16_4256763_41.系要建得巧.题就解得妙

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 系要建得巧 空间直角坐标系 的 建立方法 利用向量法解决立体几何问题的关键是建立恰当的空间直角坐标系 ,空间直角坐标系的建立直接影响运算推理过程的繁简程度 ,建立恰当的空间直角坐标系成为解决问题的关键 ,如何建立恰当的空间直角坐标系？ 母题结构 :如何建立恰当的空间直角坐标系？ 解 题 程序 :空间直角坐标系的建立有两种方法 :就体建系 :首先是寻找 z 轴 ,即寻找几何体的一个顶点在底面内的射影点 ,或寻找一条直线与底面垂直 ;一般情况都是把几何体的底面放置在 面 ,然后 ,在底平面内寻找两条互相垂直的直线 ,确定 x,y 轴 ;构体建系 :把题中的几何体放置到长方体 ,或正方体中 ,借助长方体 ,或正方体 ,建立空间直角坐标系 . 子题类型 :(2005 年辽宁高考试题 )己知三 棱锥 E、 F 分 别 是 中点 , 是正三角形 ,( )证 明 :面 ( )求二面角 平面角的余弦 值 ; ( )若点 P、 A、 B、 C 在一 个 表面 积为 12的球面上 ,求 长 . 解析 :( )设 正 边长为 2a,则 F=E=F=BF=a,由 B= 2 a,又因1 2 a 面 ( )由 ( )知 两 互相垂直 ,且 B=2 a,分 别 以 在直 线为 x、 y、 z 轴 建立空 间 直角坐 标 系 ,如 图 ,则 A( 2 a,0,0),B(0, 2 a,0),C(0,0, 2 a);平面 m=(0, 0,1),平面 法向量 为 n=(1,1,1),由 3 二面角 平面角的余弦 值 =33; ( )因球的表面 积为 12 球的半 径 R= 3 ,设 球 心 M(x0,y0,由 |R ,|R ( a)2+ 22 a,同理可得 y0=22 a,又由 a= 2 边长 =2 2 . 点评 :就体建系 的关键是在所给的几何体中寻找并证明三条两两互相垂直的直线 ,一般程序如母题所给 . 本 原则 子题类型 :(2015 年课标 高考试题 )如图 ,四边形 菱形 , 200,E,F 分 别是平面 一侧的两点 ,面 F平面 E=2E ( )证明 :平面 面 ( )求直线 直线 成角的 余 弦值 . 解析 :设 于点 G,不妨设菱形 边长为 2,由 200 C= 3 ,D=1;由 13 2 22 ; ( )由 ,3,=49 又 面 平面 面 ( )以 G 为坐标原点 ,C 所在直线分别为 x,y 轴 ,建立空间直角坐标 如图 ,则 A(0,- 3 ,0),C(0, 3 ,0),E(1,0, 2 ), F(,22) (1, 3 , 2 ),( 3 ,22) 33 成角的余弦值 =33. 点评 :建立空间直角坐标系 的基本原则是尽可能多地使顶点在坐标轴上 ,或坐标平面内 ;如 能 充 分利用图形的对称性 ,建立空间直角坐标系 就更恰当了 . 子题类型 :(2006 年江西高考试题 )如图 ,在三棱锥 ,侧面 全等的 直角三角形 ,公共的斜边 ,且 3 ,D=1,另一个侧面 正三角形 . ( )求证 :( )求二面角 余弦值 ; ( )在线段 是否存在一点 E,使 面 300角？若存在 ,确定点 E 的位置 ;若不存在 ,说 明理由 . 解析 :把 三棱锥 置于正方体中 ,如图 ;( )作 面 O,则 O=由 C 面 ( )由 3 ,D=1 C= 2 2 B=,且 别以 在 直线分别为 x、 y、 z 轴 ,建立空间直角坐标 ,则 平面 法向量 m=(1,1,1),平面 法向量 n= (0,1,1) 6 二面角 余弦值 =36; ( )设 E(0,t,10=21 t=1存在点 E(0,12),使 面 300角 . 点评 :构体建系的关键是把题中的几何体放置到长方体 ,或正方体中 ,从理 论 上讲 ,任何几何体都能放置到长方体中 ,但要 尽可能多地使 几何体的 顶点在 长方体的 顶点 ,或在 长方体的面上 . 1.(2010 年课标高考试题 理科 )如图 ,已知四棱锥 底面为等腰梯形 ,C 足为 H,四棱锥的高 ,E 为 点 . ( )证明 :( )若 00,求直线 平面 成角的正弦值 . 2.(2013 年课标 高考试题 )如图 ,三棱柱 B, 00. ( )证明 :( )若平面 面 B=直线 平面 3.(2008 年北京高考试题 )如图 ,在三棱锥 ,C=2, 00,P=C ( )求证 :( )求二面角 余弦值 ; ( )求点 C 到平面 距离 . 4.(2004 年全国 高考试题 )三棱锥 ,侧面 底面 直 ,B=. ( )求证 :( )设 C=2 3 ,求 平面 成角的大小 ; 5.(2005 年广东高考试题 )如图所示 ,在四面体 ,己知 C=6,B=10, 34 . F 是线段 一点 ,41715,点 B 上 ,且 ( )证明 :面 ( )求二面角 余弦值 . 6,(2007年天津高考试题 )如图 ,在四棱锥 面 B C 00,B=是 ( )证明 : ( )证明 :面 ( )求二面角 余弦值 . 以 H 为坐标原点 ,B,在直线分别为 x,y,z 轴 ,建立空间直角坐标如图 , ( )不妨设 A(2a,0,0),C(,0),P(0,0,h),则 B(0,2a,0),D(0,) E(a,) (a,h),(2a,0) a( 0=0 ( )不妨设 6 ,则 B=2 3 ;由 00 H=;又由 00 B= 6 3 A(2 3 ,0,0),D(0,),P(0,0,2 3 ),E( 3 ,) =( ,0,2 3 );设平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 3 ,z=0, 令 x=1 得 :m=(1, 3 ,0) 直线 平面 成角的正弦值 =|42. ( )取 ,连接 1B;由 B 00 平面 ( )不妨设 ,以 O 为原点 ,在直线为 x 轴 ,y 轴 ,在 直线为 z 轴 ,建立如图直角坐标系 ,则 A(1,0,0), 3 ,0),B(,0)， C(0,0, 3 ),2, 3 ,0); 设 m=(x,y,z)为平面 法向量 ,由 m 0,m 10 x+ 3 z=0,3 y =0,令 x= 3 得 :m=( 3 ,1, 直线 成角的正弦值 =|510. ( )取 点 D,由 P C 平面 ( )由 C 平面 别以 在直线分别为 x、 y、 z 轴 ,建立空间 直角坐标 ,则 A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2) 平面 法向量 m=(1,1,1),平面 法向量 n=(0,1,0) 3 二面角 余弦值 =33; ( )由 (2,0,0) 点 C 到平面 距离 d=|= 332 . ( )取 ,由 C 由 侧面 底面 底面 B=( )由 B=,C=2 3 B=6 ,3 ,以 在直线分别为 x、 y、 z 轴 ,建立空间直角坐标 ,如图 ,则 (0, 6 ,0),平面 法向量 m=(1,1, 2 ) 1 =3 平面 6 . ( )在 ,由 ,0, 理可证 :A 平面 平面可 把 四面体 置于 长 方体中 ,如图 : ( )在 由 0, 34 ,41715 B 由 面 ( )以 A 为坐标原点 ,分别以 在直线为 y、 z 轴 ,建立空间直角坐标 ,如图 ,由平 面 法向量 m=(0,0,1),平面 法向量 (6,8, 343 二面角 余弦值 =343. 不妨设 ,则 B=C=2 3 ,以 A 为坐标原点 ,分别以 在直线为 x、 z 轴 , 建立空间直角坐标 ,如图 ,则