北航王琪d-ch6C

,2013-4-23,1,理论力学,作业：10-11、思考题10-7,10-2 欧拉动力学方程,欧拉动力学方程是研究刚体 定点运动 和 一般运动 的基本方程,2013-4-23,2,理论力学,问题的引出,应,用,背,景,3,理论力学,问题的引出,问题1： 已知二自由度陀螺的运动，,如何求轴承 C 、 D 的约束力？,问题2： 当硬盘工作时，搬动计算机，为什么易损毁硬盘？2013-4-23,2013-4-23,4,理论力学,问题的引出,笔记本电脑,硬盘自动保护装置,2013-4-23,5,理论力学,问题的引出,计算机硬盘结构示意图,定点运动刚体动力学： 研究力与运动间的关系。问题： 用什么方法建立刚体的运动与其受力间的关系？,A ：动量定理,B ：动量矩定理,C ： 动 能 定 理 ？,2013-4-23,6,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,一、刚体定点运动的动量矩Oxyz 为随体参考系 Oxyz 为惯性参考系,刚体对 O 点的动量矩：,x,y,z,x ,z ,o,ry ,若在 Oxyz 参考系中：,x i , y i , z i ( i = 1 , 2 , L ); x , y , z,是随时间 t 变化的量,若在 Oxyz 参考系 中：,i , j , k ; x , y , z ,是随时间 t 变化的量,L o = M r v d m = M r ( r ) d m= M ( r r ) ( r ) r d m上述矢量在不同参考系中可分别表示为：r = x i + y j + z k or r = x i + y j + z k , = x i + y j + z k,or = x i + y j + z k ,2013-4-23,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,z,z y,o,ry ,2,2,2,+ m i x i z i x y i z i y + ( x i 2 + y i ) z k ,+ m i x i y i x + ( x i 2 + z i ) y y i z i z j ,L Oi = m i ( y i 2 + z i ) x x i y i y x i z i z i ,用随体坐标系描述定点运动刚体对固定点 O 的动量矩,设： m i 是定点运动刚体上的一个质点，其对 O 点的动量矩：L oi = r i m i v i = r i m i ( r i )= m i r i ( r i ) = m i ( r i r i ) ( r i ) r i = x i + y j + z k , r i = x i i + y i j + z i k x xL Oi = m i ( x i 2 + y i 2 + z i 2 ) ( x x i + y y i + z z i ) r i ,整个刚体对 O点的动量矩：L O = L Oi7,2013-4-23,8,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,222222L O = J x x J x y y J x z z i + J x y x + J y y J y z z j + J x z x J y z y + J y z k ,= L Ox i + L Oy j + L Oz k ,讨 论 ： 定 点 运 动 刚 体 动 量 矩 的 最 简 表 达 式,9,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,刚体对 O 点的动量矩： L ox L oz L Ox = J x x J x y y J x z z L ox J x J x y J x z x L Oz = J x z x J y z y + J y z L oz J x z J y z J z z ,L O = i j k L oy = i j k J x y J y J y z y (*), L ox J x J x y J x z x L oz J x z J y z J z z 问题： 式（ * ）能否进一步简化？提示： 从数学角度和物理角度探讨如何简化。2013-4-23,10,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,0J y 0,0 y ,0 x J z z , J x J x y J x z x J x J x z J y z J z z 0,L O = i j k J x y J y J y z y = i j k 0,L o = J x x i + J y y j + J z z k 问题： 在什么情况下， L O 与 平行？,结论： 当且仅当刚体绕惯量主轴转动时， Lo 与 平行。2013-4-23,数学： 对称矩阵经过正交变换后可化成对角矩阵。物理： 如果 x y z 是刚体的惯量主轴 J x z = J x y = J x y = 0,由此证明了： 过刚体的任意一点，至少存在三个正交的惯量主轴。,2013-4-23,11,理论力学,x,A,B,10-2 欧拉动力学方程,例： 已知： m , a , b , ，质心在 AB 轴的中点，长为 a ，宽为 b 。求： 1 、 均质板对质心 C 点的动量矩； 2 、 板对 x 轴的动量矩；3 、 若板匀角速度转动，板对 C 点的动量矩对时间的导数。,x ,y ,y y C,L C x , z = 0, x = cos , y = sin ,1 2 212,L C = m ( b cos i + a sin j ), = ( cos i + sin j ),1 、求板对质心 C 的动量矩L C = J x x i + J y y j + J z z k 1 2 1 2J x = mb , J y = ma12 12 = x i + y j + z k ,一般情况下，动量矩矢量与角速度矢量不平行,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,x,B,x ,y ,y y C,L C x , = i,1L C = m ( b 2 cos i + a 2 sin j )122、求板对 x 轴 的 动 量 矩L x = J x xAL x = L C i,dd t,1= 3 、 求 板 对 质 心 C 的 动 量 矩 对 时 间 的 导 数,L & C = 1 m b 2 cos d ( i ) + a 2 sin d ( j )12 d t d t,( i ) = i = sin k ,dd t,( j ) = j = cos k 12,L & C = 1 m 2 cos sin a 2 b 2 k 122013-4-23,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,A, x ,L,1 2 2,验证 ： 当且仅当刚体绕惯量主轴转动时， L o 与 平行,yy L C = m ( b cos i + a sin j )C x 12 = ( cos i + sin j ) y C x 若 L C 与 平行BL C = 0,m 2 2 2= sin cos ( a b ) = 012,a 2 sin sin ,m 2 b 2 cos 12 cos ,若上式成立，有： sin cos ( a 2 b 2 ) = 0 则： x 轴为惯量主轴m 2 2122013-4-23 13,2013-4-23,14,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,思考题 : 若定轴转动刚体的动量守恒、动能守恒，则对质心,的动量矩（矢量）：,。,A ： 一定守恒；B ：一定不守恒；C ： 不 一 定 守 恒 。,x,A,B,x ,y ,y y C,L o x ,L C =,1 2 2 1 2 2 212 12,m ( b cos i + a sin j ) L & C = m cos sin a b k ,2013-4-23,15,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,例： 求质量为 m 半径为 R 的均质圆盘对 O 点的动量矩 。 1 , 2L o = J x x i + J y y j + J z z k ,x ,y , 2, 1,1L O = mR 2 ( 2 k + 2 1 k )4,z z = 11 24另一种计算方法： L O = r i m i v a iL O = r i m i v e i + r i m i v r i,1 2 1 2J z = mR , J x = J y = mR2 4 = 1 + 2 = x i + y j + z k x = 2 sin , y = 2 cos ,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,= M O ( F ),二、刚体定点运动的欧拉动力学方程d L O ( e)d tL O = J x x i + J y y j + J z z k , J y & y + ( J x J z ) x z = M y J z & z + ( J y J x ) x y = M z 2013-4-23,J x & x + ( J z J y ) y z = M x ,z,z ,x yx oy 注： 随体轴为惯量主轴16,2013-4-23,17,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,例： 已知： m , a , b , ，质心 C 在 AB 轴的中点，长边为 a ，短边为 b, AB=2L ， 求 图示瞬时 轴承 A 、 B 的约束力。,x ,y ,yaC,F Ayb,AF Az ,F Bz ,m a C = F,m g问题 1 ： 如果板不转动，如何求约束力？ F = 0 F Ay = F By = 0.5 mgC,问题 2 ： 如果板转动，如何求约束力？F ByL & r C = M CxBQ a C = 0,2013-4-23,18,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,y F Ay F By F y = 0 A b B x = cos , y = sin , z = 0AC=CB=L m gJ x & x + ( J z J y ) y z = M x F Az L sin F Bz L sin = 0J z & z + ( J y J x ) x y = M z 1 m ( b 2 a 2 ) 2 sin 2 = F By L F Ay L 24,2013-4-23,19,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,用动量矩定理解释附加动反力产生的原因,x ,y ,x,A,B,y y C,L C x ,mb cos i ,+ ma sin j ,1 2L C = 121 212对 C 点 的 动 量 矩矢量的大小不变，,并且始终位于板内,F Ay,F By,F Az = F Bz = 0 A 、 B 处约束力对 C 点之矩的矢量和也应垂直于屏幕向内,1 m2 48 L1 m 2 2 2 L & C = M C ( F )F By = mg ( a b ) sin 2 2 48 L,由此得到： F Ay F By,即： F Ay F By,2013-4-23,20,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,例： 求支架 C , D 的约束力 。已知： m ， R ， CD=2 L, 1 , 2,1F Cz = F Dz = mg2F Cy = F Dy = 0, F = 0 M O = 0,F Cz,F Dz,Q a C = 0,问题 2 ： 如果圆盘转动，如何求约束力？m a C = F 0 = FL & O = M O L & O = M O, 1 , 2 大小为常量问题 1 ： 如果圆盘不转动，如何求约束力？,21,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,J z = mR , J x = J y = mR2 42013-4-23,z ,x ,y , 2, 1,J y & y + ( J x J z ) x z = M y ,J x & x + ( J z J y ) y z = M x J z & z + ( J y J x ) x y = M z x = 2 sin , y = 2 cos z = 1, & x = 2 1 cos , & y = 2 1 sin & z = 0, ,1 2 1 2 0 = 0 ,1 2 41 2 mR 1 2 sin = F Dx L + F Cx L 4,mR 1 2 cos = F Dy L F Cy L ,2013-4-23,22,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,y 2 x 1z m a C = F , a C = 0 0 = F, mR 1 2 sin = F Dx L + F Cx L,mR 1 2 cos = F Dy L F Cy L,1 mR 2,1 mR 2,1 mR 2,F Cy = ( mg 1 2 ) cos ,F Dy = ( mg + 1 2 ) cos , F x = F Dx + F Cx mg sin = 0 F y = F Dy + F Cy mg cos = 01 241 241 mR 22 4 L 确2 4 L 束F Dx = ( mg + 1 2 ) sin 的2 4 L 方F Cx = ( mg 1 2 ) sin 2 4 L,如,何,定,约,力,向,23,理论力学,10-2 欧拉动力学方程,F Dz,L o =