14_5042171_28.长方体的模型功能之底面为菱形的四棱锥

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 长方体的模型功能之底面为菱形的四棱锥 模型解题法之 七 因为矩形四边中点连线构成 菱形 ,所 以 ,底面为 菱形 的四棱锥是长方体的子体 ,长方体 模型可衬 托 该 子体的 结构特征 ;以 菱形 为底面的四棱锥是高考试题的 又一 重要载体 . 母题结构 :已知 在如图所示的 长方体 中 ,A、 B、 C、 D、 方体 所在棱的 中点 ,试 在 以 菱形 底面 的四棱锥 ,分析其中的垂直关系 ; 母题 解 析 : 在 四棱锥 ,直线 直线 平面 面 平面 在 四棱锥 ,直线 直线 平面 面 平面 在 四棱锥 ,直线 平面 两垂直 . 子题类型 :(2013年 安徽 高考试题 )如图 ,四棱锥 的菱形 , B=, 6 . ( )证明 :( )若 E 为 中点 ,求三棱锥 体积 . 解析 :( )把 四棱锥 ,如图 ,设 于点 O,则 C= 3 ,D=1, D 面 ( )由 三棱锥 三棱锥 三棱锥 41 D=2 3 ,又 6 面 四 棱锥 积 =2 三棱锥 体积 =21. 点评 :对 以菱形为底面的四棱锥 ,先把底面菱形放置于长方体的下底面上 ,然后在长方体的上底面内确定顶点 的位置 . 子题类型 :(2008 年 安徽 高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,底面 边长为 1 的菱形 , ,面A=2,M 为 中点 . ( )求异面直线 D 所成角的大小 ; ( )求点 B 到平面 距离 . 解析 :( )把 四棱锥 ,如图 ,由 异面直线 成的角 (或其补角 );由 底面 A , 2 ;作 ,由 2 6 3 直线 成角的大小 =3; ( )由 面 点 B 到平面 距离 =点 A 到平面 距离 =点 A 到 直线距离 d;由 d=23 d=22 2 d=32. 点评 :对以菱形为底面的四棱锥 问题 ,首先把它 放置于长方体 中 ,充分发挥 长方体 的衬 托 功能 ,把握其结构 ,解决问 题 . 法 子题类型 :(2015 年课标 高考试题 )如图 ,四边形 菱形 ,C 与 交点 ,面 ( )证明 :平面 面 ( )若 200,棱锥 体积为36, 求该三棱锥的侧面积 . 解析 :( )由 面 在 菱形 平面 平面 面 ( )设 菱形 长为 a,由 200 C=23a,D=21a;由 13a 2a;由 三棱锥=3121466 a=2 21;由 ,6 ,6 面积 = 5 该三棱锥的侧面积 =3+2 5 . 点评 :对以菱形为底面的四棱锥 问题 ,把它 放置于长方体 中 分析求解 ,是解该载体 问题 的 基本方法 . 1.(2014年 重庆 高考试题 )如图 ,四棱锥 底面是以 底 面 B=2, ,C 上一点 ,且 1. ( )证明 :平面 ( )若 四棱锥 体积 . 2.(2004 年 湖南 高考试题 )如图 ,在底面是菱形的四棱锥 , 00,C=a,D= 2 a,点 E 是 中点 . ( )证明 :面 B平面 ( )求以 棱 , 面的二面角的正切值 . 3.(2013 年 重庆 高考试题 )如 图 ,四棱锥 ,面 A=2 3 ,D=2, , ( )求证 :面 ( )若侧棱 的点 F 满足 三棱锥 体积 . 4.(2013 年 浙江 高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,平面 B=,D= 7 , 3 , 200,G 为线段 的点 .( )证明 :平面 ( )若 G 为 中点 ,求 平面 成的角的正切值 ; ( )若 G 满足 平面 ( )由 底面 由 3 , 00,3 平面 ( )由 3 四棱锥 体积 V=165. ( )由 A 面 于点 P,则 面 ( )分别取 中点 H、 F,则 1a,3a 32. ( )由 面 由