15_6424912_39.给你一招鲜.妙解一类题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 给你一招鲜 两 曲线 上两点与原点连线为直 角 的 有关 问题 的 解 法 在 近几年的高考试题中 ,流行着满足 ,题 ,该类 问题 综合性強 ,解法灵 活 ,已构成高考命题新的生长点 ;我们 通过如下母题 ,给你一招鲜 母题结构 :已知 |r,|R,且 点 P(,则点 Q( . 母题 解 析 :如 图 ,设 ,则 点 P(,且 900 Q( 900), 900),即 点 Q( ; 由此可得 :若点 P(a+b+,则点 Q(a b ; 子题类型 :(2012 年上海 高考试题 )在平面直角坐标系 ,已知双曲线 . ( )过 1的一条渐进线的平行线 ,求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的三角形的面积 ; ( )设斜率为 1 的直线 l 交 、 Q 两点 ,若 l 与圆 x2+相切 ,求证 :( )设椭圆 x2+,若 M、 N 分别是 且 证 :O 到直线 距离是定值 . 解析 :( )双曲线 (),渐进线 :y= 2 x;不妨设渐进线的平行线 :y= 2 (x+22),与 y=- 2 x=y=21 围成的三角形的面积 =21|y|=82; ( )设 P(x1,Q(x2,直线 l:y=x+t;由 x2+相切 ;由 12 22 yx x1+t,3 x1+t)(x2+t)=2x1+x2)t+6+2t2+ ( )设 |r,|R, ,则 M(,N( =1, =121r+21R=3 O 到直线 距离 =22 33是定值 . 点评 :本题的 第 ( )问是平凡的 ,第 ( )问再考 高考 曾经的热点 ,只有第 ( )问具有新意 ,基本特点是满足 ,不同与 第 ( )问 的热点问 题 :点 P,该题是该类问题的开创范例 ;命题组给出的解答是分类证明 ,较繁杂 ,以上解答 简 单 直接 ,一步到位 . 子题类型 :(2014 年北京 高考 文科 试题 )已知椭圆 C:. ( )求椭圆 C 的离心率 ; ( )设 O 为原点 ,若点 A 在直线 y=2 上 ,点 B 在椭圆 C 上 ,且 线段 度的最小值 . 解析 :( )由 , 椭圆 C 的离心率 e=22122; ( )设 |r,|R, ,则 +900,2,B( +900), +900),即 B( (2+2(2=4 22 |=2=2 22 =21(2(2 22 )21(2+2)2=8 | 2 2 ,当 1,0 时 ,等号 成立 度的最小值 =2 2 . 点评 :本题与例 1具有异曲同工 之妙 ,满足 P,Q,在 例 1中 ,分别在 曲 线 C1:,C2:(a1+b2=则2| 1| 1在本题中 ,分别在 曲 线 C1:y=22 ,则2| 1| 1 子题类型 :(2000 年全 国高中数学联赛试题 )已知 C0:x2+ 和 22(ab0)当且仅当 a,b 满足什 么条件时 ,对 ,均存在以 P 为项点 ,与 与 证明你的结论 . 解析 :由切线长定理易知 ,圆外切平行四边形是菱形 ;(必要性 )若 菱形 的两个顶点是 轴端点 a,0),A2(a,0)时 ,由 菱形 的对角线互相垂直平分 菱形 的另两个顶点必是 端点 ,b) 菱形 其中一边 ax+;由 0相切 21a+21b=1; (充分性 )若21a+21b=1,设 P(是 Q( +2), +2)是 设点 P、的对称点分别为 R、 S,则四边形 1的内接 菱形 ;由22)+22)=1,22)2 +22)2 =12| 1| 11r+21R=(2222+(2222=21a+21b=1;又在 点 21d= 2| 1| 1 d=1 菱形 点评 :本题结论可推广到 :椭圆 G: 222(ab0)的所有内接菱形 x2+222ba 1.(2014 年北京 高考 理科 试题 )已知椭圆 C:.( )求椭圆 C 的离心率 ; ( )设 若 点 上 ,点 y=2 上 ,且 直线 圆 x2+ 的位置关系 ,并证明你的结论 . 2.(2015 年 陕西 高考试题 )已知椭圆 E:222(ab0)的半焦距为 c,原点 O 到经过两点 (c,0), (0,b)的直线的距离为21c.( )求椭圆 E 的离心率 ; ( )如图 ,圆 M:(x+2)2+(=25的 一 条 直径 ,若椭圆 E 经过 A、 B 两点 ,求椭圆 E 的方程 . ( )由 , 椭圆 e=22122;( )设 |r,|R, ,则 +900,A(r ,B( +900), +900),即 B(,其 中 ,2,(2+2(=4 r2(2 =421R+21r=41(2=21;由 直线 x+( 原点O 到 直线 距 离 d=22 )c o ss s o s( =22 2 直线 圆 x2+ 相切 . (