14_5042184_11.立体几何的模型解题理论

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 立体几何的 模型解题理论 模型 解题法 总论 现行高中立体几何有两种解题理论 :一是以欧式几何中的公理、定理及推论为基础 ,以逻 辑 推理为手段综合分析法 ;二借助空间直角坐标系 ,以向量为主要工 具的解析 向量法 ;实质上 ,立体几何问题 大都以某空间几何体为载体的 ,因此 ,我们可以 另辟蹊径 ,着意于 几何体 的研究 ,尤其是 几何体 的类型、生成 ,即从 模型的 角度 ,通过寻找构造 几何体 的“原型几何体”或 “原 子 几何体” ,来探索 立体几 何问题 ,此种解题方法我们称之为模型解题法 . 母题结构 :探讨模型解题理论 ,即 模型解题 方 法 . 解 题 程序 :立体几何 中 ,多面体 的“原型几何体” 是平行六面体 (包括正方体和长方体 );多面体 的“原 子 几何体” 是四面体 (包括正四面体、直角四面体和“鳖臑” (四个面均是直角三角形的四面体 )等 ;模型解题法 : 把题中的几何体放置于“原型 体” 中 ,利用 “原型 体” 模型 ,解 决问 题 ; 寻找构造题中几何体的 “原 子 体” ,通过 “原 子 体” ,解 决问 题 . 子题类型 :(1993 年 上海 高考试题 )设 a、 b 是两条异面直线 ,在 下列命题中正确的是 ( ) (A)有且仅有一条直线与 a、 (B)有一平面与 a、 b 都垂直 (C)过直线 a 有且仅有一平面与 b 平行 (D)过空间中任一点必可作一条直线与 a、 b 都相交 解析 :构造 长方体 直线 a 为 线 b 为 图 : 则由 a,b 平行于 线 c,均有 C a,c b (A)错误 ;若 平面 满足 a ,b a b,矛盾 (B)错 误 ;由 相交直 线 定唯一平面 (C)正确 ;若 点 为 C, 则过点 C 且与 交 的 直 线 ,又因 平面 直 线 m 与 b 不 相交 (D)错误 C). 点评 :长方体 是最具模型功能的“原型几何体” ,如 长方体 面直线 型 , 面直线 1异面直线 1长方体 的高 . 子题类型 :(2011 年 湖北 高考试题 )如图 ,已知正三棱柱 ,侧棱长为 3 2 , 点 E 在侧棱 点 F 在侧棱 且 2 ,2 . ( )求证 : ( )求二面角 解析 :由 F=6 ,1F=2 3 1F F 四面体 图所示 ;( )由 F 平面 )由 F 二面角 面 角 ;又由 平面 F=6 50 二面角 450. 点评 :最具解题功能的“原子几何体”是“鳖 臑 ” ,解答本题的关键是发现 四面体 “鳖 臑 ” ; 关于“鳖 臑 ” 更深入 的 解题功能 ,将在以后的中研究 . 子体 子题类型 :(2015 年 浙江 高考试题 )如图 ,斜线段 平面所成的角为 600,B 为斜足 , 平面上的动点 P 满足 00,则点 P 的轨迹是 ( ) (A)直线 (B)抛物线 (C)椭圆 (D)双曲线的一支 解析 :由动点 P 满足 00 动点 P 在以点 A 为顶点、直线 轴的圆锥 面 上 ;又由 斜线段 00 点 一个与圆锥 轴线 600角的平面 截圆锥 A 所得图形为椭圆 C). 点评 :设 圆锥 的轴线与母线所成角为 ,轴线与 截面 所成角为 ,则 :当 =900时 , 1A 圆 ;当 900时 ,截线 是 椭圆 ;当 =时 ,截线 是 抛物线 ;当 00 时 ,截线 是 双曲线 . 1.(2007 年 浙江 高考试题 )若 条异面直线 l,m 外的任意一点 ,则 ( ) (A)过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行 (B)过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直 (C)过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交 (D)过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面 2.(1986年全国高考试题 )在正方形 E、 12现在沿 个四面体 ,使 重合后的点记为 在四面体 必有 ( ) (A) (B) (C) (D) 3.(2010 年 重庆 高考试题 )到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 ( ) (A)只有 1 个 (B)恰有 3 个 (C)恰有 4 个 (D)有无穷多个 4.(2008 年四川高考试题 )己知直线 l 平面 ,经过外一点 A与 l、都成 300角的直线有且仅有 ( ) (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条 5.(2008 年 浙江 高考试题 )如图 ,平面 的斜线段 ,A 为斜足 ,若点 P 在平面 内运动 , 使得 面积为定值 ,则动点 P 的轨迹是 ( ) (A)圆 (B)椭圆 (C)一条直线 (D)两条平行直线 6.(2004 年 天津 高考试题 )如图 ,定点 都在平面 内 ,定点 P , ,C 是 内异于 A 和 B 的动点 ,且 动点 C 在平面 内的轨迹是 ( ) (A)一条线段 ,但要去掉两个点 (B)一个圆 ,但要去掉两个点 (C)一个椭圆 ,但要去掉两个点 (D)半圆 ,但要去掉两个点 7.(2012 年课标高考试题 )如图 ,在三棱柱 侧棱垂直底面 , 00,C=21D 是棱 ( )证明 :平面 平面 ( )平面 求这两部分体积的比 . 若 过点 l, l m,矛盾 (A)错误 ;由 异面直线 l, 过点 直线只有 一条 (B)正确 ;对于 (C)(D),构造 异面直线 模型 :长方体 l,A B 为直线 m;若点 1点 ,则显然无法作出直线与两直线都相交 (C) 错误 ;若 2点 ,则由图中可知直 线 及 D l、 (D)错误 B). 由 理可得 四面体 直角 四面体 ,放 置于长方体中 A). 在 长方体 互相垂直的异面直线 ,则 线 段 D 与 相等 D). 过点 A 且与平面成 300角的直线构成以 A 为顶点的圆锥 面 ;又因 直线 直线 l 成 300角 ,过 圆锥 底 面圆 心 O,作与 直线 l 平行的 直线 与 圆 O 交于 B、 C 两点 ,则 满足条件 的直线 有且仅有 条 B). 由 线段 定长线段 ,而 面积为定值 动点 P 到线段 距离也是定值 点 P 在以 轴的圆柱侧面上 动点 P 的轨迹是一个平面去斜切一个圆柱得到的切痕是椭圆 B). 由 点 点 内的轨迹是平面