ab2c021a21bc2ca证 221 )()(ca分析：由条件可得到 ， ， ， 同号为方便，不妨都设为正将求证式子的左121c2边展开后可看出有交叉项 和 无法利用条件，但使用均值不等式变成乘积后，重新搭a配，可利用条件求证证明： 同 号 2121,0同理，由 知 与 同号， 与 同号bcac， 1c2ac ， ， ， 同号不妨都设为正1a2 121211)( ccc221ab12c21|212bb，221 )(即 2121)(ca说明：本题是根据题意分析得 ， ， ， 同号，然后利用均值不等式变形得a1c2证换一个角度，由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式，可能会有另一类证法高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 12 -实际上，由条件可知 ， ， ， 为同号，不妨设同为正又 ，1ac2 21bca， ， 22bca24b4b不等式 ， 对任意实数 恒成立（根据二次三011cx022cxx项式恒为正的充要条件） ，两式相加得 ，它对任意0)()()( 21211 cba实数 恒成立同上可得： x 221)(ca典型例题十八例 18 如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈 4 间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为 36m问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？分析：可先设出羊圈的长和宽分别为 ， ，即求 的最大值注意条件xyx的利用364yx解：设每间羊圈的长、宽分别为 ， ，则有 ，即 设364182yxxyS ,623218xyxy7,Sx即上式当且仅当 时取“” yx此时 ,1832.3,29yx羊圈长、宽分别为 m，3m 时面积最大说明：(1)首先应设出变量（此处是长和宽） ，将题中条件数学化（即建立数学模型）才能利用数学知识求解；(2)注意在条件 之下求积 的最大值的方法：直接用不1832yxxy等式 ，即可出现积 当然，也可用“减少变量”的方法：yxyx3218，当且21826)18(26)18()(3 xxxSy高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 13 -仅当 时取“=” x218典型例题十九例 19 某单位建造一间地面面积为 12m2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为 1200元/m 2，房屋侧面的造价为 800 元/m 2，屋顶的造价为 5800 元如果墙高为 3m，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系从已知条件看，矩形地面面积为 12m2，但长和宽不知道，故考虑设宽为 m，则长为 m，再设总造xx12价为 由题意就可以建立函数关系了y解：设矩形地面的正面宽为 m，则长为 m；设房屋的总造价为 根据题意，可得：xx12y5801230xy576580162308)1(30xx)(46528元当 ，即 时， 有最小值 34600 元x16y因此，当矩形地面宽为 4m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是 34600 元说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立典型例题二十例 20 某单位决定投资 3200 元建一仓库（长方体状） ，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每 1m 长造价 40 元，两侧墙砌砖，每 1m 长造价 45 元，顶部每 1m2造价20 元计算：(1)仓库底面积的最大允许值是多少？ (2)为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？分析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系解：设铁栅长为 m，一堵砖墙长为 m，则有 .xyxyS由题意得 (*).3204520xy应用算术平均数与几何平均数定理，得高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考