矩阵在中学数学中的应用研究

宁夏大学新华学院本科毕业设计（2015 届）题目 矩阵在中学数学中的应用研究 系 别 信息与计算机科学系 专 业 数学与应用数学 年 级 2011 级 学生学号 12011247384 学生姓名 刘云霞 指导教师 黄秀花 2015 年 5 月 6 日宁夏大学新华学院本科学位论文I摘 要矩阵是代数学的重要研究对象之一，也是数学以及其它领域研究与应用的重要工具。在高中新课程标准中增加了矩阵与变换选修专题，以往有很多矩阵教学方面的研究，本文主要在已有的研究背景下，研究矩阵在中学数学中的应用。本文首先综述了矩阵与变换的产生及发展，国内外的课程设置情况以及应用矩阵知识解决常见问题。在文中给出了有关矩阵与变换的教学案例，针对资料的搜集，通过对新课标使用调研的材料搜集调查，发现矩阵在中学数学中的应用。最后通过举例，计算等过程发现将矩阵及其变换应用到高中数学，可以使学生将数学中原本复杂深奥的问题变得一目了然，豁然开朗，为解题带来方便，激发学生学习兴趣，勇于探索的精神。矩阵的应用这部分的内容教学让学生认识到，矩阵从实际生活需要中产生，并在实际生活中有着广泛的应用，体验问题的抽象更有助于人们对问题的思考和解决。关键词：矩阵；新课标；研究宁夏大学新华学院本科学位论文IIAbstractMatrix is one of the most important research objects in algebra, and also an important tool of research and application in mathematics and other fields. In new curriculum standards for senior high school, the matrix and transform have been taken as an elective course. There have been many teaching researches about matrix. In this paper, starting from the two aspects of students and teachers, we mainly study the researches for senior high school based on the existed researches.This paper summarizes the development of matrix and transformation, situation at home and abroad, as well as knowledge of matrix to solve common problems. Several matrices and transforms for teaching are given in the text based on data collection, based on the new curriculum using research materials collected survey finds matrix application in middle school mathematics. Finally, by way of example, calculation process applies the matrix and its transformation to high school math, you can make complex esoteric in students mathematical problem becomes oclear, and suddenly bring convenience for problem solving, to stimulate students interest in learning, for the spirit of exploration.Matrix teaching to enhance students understanding of the contents of the application of this part to the matrix generated from real-life needs, and has been widely used in real life, experience the problem of abstraction helps people to think and solve problems.Key words: Matrix ; New curriculum standard; Research宁夏大学新华学院本科学位论文III目 录第 1 章 绪言 .11.1 选题的背景 .11.2 选题问题的研究 .11.3 文献综述 .21.3.1 矩阵的产生及发展 .21.3.2 变换的产生及发展 .31.3.3 国外相关文献综述 .3第 2 章 矩阵在中学数学中的基本概念 .92.1 二阶矩阵与线性变换 .92.1.1 矩阵的概念 .92.1.2 二阶矩阵与平面 列向量的乘法 .102.2 二阶矩阵 乘法 .122.3 逆变 换与逆矩阵 .132.3.1 逆变换与逆矩阵及其性质 .132.3.2 二阶行列式与矩阵 .132.3.3 二元一次方程组的矩阵形式 .132.3.4 三阶矩阵与三 阶行列式 .15第 3 章 矩阵在中学数学中的 应用 .183.1 对二元一次方程组的求解 .183.2 求区域面 积之比 .183.3 求平面法向量 .193.4 研究递推数列的周期性 .203.5 利用矩阵的 的变换方法求解曲线方程 .22第 4 章 研究结果 .24参考文献 .25致谢 .26宁夏大学新华学院本科学位论文1第 1 章 绪言1.1 选题的背景随着矩阵越来越广泛的应用，中学数学也引入了一系列矩阵变换的内容，从二阶矩阵起步，主要学习矩阵的概念，二阶矩阵与平面向量，常见的平面变换，矩阵的和与矩阵的乘法，二阶逆矩阵到二阶矩阵的特征值和特征向量以及二阶矩阵的简单应用。我国从 2000 年 6 月起，在基础教育课程改革指导纲要等文件精神指导下，开展国内外数学课程比较研究。2002 年 3 月 18 日制订国家高中数学课程标准框架设想，把矩阵纳入中学课程，并要求“矩阵与向量的几何变换相联系” 【1】 。2003 年 4 月教育部制订出版普通高中数学课程标准(实验) ，将“矩阵与变换”纳入选修课程系列 4 作为第 2 个专题，占一个学分 【2】 。2004 年 9 月广东省、海南省、山东省、宁夏回族自治区等四省区开始进入首轮标准的教学实验;2005 年 9 月江苏省开始在普通高中试行学分制管理实验。由此，新一轮普通高中基础教育课程改革教学与管理的实验和研讨正在不断深化。新标准中课程目标、内容、要求、课程设置都有很大的变化，选修系列 4 中，新增设的“优选法与试验设计初步” 、 “风险与决策” ，如今将其引入高中，如何进行教学，学生能否接受等课程大多是在大学中开放的选修课，与以往的教学有什么区别与联系，将成为今后教育研究的一项重点。目前，在我国教育比较前沿的沿海城市，己经着手进行相关内容的教学，其中“矩阵与变换”内容首先被选定，己经纳入相应的考试机制，随着课程改革的不断加强，这一举措必定要在全国范围内开展，我省目前还没有进行相关的教学组织工作。1.2 选题问题的研究2003 年 4 月，教育部颁布了普通高中数学课程标准(实验)(以下简称标准)，标准明确界定了高中数学课程的教学目标、教学内容。为新一轮高中数学课程的改革指明了方向，也为今后高中数学教学的有序进行奠定了基础。 标准依据“构建共同基础，提供发展平台；提供多样课程，适应个性选择”等十条基本理念，将高中数学课程分为必修课与选修课两类，必修课程由 5 个模块组成，选修课程有 4 个系列，其中系列 1、系列 2 分别由若干模块组成，系列 3、系列 4 由若干专题组成，每个模块 2 学分(36 学时)，每个专题 1 学分(18 学时)，并对每个模块、每个专题的所包含的基本内容作了界定，同时对学生选课也提出了相应的建议。这种模块化的结构体现了现代课程设置的科学性、开放性、选择性，重视人文精神、基础与应用并重、多元化评价等理念。值得关注与研究的是，选修课程的各个系列包含了适应社会发展与科技进步要求、与实际生活密切相关的若干内容如开关电路与布尔代数、风险与决策、矩阵与变换等内容。作为线性代数主要研究对象与主要研究工具的矩阵与几何变换的明确入选，在我国高中的数学课程中还是首次。宁夏大学新华学院本科学位论文2虽然高校的数学专业的学生都系统地学过高等代数 、 解析几何等基础课程，但是对高中选修专题“矩阵与变换”的教学内容及教学要求还是感到陌生，而高师生也是未来数学课程改革的实施者，因此，有必要让高师生在走上讲台之前掌握一些选修专题的教学内容，其中也包括“矩阵与变换”这一专题的教学内容、教学要求及现代化的教学手段，为今后在高中开展教学打下一定的基础。因而，选取“高中选修专题矩阵与变换在高师院校教学实验的研究”为自己的课题。本选题主要研究以下问题:(1) 研究国内外“矩阵”相关课程设置及教学实验开展情况，为教学实验的开展提供教育资源。(2) 研究矩阵在中学数学中的基本应用。1.3 文献综述1.3.1 矩阵的产生及发展矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在己成为独立的一门数学分支矩阵论。矩阵(matrix)，诞生于 19 世纪中叶以后， “矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就己经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反 【3】 。英国数学家凯莱(A.Cayley.l 821-1895)一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告 ，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根(特征值)以及有关矩阵的一些基本结果。1855 年，赫尔米特(C.Hermite.1822-1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为赫尔米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch.l 831-1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius.l 849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问宁夏大学新华学院本科学位论文3题。1892 年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。大学线性代数或高等代数中的矩阵内容基本上按以上线索进行安排，讲解矩阵时，是把矩阵作为一个代数对象，注重其代数意义。虽然“数学不过是一种语言或速记，相反地，矩阵和行列式却完全是语言上的改革。 ”虽然“它们都没有深刻地影响数学的进程，然而已经证明这两个概念是高度有用的工具” 。法国数学家、天文学家拉普拉斯(P .S.Laplace(1749-1827)对矩阵和行列式有过这样的评价:“这就是结构好的语言的好处，它的简化的记法常常是深奥理论的源泉。 ”19 世纪末 20 世纪初矩阵已被推广到无限阶，并在群论中发挥作用，同时矩阵元素也由实数域扩充到了抽象域。矩阵已经运用于近代物理中，正如泰勒所预言的“Cayley 正为未来一代物理学家锻造武器” 。以上可以看出，矩阵的发展大部分是代数式的，较少从简单的、直观的几何方面得到解 【4】 。从矩阵的历史发展可以看出，矩阵的出现为表达数据提供了新的工具，现实生活中许多有关数据的问题需要列表表示，而矩阵的本质就是一个数表，是表达现实数据关系的简便有效的工具。因此，数学课程改革中从实际应用中引入矩阵知识为学生提供了一个表达数据的新工具，以便学生更好地学习概率、统计、计数原理等课程，也能使学生更好地适应现实生活的需要。1.3.2 变换的产生及发展变换(transformation)，即运动、变化和对称性。用集合定义为“若对集合 中的M每一个点，在 中都有一个完全确定的元素和它相对应，则说给出了集合 的一个变M换” 【5】 。线性变换的定义是“抽象给出的一组变数的变换通常解释作 n 维空间的变换，即将空间中(或它的一部分)具有坐标 ,的向量用具有坐标 的向量来代12,nx 12,y替” ，即;12212(,)(,)nnnyx 1872 年德国数学家克莱茵(F.Kleinl984-192)发表了著名的埃尔兰根纲领，提出了按照在变换群下保持不变的性质来对几何学加以分类的观点，用群论统一了几何学对近代几何学有重大影响，例如:我们学的欧几里得几何学研究的是保持两点距离不变的变换。旋转、反射、平移都是保持任何两点的距离不变的变换。在高等代数里面还有线性变换一般的线性变换表示为:宁夏大学新华学院本科学位论文411212212nnnnyaxaxb 若 ,则称0(1,2)ibn 11212212nnnnyaxax 是齐次线性变换。线性变换不能保持两点的距离，不能保持图形的形状。但是，可逆的线性变换将直线变成直线，平行直线变成平行直线。因而，可逆的线性变换、平移变换以及它们的复合变换，构成一个仿射变换群，研究这个群下的不变性的几何称为仿射几何 【6】 。线性空间中的每一个齐次线性变换都对应着一个矩阵，变换本身可以用矩阵语言写成 , 是变换的系数矩阵。非齐次线性变换要涉及到矩阵加法，表达为YAX,其中 B 是常数项，并按列写成的 阶矩阵(向量)。考察一个集合的所有nl可能变换时有两种:双侧单值映射(一一对应)及非双侧单值映射，空间到平面上的投影与平面到直线的投影属于后者，没有逆变换。不破坏集合元素间的这些或那些被考虑的联系，称为相应与这些联系的自同构对应，刚体运动中保持点与点间距离不变的变换称为平面运动。从几何角度(二维)解释变换:平移、镜射(反射)、旋转变换是保距变换，不变量是距离、角度，物体形状不变，只是位置变化，是通常意义下的运动变换。位似、伸缩(伸压)、水平推移(切变)变换是仿射变换，不变量是共线三点的简单比。从变换相关知识可以看出，虽然变换的表达形式(坐标表示、矩阵表示)是代数形式的，而描述运动变化现象时，刻画角度是从几何角度出发的，是基于高维(维数本身就是几何概念)进行分析，而很少从简单几何(一维、二维)和现实空间(三维)来描述，这也是高等几何的特点。图形的变换的本质是旧图形与新图形之间的一种映射关系，矩阵可以从代数方面很好的揭示出这种映射关系，这样可以把矩阵和几何图形变换联系起来，为研究映射关系提供一个新的平台。在中学数学中，映射是最重要的基本概念，中学数学新课程体系中，直接与映射有关的内容就有函数、向量、数列、复数、曲线与方程、极坐标与参数方程等十几个方面。但映射的表示方法，中学数学中原来只有解析法、列表法和图像法，而现在新课程改革增加了与映射有关的其他数学知识，这不仅可以开阔高师生的数学知识视野，还可以应对今后高中教学的需要。因此，在高中数学中引入矩阵并使之与几何图形的变换联系起来，要特别重视映射思想及其与矩阵与变换知识间的联系。从矩阵与变换的发展历程可以看出矩阵是数学中的一个重要的概念，它是线性代数宁夏大学新华学院本科学位论文5的主要研究对象之一，并且是解决许多工程问题的有力工具；而变换这个词的意义比较广泛，不仅有矩阵的初等变换，而且还可以有几何的变换，特别是平面几何中关于点的变换。一般地，把平面内的每个点变成同一个平面内的和它相应的唯一的一点，使得旧的图形就可以变成新的图形，这就是平面内的图形的一个变换，变换就是一个映射，换句话说，变换就是从平面内的点的集合到同一个平面内的点的集合的一个映射 【7】 。矩阵是代数学的基本内容之一，变换是几何中的基本内容之一，它们之间存在必然内在的联系，即可用矩阵夹表示各种图形变换，也可以用矩阵来研究几何图形变换。因而，对于当前中学数学课程改革来说， 标准中要求选修专题“矩阵与变换”通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性 【8】 。对数学新课程教材的编写来说，怎样把应用广泛的矩阵内容融入代数教材，以及如何进一步用变换的观念来处理几何教材，都是值得考虑和研究的课题。1.3.3 国外相关文献综述随着数学课程的不断深入，许多国家都在高中阶段开设了矩阵课程，具体的实施情况依各个地区和学校而定。1. 美国1989 年，由全美数学教师协会(NCTM)编制出版的学校数学课程与评价标准 ，这一标准将教学分为 K-4 年级，5-8 年级和 9-12 年级三个阶段，制订了评价数学课程的 14条标准 【9】 ，例如，在 5-8 年级阶段，学生要加强对方程、表达式以及变量的理解，学会从多种角度思考有关线性方程组的各种解题方法，避免机械记忆，在 9-12 年级阶段，标准中有 4 处直接或间接地涉及矩阵与变换的知识，对学生提出更高层次的要求，比如学生要掌握代数变换的技巧方法;熟练应用矩阵运算；具有应用矩阵解决实际问题的能力等。2000 年发表的中小学数学原理和标准以数学内容为主线，提出了数学教学过程的相关建议，并要求能够运用函数、坐标、向量、矩阵等多种手段来描述几何对象 【10】 。美国芝加哥大学最新开发出的包括小学和中学在内的数学系列教材 UCSMP 中，有 6本是针对 7-12 年级的，其中 10 年级的高等代数内容又包括函数、线性函数、差变与图像、矩阵、系统、多项式、级数与组合等，在 11 年级的函数统计和三角学教学中也涉及到了矩阵与三角的内容，以上所述是所有报考大学的学生即将要学习的课程 【11】 。在课程教学中，重点强调实用性，反对机械记忆，同时要兼顾基础教育，奥克兰大学学者 Michael 0. J. Thomas 通过调查研究来了解大学生对矩阵特征值与特征向量的学习情况，从而讲述概念推理和学生学习过程中遇到的困难，进而寻求解决方案，对线性方程组矩阵这一章节，首先给出了矩阵的概念，通过比较分析抽象出利用矩阵解线性方程组的数学思想，继而安排巩固训练及其相关应用，由此可见，矩阵与变换在美国高中数学课程中是重要的选修内容 【12】 。2. 英国宁夏大学新华学院本科学位论文6当前英国实行 5-16 岁义务教育，其中 11-16 岁为初中阶段，在高中阶段实行分流教育，即选择就业的学生将接受职业教育，选择继续深造的学生将会继续攻读 The Six Form 或称大学预科班，学习 A 水准的相应科目，在通过 GCE 考试后，进入大学学习。在A 水平下的第二门数学课程中矩阵则是作为为必须单元的，包括：矩阵的运算、封闭性、随机过程分析、 矩阵的行列式、矩阵的逆、矩阵的特征值及特征向量及其应用、凯2莱定理等 【13】