16_4256758_27.椭圆共轭直径的特殊性质及应用

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 椭圆共轭直径的特殊性质及应用 由椭圆共轭直径的 特殊 性质 生成 的 高考试 题 每一个数学问题都有它 的本质 ,面对一个问题 ,如果只看到它的表层 ,就无法深人到内核 ,从而看不透问题的本质 ,正所谓“不识庐山真面目 ,只缘身在此山中” ,只有 揭示问题的本质 (母题 ),才能 使 问题的解决变得简单而自然 . 母题结构 :己知 A(x1, B(x2,椭圆 G:222(ab0)上满足 :22121 的 任 意两点 . 若 、是非零常数 ),则动点 P 的轨迹方程是222 2+ 2,特别的 ,点 P 在 椭圆 G 上 2+ 2=1; 若 M 为线段中点 ,射线 椭圆 C 与点 P,则 2 母题 解 析 : 设 P(x,y),由 x= x2,y= 22221 )(a +2221 )(b = 2 (221212 (22121 2(22222 2+ 2;由 点 圆 222 2+ 2=1; 设 (t0),由 M 为线段 中点 2121 22 (2t)2+(2t)2=1 t= 2 2 子题类型 :(2011 年 重庆 高考 理科 试题 )如图 ,椭圆的中心为原点 O,离心率 e=22,一条准线的方程为 x=2 2 . ( )求该椭圆的标准方程 ; ( )设动点 P 满足 2其中 M,N 是椭圆上的点 M 与 斜率之积为 是否存在两个定点 得 |定值 ？ 若存在 ,求 若不存在 ,说明理由 . 解析 :( )设 椭圆 :222(ab0),则 e=2, 2 a=2,c= 2 椭圆 的标准方程 :42x+22y=1; ( )设 P(x,y),M(x1,N(x2,由 21 ;由 2 x=x2,y=+ 2(=(4(4(20 点 P 的轨迹 是左 、 右焦点 分别 为 10 ,0)、 10 ,0)的椭圆 存在两个定点 得 |4 5 为定值 . 点评 :母题 可拓展为 :若 A、 B 为椭圆 G:222(ab0)上的两点 , 、是非零常数 ),则 点 上 ( 2+ 2-1) (0. 平方和定值 子题类型 :(2005 年全国 I 高考试题 )己知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上 ,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、 B 两点 , a=(3,线 . ( )求椭圆的离心率 ; ( )设 M 为椭圆上任意一点 ,且 , R),证明 : 2+ 2为定值 . 解析 :( )设椭圆方程为222(ab0),A(x1,B(x2,则21 21 21 21 =- 22由 1 21 =121 21 = 由 (x1+x2,y1+ a=(3,线 21 21 = 2231 e= 361 22 ( )由 ( )知椭圆 :由直线 AB:y=y1+y2=x1+x1+c,y1+c (x1+3(y1+=12 ;设 M(x,y),则由 x= x2,y= ( +3( =3 2(3 2(+2 (33 2+ 2)+2 (3 2+ 2=1 为定值 . 点评 :母题 的一个特殊情况 为 :斜率为 椭圆 G:222(ab0)的右焦点 、 若 (b2)k2= 、是非零常数 ),则 点 上 2+ 2=1. 子题类型 :(2013年山东高考试题 )在平面直角坐标系 已知椭圆 ,焦点在 短轴长为2,离心率为22.( )求椭圆 C 的方程 ; ( )A,上满足 射线 与点 P,设 求实数 t 的值 . 解析 :( )设椭圆 C:222(ab0),由 2b=2,e=22122 a= 2 ,b=1 椭圆 C:22x+; ( )设 A( 2 ,B( 2 ,0 0) t=2 或332. 点评 :利用母题方法易得如下一般性的结果 :若 A,上满足 ,射线 椭圆 ,则 24112 1.(2011 年 重庆 高考 文科 试题 )如图 ,椭圆的中心为原点 O,离心率 e=22,一条准线的方程是 x=2 2 .( )求椭圆的标准方程 ; ( )设动点 P 满足 :2其中 M,N 是椭圆上的点 ,直线 斜率之积为 问 :是否存在定点 F,使得 |点 P 到直线 l:x=2 10 的距离之比为定值？若存在 ,求 F 的坐标 ;若不存在 ,说明理由 . 2.(2009 年全国 高考试题 )已知椭圆 C:2222 =1(ab0)的离心率为 33 ,过右焦点 F 的直线 相交于 A、 B 两 点 ,当 L 的斜率为 1 时 ,坐标原点 O 到 L 的距离为22.( )求 a, ( )C 上是否存在点 P,使得当 L 绕 F 转到某一位置时 ,有 立？若存在 ,求出所有的 P 的坐标与 L 的方程 ;若不存 在 ,说明理由 . 3.(2011 年全国 高考试题 )已知 O 为坐标原点 ,F 为椭圆 C:2y=1 在 y 轴正半轴上的焦点 ,过 为 - 2 的直线 交于 A、 B 两点 ,点 P 满足 =0. ( )证明 :点 上 ; ( )设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明 :A、 P、 B、 Q 四点在同一圆上 . ( )设 椭圆 :222(ab0),则22122,2222 2 , 椭圆的标准方程42x+22y=1; ( )设 P(x,y),M(x1,N(x2,则由 直线 N 的斜率之积为 112 ;由 2 x=x2,y= , +2(=(4(4(20202x+102y=1 动点 P 的轨迹是椭圆 :202x+102y=1,其右焦点 F( 10 ,0),右准线为 直线 l:x=2 10 |点 P 到直线 l:x= 2 10 的距离之比为定值 e=22. ( )由 离心率为33 221 33 3222 时 ,直线 y=由坐标原点到 2c=22 c=1 a2= , a= 3 ,b= 2 ; ( )由 ( )知椭圆 23 22 =1,即 2,右焦点 F(1,0),设 A(x1,B(x2, 2,2,由 P(x1+x2,y1+假如 ,使得 ,则 2(x1+3(y1+=6 2=0;当直线 l 的斜率不存在时 , =(2,0) P(2,0),此时点 P 不在椭圆 C 上 l 的斜率存在时 ,设直线 l 的方程 为 :y= k(代入 2 得 :(2+3k2) x1+2326 ,232 63 k2(22324 22232 63 +322324 +3=0 x1+3 ,y1+y2=k(x1+(i)当 k= 2 时 ,P(23 , 22 ),直线 y= 2 ();当 k=- 2 时 ,P(23,22),直线 l 的方程为 y=- 2 ( ( )设 A(x1,B(x2,由 F(0,1) 直线 l:y=- 2 x+1,y=- 2 x+1 与 2y=1 联立得 :4 x1+22 y1+ 2 (x1+2=