高等教育中几个热点问题的数学模型[会议报告]

高等教育中几个热点问题的数学模型与政府宏观调控研究,化存才 C 云南师范大学数学学院,昆明,650092,内容提要,1 引言 2 高校经费投入与招生规模模型 3 高校教育收费的微分方程模型 4 常利率下大学生失业保险模型 5 大学生人才培养的商品化模型 6 结论,1 引言,自扩招以来,高校面临着许多重要的问题:如招生规模与就业问题,经费的投入与招生规模问题,教育收费与教育公平问题, 大学毕业生失业保险问题,大学生人才培养的质量下滑问题等,它们构成了当今中国高等教育处于社会转型期的热点,解决这些问题是政府的重要工作.数学建模可应用于关注有关高等教育中所出现的热点问题,其结果可为政府提供决策的理论依据.近年来,我们围绕高等教育的一些热点问题开展了数学建模的应用研究,已经发表的工作有高校毕业生就业率与招生规模的微分方程与时滞微分方程模型,大学生就业竞争力的评价模型.本报告主要是介绍我们应用数学建模的方法解决“经费投入与招生规模问题”,“高等教育收费与招生规模问题”, “大学生毕业生失业的保险问题”,“大学生人才培养的商品质量化问题”方面的新工作.,返回,2 高校经费投入与招生规模模型,Logistic模型招生规模与就业成本的二维耦合模型招生规模与政府投入的二维耦合模型招生规模与支出成本的二维耦合模型招生规模与学费标准的二维耦合模型一个非线性规划模型,返回,高校经费投入与招生规模的Logistic模型,设高校招生人数的时间变化率与政府的投入，学生缴纳的学费成正的线性相关，而与支出的成本成负线性相关，与将来毕业时的就业成本成二次负相关，则我们有招生人数规模的Logistic方程模型：,其中， 为招生人数, 分别为政府的人均投入经费，学生学费标准，高校的人均教育成本支出，学生的就业成本系数。 与就业率成反比.,(2.1),Logistic方程模型(2.1)的分析,当 时, Logistic模型有稳定的平衡点:这说明,当政府投入和学费超过学校支出,且就业成本(就业率)一定时,高校将会有稳定的招生人数规模,其办学能持续下去.当就业成本大(就业率低)时,招生人数宜少;当办学效益大时,可多招收学生.,(2.2),返回上一层,招生规模与就业成本模型,招生规模与就业成本的二维耦合模型：在政府投入，学生的学费标准,高校支出的成本固定时, 如果招生人数多,那么就业率低(高),就业成本就高(低) .在政府给定高校一个招生基数 时,则我们有招生规模与就业成本的二维耦合模型：,其中， 为比例系数。,(2.3),二维耦合模型(2.3)的分析,当 时,二维耦合模型(2.3)有稳定平衡点:这说明,当政府的投入和学费超过学校的支出, 且就业成本依赖于给定的招生基数时,高校的招生要稳定在政府给定的基数上. 进一步分析表明, 当这个招生基数是就业成本达到极小值 (就业率达到极高) 时的招生人数时, 有:可见,学校可按照办学效益和就业率适度扩其招生规模.,(2.4),(2.5),返回上一层,招生规模与政府投入的模型,招生规模与政府投入的二维耦合模型：在学生的学费标准,高校支出的成本,学生的就业成本固定时, 如果高校招生人数多(少),那么政府的投入低(高).在政府给定高校一个招生基数 时,则我们有招生规模与政府投入的二维耦合模型：,其中， 为比例系数。,(2.6),二维耦合模型(2.6)的分析,二维耦合模型(2.6)有稳定平衡点:这说明,当政府的投入与其规定的招生基数成正线性相关 时,高校的招生人数将稳定在政府给定的基数上.进一步分析表明,当这个招生基数是政府投入达到极大值 时的招生人数时,有:可见,学校实际上只能适度扩招.,(2.7),(2.8),返回上一层,招生规模与支出成本的模型,招生规模与支出成本的二维耦合模型：在政府的投入,学生的学费标准,就业成本固定时, 如果高校招生人数多(少),那么经费支出就大(小).在政府给定高校一个招生基数 时,则我们有招生规模与支出成本的二维耦合模型：,其中， 为比例系数。,(2.9),二维耦合模型(2.9)的分析,二维耦合模型(2.9)有稳定平衡点:这说明,当办学经费的支出与政府给定的招生基数呈线性相关时,高校的招生要稳定在政府给定的基数上. 进一步分析表明, 当这个招生基数是支出成本达到极小值 时的招生人数时, 有可见,学校实际上只能适度扩在招生规模.,(2.10),(2.11),返回上一层,招生规模与学费标准的模型,招生规模与学费标准的二维耦合模型：在政府投入,高校办学支出成本,学生的就业成本固定时, 如果高校招生人数多(少),那么收费标准应调低(高).在政府给定高校一个招生基数 时,我们有招生规模与学费标准的二维耦合模型：,其中， 为比例系数。,(2.12),返回上一层,二维耦合模型(2.12)的分析,二维耦合模型(2.12)有稳定平衡点:这说明,当学费标准与政府规定的招生基数成正的线性相关时, 高校招生人数将稳定在政府给定的基数上.进一步分析表明,当这个招生基数是学费标准达到极大值 时的招生人数时,有:可见,学校实际上只能适度扩招.总之,招生规模与经费投入或者成本支出的模型都表明,高校应按照经费投入的极大值, 或者成本支出的极小值,以及办学的效益去适度扩大其招生规模.,(2.13),(2.14),返回上一层,经费投入与招生规模的非线性规划模型,如果政府的投入,学费标准,高校办学支出成本,学生就业成本在有限范围内变动, 且增加考虑高校的师生比, 那么我们有经费投入与招生规模的非线性规划模型,如:,其中, 表示师生比, 为教师的平均教学薪金.,(2.15),返回上一层,3 高校教育收费的微分方程模型,高校教育收费的两个基本微分方程模型两个高校教育收费模的定性分析几个特殊模型与宏观调控分析模型的扩展,返回,3 高校教育收费的微分方程模型,高校教育收费的两个基本微分方程模型1986年美国纽约大学校长 D.Bruce Johnstone提出了“教育成本分担”的理论，认为高等教育成本要由政府，社会和受教育者个人分担.高校教育收费与收费标准(可通过受教育者个人分担的教育成本体现)成正的线性相关,而与贫困生的无支付能力(会拖欠学费)成负的线性相关。还有, 收费标准越高,贫困生越多,无支付能力越大.以收费年为单位，我们设高校的招生人数为 ，高校的教育收费为 ，人均分担的教育成本为 ，贫困生人均未支付的费用为 ，它们都是招生人数的函数。由前面分析,有 ,其中的函数是单调增加的,于是我们得到高校教育收费问题的微分方程模型:,(3.1),如果假设由 确去确定 和 ，那么得到与(3.1)相应的描述高校教育收费问题的微分方程模型：,两个高校教育收费模的定性分析从模型(3.1)知，高校教育收费为常数的充要条件是：这表明，高校保持其教育收费不变的充要条件是：要在个人分担的人均教育成本和贫困生的人均未支付费用之间进行均衡。为了实现这种均衡，必须要求方程(3.3)存在正根，从而高校的招生人数规模和个人所分担的人均教育成本应该是确定的。,(3.2),(3.3),返回上一层,高校保持教育收费不变充分条件,(a)当 时，高校的教育收费达到极小值。这说明：在个人分担的人均教育成本增加的条件下，只要把贫困生人均未支付费用的增长率控制在一定的限度内，就可以保持高校的极小收费不变。(b)当 时，高校教育收费达到极小值。这说明，如果贫困生的人均未支付费用的增长率超过了一个度，那么只有通过降低个人分担的人均教育成本，才能保持高校的极小收费不变。(c)当 时，高校的教育收费达到极大值。这说明，在个人分担的人均教育成本减少，贫困生的人均未支付费用的增长率在一定的限度内时，高校可以保持其极大收费不变。,高校教育收费稳定的充分条件,(d)当 时，模型(3.2)有稳定的平衡点。这说明，在个人分担的人均教育成本增加的条件下，只有贫困生人均未支付费用的增长率在一定的限度内，才会保持高校的教育收费稳定不变。(e)当 时，模型(3.2)也有稳定平衡点。这说明，如果贫困生的人均未支付费用的增长率超过一个度，那么，只有通过降低个人分担的人均教育成本，才能保持高校的教育收费稳定不变。,返回上一层,几个特殊模型与宏观调控分析,设在免费教育( )时，招生人数为 ；而在收费教育时，政府规定的个人分担的人均教育成本为 ，高校招生人数: 我们分三种情况进行讨论： (A)个人分担的人均教育成本随招生人数增加而增加的情况在模型(3.1)中设 和 。于是我们得到如下教育收费模型：由 知， ，因此高校的招生人数规模可以在政府规定的范围内扩大。在非均衡条件下，在高校扩大招生规模时，只有贫困生人均未支付费用的增长率较小(较大)，才可考虑调高(调低)教育收费。如果在模型(3.1)中设 ，那么易知高校保持教育收费为正的招生人数规模为：可见，当政府规定个人分担的人均教育成本较低时，有利于高校扩大自主招生规模。,(3.4),(3.5),从模型(3.2)出发进行定性分析。设 . 我们有高校教育收费的Logistic模型：其中 模型(3.6)存在稳定平衡点(它对应于稳定收费)当 时，有 ，这说明，当个人所分担的人均教育成本在一定限度内时，高校的稳定教育收费才会提高；反之，当个人分担的人均教育成本超过一个度时，就会因出现部分学生拖欠学费的现象而使高校的稳定教育收费降低。,(3.6),(3.7),(B)个人分担的人均教育成本随招生人数增加而减少的情况可设 ，我们有教育收费模型：积分得教育收费与招生人数呈对数关系：因此,按照(3.9)去确定的收费时,高校的教育收费可随招生规模的扩大而缓慢增长. 再由 知 。可见，高校的招生规模可超过政府的规定，这是一种值得推广的教育收费与扩招模式。如果在模型(3.2)中设 ，那么高校保持教育收费增长的招生人数规模为：,(3.8),(3.9),(3.10),高校的教育收费为：当 时，高校的教育收费为正的近似招生人数规模是：式(3.12)表明，高校的招生必须达到一定规模时，才不至于出现办学亏损的结果。,(3.11),(3.12),(C)个人分担的人均教育成本是招生人数的有界函数综合考虑前面两种情况，我们在模型(3.1)中,设 和 。我们有教育收费模型：易知当 时，高校保持其教育收费增长的招生人数规模为：因此，应限制高校扩大招生的规模。,(3.13),(3.14),返回上一层,模型的扩展,(A) 混合微分方程模型 设想高校考虑按照不同的招生人数规模而采用相应的教育收费模型，那么，我们可将两种或者两种以上模型混合连接在一起，以便按人数规模调整高校教育收费方式，如：(B)耦合微分方程模型 设想不同(地区)的高校都采用同样的收费模型，而它们之间有某种相互影响，那么，我们可将两种以上模型综合在一起，如主要考虑二次非线性耦合的Logistic模型：进而可以研究不同(地区)高校招生人数规模与收费标准的同步问题。,(3.15),(3.16),(C)三维微分方程模型 由于经济社会发展的不平衡，不同(地区)的高校所采用的收费模型不同，这样就导致了教育收费与招生人数规模的不公平现象。为了促进教育公平，构建和谐社会，就需要政府在两者之间进行宏观调控。如引入随招生人数变化的调控变量，考虑在两种不同模型之间进行线性反馈调控，那么，我们有三维微分方程模型。例如：进而,我们可深入研究不同(地区)高校教育收费标准与招生人数规模的分岔与混沌等动力学问题。,(3.17),返回上一层,4 常利率下大学生失业保险模型,引言模型的建立调节系数的推算破产概率的计算与估算调查数据下模型的求解,返回,引言,1999年开始高校扩招，2003年以来我国的大学生毕业就业问题日益突出，加剧了我国原本就十分严峻的下岗待业和失业形势，为了改善和解决这一问题，我国政府在这方面做了很多工作，比如拓宽就业渠道，鼓励大学生自主创业等。保险是转移和分散风险的一种有效手段，也是一种社会互助形式。因此我们可通过建立保险来促进大学生毕业失业问题的有效解决。关于大学失业保险问题的研究,目前主要有吴江林（重庆中讯集团董事长）提出由国家采取财政拨款帮大学生购买失业保险，还有在网上发布的类似的观点，如：建立大学生失业保障制度来缓和大学生失业问题。这些文献都是阐述作者通过社会保险来解决大学生失业这一问题的观点，也有的是进行数据调查的文章，他们都没有建立相应的模型，理论与实际没有很好的结合起来。,返回上一层,模型的建立,常利率下保费收入为复合Poisson过程的风险模型为其中:(i)常数i表示利率,u为保险公司的初始准备金；(ii)U(t)为t时刻保险公司的盈余； (iii)M(t),N(t)为(0,t)内收到的保单数和理赔次数; (iv) 为每张保单的平均保费； (v) 为每张保单的平均理赔额； (vi)盈利过程 ,t0是一个右连续的随机过程。 对上述模型,我们做如下假设：M(t),，N(t),是独立的Poisson过程, 其强度分别为 与 ；且M(0)=0, N(0)=0, ；破产:当保险公司的盈余小于零的时候称为破产. 破产时刻:T=inf0| U(t)0,破产概率:,(4.1),返回上一层,调节系数的推算,由于在实际破产概率的计算都比较困难，1919年，Lundberg发现了一个间接的表达式，即引入一个能起到中间作用的参数，称为Lundberg系数或调节系数。借助调节系数给出破产概率的一个一般表达式，并且用这个公式给出破产概率的一个估计范围. 命题1：对于盈利过程,存在函数 ,使得命题2：方程 0存在唯一的正解R，它称为调节系数。,(4.2),返回上一层,破产概率的计算与估算常利率下单险种的广义齐次Poisson风险模型的最终破产概率为破产概率的估算:调查数据下模型的求解保费的收取与理赔: 理赔6400元,其中包括: 每月基本生活费300元，每月房租150元,参加职业培训或者考研培训,以及找工作的费用1000元,即: 30012+15012+1000=6400；理赔12000元,其中包括了,每月基本生活费500元,每月房租300元, 参加职业培训或考研培训,以及找工作的费用2000元, 其它费用每月约33元,即:50012+30012+2000+3312=12000元 .,(4.3),返回上一层,由于大学生失业的损失无法估量,故我们借鉴社会失业保险的方法，索赔金额为大学生毕业失业所需的最低生活和必要培训课程费. 毛保费的计算公式为： 毛保费纯保费+安全附加费保费+费用保费其中,Y为理赔随机变量,由方案1调查数据知, 202, E(Y)=640010%=640 ,为安全 系数,当2时，能保证95的保单赔付额落在此范围内, 为比例系数,费用按照纯保费的比例收取(约占纯保费的30%). 方案1的毛保费为: P=640+2022+6400.3=1236元 (12364/4=309元/年) 方案2的毛保费: P=1200+3792+12000.3=2318元 (23184/4=597.5元/年）,(4.4),调节系数和破产概率估算 在调查数据下,我们做无偏估计得：记X为保单的保费，则由调查数据知,。 每张保单的平均保费：c=1236+2318=1777 在模型(4.1)中,i为1年的年利率2.79%,失业率 =0.1,每张保单的平均保费 =64001/2+120001/2=9200利用Taylor公式将上式展开解得唯一正解:R= 当 时，将R代入(4.3)知,有 ； 当 时, 有 。,(4.6),(4.5),总之, 推行大学生实业保险险种是具有很强的可行性的。,返回上一层,5 大学生人才培养的商品化模型,高校扩招后人才培养质量下滑; 人人关注高校大学生“就业难”问题; 2007年教育部实施高校本科教学质量与教学改革工程; 人才学,经济人才问题; 如何将高校大学生人才视为商品，做到供求相对均衡的问题,从而促进人才培养质量的提高?,返回,大学生人才商品规格模型,大学生人才商品规格划分标准知识水平：专业成绩，英语成绩，计算机等级；技能：社会实践，工作能力(家教，勤工俭学，促销)，面试； 创新能力：科技活动竞赛，创业设计大赛，发明专利，参加科研目，发表文章； 综合素质：道德素质，心理素质，身体素质；大学生人才商品规格划分类型 将高校大学生人才视为商品，通过建立大学生人才商品规格划分标准指标，从经济学的角度确定大学生人才的商品规格类型如下： 优秀型：1. 知识水平:专业平均成绩80分以上，英语六级，计算机三级;2.技能:有社会实践，工作能力(家教，勤工俭学，促销)，面试中的两项;3.创新能力:有科技活动竞赛，创业设计大赛，发明专利，参加科研项目， 发表文章中的两项;4. 综合素质:综合测评成绩在80分以上.,复合型：1.知识水平：专业平均成绩7080分，英语四级，计算机二级;2.技能:有社会实践，工作能力(家教,勤工俭学,促销)，面试中的两项;3.创新能力:有科技活动竞赛，创业设计大赛，发明专利，参加科研项目，发表文章中的一项;4. 综合素质:综合测评成绩在7080分.创新型；1.知识水平：专业平均成绩60分以上；2.技能:有社会实践，工作能力(家教，勤工俭学，促销)，面试中的一项;3.创新能力:有科技活动竞赛，创业设计大赛，发明专利，参加科研项目，发表文章中的三项或三项以上;4.综合素质:综合测评成绩在7080分.,合格型：1.知识水平：专业平均成绩6070分;2.技能:有社会实践，工作能力(家教，勤工俭学，促销)，面试中的一项;3.创新能力:有科技活动竞赛，创业设计大赛，发明专利，参加科研项目，发表文章中的一项;4