3_8064979_4.立体几何解题策略之二面角求法

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 565 中国 高考数学母题 (第 166 号 ) 立体几何解题策略之二面角 求法 用 平面的 法向量求二面角或求二面角 的余弦值 时 ,涉及到 判断二面角是锐角还是钝角 ,如何判断二面角是锐角还是钝角？ 求二面角或求二面角 的余弦值 还有无其它方法 ？ 母题结构 :( )(判定方法 )若 二面角 平面 角 是 ,在半平 面 内取点 P,则 : 是锐角 点 P 在 平面 内 的 射影点在 半平 面 内 ; 是钝角 点 P 在 平面 内的 射影点不在 半平 面 内 ; ( )(方向关系 )若 二面角 平面 角是 , 的法向量 ,平面 的法向量 ,则 : 两个 法向量 的方向一个向二 面角 的 内 部 ,另一个向二 面角 的外部 , ; 两个法向量 的方向 均 向二 面角 的 内 部 ,或均 向二 面角 的外部 设 ( )(另类求法 )设点 A,C 分别是二面角 棱 l 上的两点 ,点 B,D 分别在半平面 , 内 ,且 l,l,则 夹的角就是二面角 平面 角 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2016 年 高考 全国 乙 卷 试题 )如图 ,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中 , 面 正方形 , 00,且二面角 二面角 是 600. ( )证明 :平面 平面 ( )求二面角 余弦值 . 解析 :( )由 正方形 由 00 平面 平面 平面 ( )以 E 为原点 ,建立坐标系 如图 ,设 a,则 B(0,4a,0),C(a,0, 3 a),A(4a,4a,0) (0,4a,0),(a,3 a),(,0);设平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0, m 0 m=( 3 ,0,同理可得 :平面 法向量 n=(0, 3 ,4) (点 E 在 平面 的 射影点不在 半平 面 )二面角 余弦值 =-|点评 :若二面角 则 : 当是锐角时 ,|当是钝角时 ,-| 同 类 试题 : 1.(2014 年课标 高考试题 )如图 ,三棱柱 侧面 菱形 , )证明 :( )若 00,C,求二面角 弦值 . 2.(2011 年课标高考试题 )如图 ,四棱锥 ,底面 00,D底面 ( )证明 : ( )若 D,求二面角 余 弦值 . 系 子题类型 :(2015 年 浙 江高考试题 )如 图 ,在三棱柱 00,C=2,射影为 中点 ,D 是 中点 .( )证明 :平面 )求二面角 解析 :( )设 中点 为 O,则 C 平面 面 平面 ( )在长方体中作出 三棱柱 以直线 x、 y、 z 轴 ,建立空间直角坐标系 ,如图 ,则B( 2 ,0,0),0, 14 ),2 , 2 , 14 ),D(0, 2 , 14 );则 平面 法向量 m=( 7 ,0,1)(向二 面角 的 内 部 ),平面 法向量 n=(0, 7 ,向二 面角 的外部 ) 81 二面角 F 566 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 点评 :利用平面法向量的方向与二面角的大小关系 ,求二面角的平面角的余弦值 ,关键是判 断 平面法向量的方向 ,平移向量是判 断 平面法向量方向的有力手段 . 同 类 试题 : 3.(2010 年 重庆 高考试题 )如 图 ,四棱锥 底面 底 面 A=6 ,点 E 是棱 中点 . ( )求直线 平面 距离 ; ( )若 3 ,求二面角 平面角的余弦值 . 4.(2011 年 辽 宁高考试题 )如图 ,四边形 正方形 ,平面 DB=21( )证明 :平面 平面 ( )求二面角 余弦值 . 子题类型 :(2013 年 大纲 高考试题 )如图 ,四棱锥 , 00, 是等边三角形 . ( )证明 : ( )求二面角 大小 . 解析 :( )取 中点 E,连结 正方形 ,过 P 作 平面 足为 O; 由 是等边三角形 B=B=点 O 为正方形 角线的 交点 D 的中点 E 是 中点 ( )以 O 为坐标原点 ,方向为 x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 设 且 0,则 成的角就是二面角 平面角 ;由 且 0 =1 二面角 余弦值 =点评 :这种方法就是要分别过两个半平面内的点 (两点在棱上时可以重合 )作与棱垂直的向量 ,这两个向量所成的角就是二面角的平面角 . 同 类 试题 : 5.(2013 年 山东 高考试题 )如图所示 ,在三棱锥 ,平面 A=,C,E,F 分别是 Q,中点 ,D 与 于点 G,Q 交于 点 H,连接 )求证 : ( )求二面角 余弦值 . 6.(2012 年浙江高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,底面是边长为 2 3 的菱形 ,且 200,且 平面 A= 2 6 ,M,N 分别为 D 的中点 . ( )证明 :平面 ( )过点 Q 足为点 Q,求二面角 平面角的余弦值 . 7.(2015 年 重庆 高考试题 )如图 ,三棱锥 ,面 C=3, ,D,E 分别为线段 且 E= 2 ,. ( )证明 :面 ( )求二面角 余弦值 . 8.(2007 年 安徽 高考试题 )如图 ,在六面体 四边形 边长为 2 的正方形 ,四边形 的正方形 ,平面 平面 . ( )求证 :C 共面 ,D 共面 ; ( )求证 :平面 平面 ( )求二面角 大小 (用反三角函数值 表 示 ). 9.(2005 年 全国 高考试题 )已知四棱锥 底面为直角梯形 , 00, 底面 D=1,M 是 中点 .( )证明 :面 ( )求 B 所成的角 ; ( )求面 面 成二面角的大小 . ( )设 1,在 菱形 平面 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 567 由 O 是 ( )由 C,由 C 在直线分别为 x,y,z 轴 ,建立空间直角坐标如图 ,不妨设 ,则 ,由 600 3 A(0,0,1),B( 3 ,0,0),1,0), 3 ,0,0) 11(- 3 ,0,1);设平面 m= (x,y,z),由 m 110,m 110 m=(1,- 3 , 3 );同理可得 :平面 n=(1, 3 , 3 ) 1 二面角 弦值 =71. ( )在 , 00, 面 面 ( )不妨设 D=1,由 3 ;以 D 为坐标原点 ,B,x, y,z 轴 ,建立空间直角坐标如图 ,则 A(1,0,0),B(0, 3 ,0),C(3 ,0),P(0,0,1);设平 面 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m=(0,1, 3 );同理可得 :平面 n=(- 3 , 3 ) 二面角 余弦值 =772. ( )以 A 为坐标原点 ,射线 别为 x 轴、 z 轴 正半轴 ,建立空间直角坐标系 如图 ,设 AD=a,则 (26,0,26),(- 6 ,0, 6 ) 0 平面 直线 平面 距离 =|= 3 ; ( )由 3 D(0, 3 ,0),C( 6 , 3 ,0);设平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m=(1,- 2 ,(向外部 );同理可得 平面 法向量 n=(0,1, 2 )(向外部 ) 33 二面角 余弦值 =33. ( )在长方体中作出几何体 ,并分别以直 线 x、 y、 z 轴正方向 ,建立空间直角 坐标系 ,如图 ,不妨设 ,则 (1,),(1,1,0),(0,0,1) 0, =0 Q 平面 平面 平面 ( )设 平面 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 ,令 y=1得 m=(1,1,1)(向二 面角 的外部 ),同理可得 平面 法向量 n=(0,1,2)(向二 面角 的外部 ) 15 二面角 余弦值 =( )由 别为 中位线 C 面 ( )在 ,D= B 为坐标原点 ,分别以 Q,在直线为 x 轴 , y 轴 ,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ,设 P=,则 是二面角 平 面角 二面角 余弦值 =( )由 M,N 分别为 D 的中点 平面 ( )建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 中点 H(23,0, 6 );由 Q(334,0,362) (0,- 6 ),( 635 ,0,- 36 ),又 (0,3,0) 0, 0 568 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 二面角 平面 角 ;由 333 二面角 平面角的余弦值 =3333. 分别以直线 x、 y、 z 轴 ,建立空间直角坐标系 ,如图 ,则 P(0,0,3); 由 E= 2 , (0,2,0),B(0,3,0),D(1,1,0) A(23,0,0); ( )由 (,0),(1,1,0),(0,0,3) 0, 0 E 平面 ( )平面 法向量 m=(2,1,1),法向量 (,0) 63 二面角 余弦值 =63. ( )由 平面 平面 平面 平面 E 行且等于 理可得 :行且等于 行且等于 C 共面 ,同理可 证 : ( )由 平面 由 平面 平面 ( )以 D 为原点 ,C,x