北大《多元统计分析》答案78

第二章 多元正态分布及参数的估计2-1 解：利用性质 2, 得二维随机向量 YN2(y,y)，其中：31132,() .yyAdIA2-2 (1)证明：记 Y1 X1 +X2 (1,1) X, Y2 X1X 2 (1,1) X，利用性质 2 可知 Y1 , Y2 为正态随机变量 . 又212 1110Cov(,)故 X1 +X2 和 X1X 2 相互独立.另证：记 ，则1212 2YXC 2(,),YNC因 22 2111021()()YC故由定理 2.3.1 可得 X1 +X2 和 X1X 2 相互独立.（2）解：因为 1221 2 021(), ()YN 所以 212 112(,(),(,.XN2-3 (1)证明：令 ，则 . 12 2() )() (pIXXY C 2(,)pYNC因为1212121212D()()()()p ppIIYCXIO由定理 2.3.1 可知 X(1) +X(2)和 X(1) -X(2) 相互独立.（2）解：因为，1212122 12()()()() ),()p OYNX 所以 1212121212 12()()()() ()()()(),).p pNXN2-6 解：（1）记 B=(3,-1,1), 由性质 2 得， .,YBXB1231213(3,),(3,)291(,9).BBYXN :(2)令 , 显然 均服从正态分布, 故要使它们相互独立，只132a31XY需 即可 . 又因31,0COVY3123123212(, )(,(,)XVaXCOVXaCOVXa ，故当 时满足条件.12a(,05)2-9 解： (1)1/4/1/4/1/4/21/6/1220/6/2/6/0/113/12431201A :A 是正交矩阵.(2)由 Y=AX 知， ，且1/4/1/4/2X ，4 42 21 1()i ii iYAXAX 所以 4442222114 4422 21 114218().ii iii ii i ii i iiiYYXXX由 ，Y= AX 知： .244(,)XNI: 244(,)YNAI1:而 ，故由定理 2.3.1 的推论 2 知 相互独立.224AI 1234,Y由知 均服从正态分布，且方差均为 ，1234,Y又 41/1/4/2010/6/2/6113/2A 所以 221(,)(0,),34).iYNYNi2-11 解： 设 21211212,exp( 465)fxxx 652142 221211 212112211 211221 比较上下式相应的系数,可得: 2/121214224132122 2211212122112exp()()()()xxx 比较上下式相应的系数,可得:2121211221112465解得： ，所以 .1212/431 1122 24 1,3 2-13 解： (1) ()()()()EXEXEX).(2) ()trtrtrEXAAAAtr ()()()tr()tr(). (3)22 21t=t =trppppAI I1，2 2 22222trtrtrtr (1)ppppI I p又 2 11() )()ppppppAaIa ，2 =()=0pp1 .2()()(1)EXAtrAp2-18 解： (1) () ()1111.nnnni iiiii i iiZEcXcEXcc(2)Z 为 p 维正态随机向量的线性组合，故 Z 也为正态随机向量， 又 ，22() ()111()( nnni iiii i iDccDc结合(1) 知 ,.pZN(3) ，且 为非负定矩阵222121()nnccc 对任意 p 维向量 ，有0x 21111() 0,nnn ixc-xc-xc-xc-xnn即 时，Z 的协方差阵在非负定意义下达到极小.1n第三章 多元正态总体参数的假设检验3-1 解：因为 对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非 0 即 1，且只有 个非 0A r特征值，即存在正交阵 （其列向量 为相应特征向量） ，使 ，ir tIA记 ，令 （即 ） ，),(1nrXYn1Y则 ，),(),(22 nn ININY，tit YIAX12222 0111因为 ，且相互独立，),)(,(rirYii 所以 ，tiXY1222 ,(1其中非中心参数为121 12 21(),tti t ti rrrr （ AIt 2203-2 解：记 .()rankr 若 ，由 ，知 ，于是 与 相互独立；OABnAXB 若 时，则 ，则两个二次型也是独立的.0r0以下设 .因 为 阶对称阵，存在正交阵 ，使得n 100 ,rrrDA=其中 为 A 的特征值 .于是01(,)ir，,r r=ABB00:令 其中 为 r 阶方阵, 122,nH=B:1H由于 ，121122r rrDDHA 0 00故 . 又因 为满秩阵，故有 .112,rrr 112(),rrn由于 为对称阵，所以 .H21()0nrH于是 2,=B令 ，则 ，X(,)nnYNI且 ，21()rriDXAYAYY 0，1220(,) rrnBHH由于 相互独立，故 与 相互独立11,rnYY AXB3-11 解：这是两总体均值向量的检验问题. 检验统计量取为( p=3,n=6,m=9):021,1)()HmpFTFpnmn下其中 2 112(2)()()()TnXYAXYnm故检验统计量为 1121()()()npFYYn用观测数据代入计算可得: 25.37,.498,TF显著性概率值 0.690p故 H0 相容.第五章 判别分析5-1 解：由题意，其错判概率为1121P()*()*(|)12121 11 1() ()( (（ ） （ ） （ ） （ ） (1)(2)(2)(1),()( 21()12() )()()|1( 1(*1(*P)()( 2)2(1122)2(121 ）（）（）（）（)()( 21()12()()(1 21()12() ).()( 12()21()5-2 解：由题意（1）样品 与三个总体 和 的马氏距离分别为x21,G3,15.0)()()22121 xd,65.)()()222,.01)35.()()22323 xd显然， ，则 ，即样品 应判归总体)()(,(min321 xd3G5.2x.3G（2）样品 与三个总体 和 的贝叶斯距离分别为x21,G3,386.0).1()ln()(121 xdD942ln56)222,50)l()(333x显然， ，则 ，即样品 应)()(,),(min2123221 xDxD1G5.2x判归总体 .G5-4 解： (1)可取 (组内)128207385357A(组间)(1)(2)(1)(2)101,5B类似于例 5.3.1 的解法, A -1B 的特征根就等于2(1)(2)1()(2) 3751065010,) 4.768381d 取 ，则 ，1()(2) 3658aA aA且 a 满足： 2().Bad判别效率： ，()4.706AFisher 线性判别函数为： 12()(3)8975uXaX 判别准则为 ，*12()Gu判 当判 当阈值为 ，其中(1)()*224.96u2111823786243, 0.7598759a22 012, .17539686(1)(1) 1(3,)2.708595ua (2)(2) 2046(,).899768故 .(1)(2)u当 时，(1)0X(1)20(3,)4.39089765uX因 ，判 .*(1)4.39u(1)2G当 时，(1)520(2)3,3.80589765uX因 ，判*()3.8uX(2)1.(2) )(075)|()( 12)1(212)1( XfLXfqhW(2) (2) ()1(1)() () ()2()5exp X )250(3218)250(1.7 1 ,192.75)10()0(1 )(75)1|2()()( 21)12212 XfLXfqhXW() () ()1(1)()2() () (2)15exp )2501(3218)2501(25.7 ,15.7)10()0(1 故 .,2)1(GX)2()(3) 122 111201820182()()ln|()()ln5353Dxd122 2020720207()()ln|()()ln5555Dxd , 21221exp(.()(1|) .36(0.5)0.()DxP .2221(.()(2|) 0.94exp(.)exp.5()x5-5 解： ()adadS(1)(2)(1)(2)def1XXaBaSS .1 1,SB其 中 为 的 最 大 特 征 值 且 仅 当 对 应 的 特 征 向 量 时 等 号 成 立又 1()(2)(1)(2)12(1)(2)1()(2)XXD ,与有相同的特征值. 故 ；1D以下验证 a 就是 D2 对应的一个特征向量：11()(2)(1)(2)1()(2)12.SBXXSXSDa 1()(2) 2,().aSX故 当 取 时 比 值 达 最 大 值5-6 解：记 是 X 的线性函数，()(),Wa211,),GN当 时 且 (1) (1)(2)1()(2)22(1)(2)1()(2)( EXadd 其 中21(1)(2)11()(2)2()DWaXaDXad :111 0(2|)()0|WPGP2111/()().22PUddd其中 1()(0,).WXUN2(2) 22212 1,()(,) ,Gad当 时 且 2222()0(|)()0|11/().WXPXGPUdd其中 2()(0,).WXUN第六章 聚类分析6-2 证明：设变量 Xi 和 Xj 是二值变量，它们的 n 次观测值记为 xti, xtj (t=1,n). xti, xtj 的值为 0 or 1.由二值变量的列联表（表 6.5）可知：变量 Xi 取值 1 的观测次数为 a+b,取值 0 的观测次数为 c+d;变量 Xi 和 Xj 取值均为 1 的观测次数为 a,取值均为 0 的观测次数为 d .利用两定量变量相关系数的公式： 1221()(ntiitjjtij ntiitjjt txxr又 1 1()()()()n ntiitjjtijijt t abcxxxnabacabcdnndc 22211()()()nntiitiit t abxxnabababcdnn 22211()()()ntjjtjjt t acxxnacacacbdnn 故二值变量的相关系数为： 1221()(7) ()()()ntitjjtij nti tjjt txxadbcC d利用两定量变量夹角余弦的公式： 12211cosntijtijnntitjttx其中 1,ntijtxa2211,nnti tjt txbxac故有 .(9)cos()()ij ijabc6-3 解：用最长距离法: 合并X (1),X(4)=CL4,并类距离 D1=1. 合并X (2),X(5)=CL3,并类距离 D2=3. (2)(3)(2) (5)093571084XCL(3)(3)9X 合并CL3,CL4=CL2,并类距离 D3=8. 所有样品合并为一类 CL1,并类距离 D4=10.最长距离法的谱系聚类图如下:用类平均聚类法： 合并X (1),X(4)=CL4,并类距离 D1=1. 合并X (2),X(5)=CL3,并类距离 D2=3. 合并CL3,CL4=CL2,并类距离 D3=(165/4)1/2. 所有样品合并为一类 CL1,并类距离 D4=(121/2)1/2.类平均法的谱系聚类图如下:(3)(4)012XCL(2)2 3(2) 2(5)09350614XCL(3)(3)201654X(3)(4)2102XCL6-6 解： 按中间距离法, 取 =-1/4, 将 B 和 C 合并为一类后,并类距离 D1=1,而 A与新类 Gr=B,C的类间平方距离为222211()0.5(1.)0.251.025.84ArABCBCDD当把 A 与B，C并为一类时，并类距离 2 1.8.9D故中间距离法不具有单调性。按重心法, 将 B 和 C 合并为一类后,并类距离 D1=1,而 A 与新类 Gr=B,C的类间平方距离为： 22220.51.10.25.8BCBCArAArrrnnDD当把 A 与B，C并为一类时，并类距离 2 10.85.92D故重心法法不具有单调性。并类过程如下： (1) (2) (3)0.1. 0.850 0rAADBDDGC6-7 解：因样品间的距离定义为欧氏距离,利用 ()()()1rpqrXnX2()()()()()()()()()()()()()2()()()()2()()112krkrrkpqrpqkkpkqr rppqqqrDXnXnXXnX 利用 2 2()()()()()()1 11();();q pkkkpq qr prpqr rr rrnnXnXnX n 2()()()()()()()()()()()()()()()()()()22pkkppkkqrkr rpqppqqrD XXnnXX 故有 2()()()()()()()()()()()()22 2p qkpkpkqkqrkr rpqpqpqrpqpqkkrrrn nDXXXXnnDDn 6-9 解： 计算样品间的欧氏平方距离阵 合并 1,2 CL4,并类距离 D1=(0.5)1/2 =0.707 ，并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得 (2)04496512078.51CL合并 5,7 CL3,并类距离 D2=(2)1/2 =1.414 ，并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得 (3)0381442901CL 合并 CL3,10=5,7,10 CL2,并类距离 D3=(32/3)1/2 =3.266 ，并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得 (4)022564CLD 合并 CL4,CL2=1,2,5,7,10 CL1,并类距离 D4 =(245/6)1/2 = 6.39 ，并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得 (5)01L 分类法 bk 及相应的总离差平方和 W(k):k=5 1,2,5,7,10 W(5)=0(1)00.56984.0235412820.3.54Dk =4 1,2, 5,7,10 W(4)=0.5k =3 1,2, 5,7,10 W(3)=2.5k =2 1,2, 5,7,10 W(2)=13.666k =1 1,2,5,7,10 W(1)=54第七章 主成分分析7-1 解： 从协方差阵出发：由题意得， 的特征值为 ， 。相应的单位正交特征向量为164.0836.02， .9.31a4.9a故主成分为，2119.043.XZ.243从相关阵出发：由题意知， 的相关阵为X，104.R其特征值为 ， . 相应的单位正交特征向量为*1.4*206， .17.a270a故主成分为，*1120.7.7ZX。20两者比较： 由 或 R 出发所得主成分不同； 由 出发时，第一主成分 Z1 解释的总方差比例为 100.1614/101=0.9917，由 R 出发时，第一主成分 Z1*解释的总方差比例为 1.4/2=0.7; 由于 X2 的方差大，故 Z1 完全由 X2 控制，而原变量标准化后，结论正好相反； 原始变量 X1，X 2 与第一主成分 Z1 的相关系数不相等，标准化后的变量X1*，X 2*与第一主成分 Z1*相关系数相等.7-3 解：（1）因 的最大特征值 ，而21(1)p.且最大特征值 对应的单位特征向量为223()p 1，故第一主成分为：1(,1)a.112()ZXXpp(2)第一主成分的贡献率为： . 212(1)pp7-4 解：等密度椭球为： 1()()XC设 的特征值为 ，相应的单位特征向量为 ，则120p 12,pa的谱分解式为： ，故1 1kka21 1221()()()()p pk kk kpkkXXXaZZCZ 即 .2221 1pZZCC因此椭球的第 i 个主轴方向在 X 的第 i 个主成分的方向上，且其半长轴与 成i比例，系数为 C. 7-5 解：由题意得， 的特征值为 ， ， . 相应的单位正交特征41223向量为， ， .01a1203a故主成分为， .1XZ23XZ7-6 解：由题意得， 的特征值为 ， ， 。相)(2)21(3应的单位正交特征向量为， ， 。21a20a213a故主成分为，其解释的方差比例为 ；321XXZ 32121，其解释的方差比例为 ；312 321，其解释的方差比例为 .3213XXZ 213217-7 解：见课本 P406.第八章 因子分析8-1 解： 容易验证， 0.90.197.5.5.50.7R AD因而因子载荷矩阵 A 和特殊因子的协方差阵 D 分别为：， 5.079.190.57即 的正交因子模型为1m31322115.079.FX误差为 .190.57D8-2 解： (1) 取 1m得 = =mll1A 507.9326.9.1.182.5误差为0.230D.91.43即 m=1 的因子模型主成分分解为 31322117.085.FX1() 0.970.1270.63.4510.729.67. 4. . 512.45.6.ERAD 则 2221(097.17041)0.9.Q(2) 取 m=2 得 mll1A=0.625-0.2