科学和工程计算复习题及答案

1科学和工程计算基础复习题一、 填空题:1. 评价一个数值计算方法的好坏主要有两条标准:计算结果的 精度 和得到结果需要付出的 代价 .2. 计算机计费的主要依据有两项:一是使用中央处理器(CPU)的时间,主要由 算数运算的次数决定;二是占据存储器的空间 ,主要由 使用数据的数量 决定.3. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成 算术运算 .4. 对于某个算法,若输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制,则称该算法是 数值不稳定的 ,否则是 数值稳定的 .5. 函数求值问题 的条件数定义为:xfy )()()(xffcondxC6. 单调减且有 下界 的数列一定存在极限; 单调增且有 上界 的数列一定存在极限.7. 方程实根的存在唯一性定理:设 且 ,则至少存在一点,)(baxf0)(f使 .当 在 上 存在且不变号 时,方程在 内有唯一的实ba,0f ba根.8. 函数 在有界闭区域 D 上对 满足 Lipschitz 条件,是指对于 D 上的任意一对点yxf, y和 成立不等式: .其中常数 L 只依赖于区12 2121)(),(yLxff 域 D .9. 设 为其特征值,则称 为矩阵 A 的谱半径.niRAn,1, iniA1ma)(10. 设 存在,则称数 为矩阵 的条件数,其中 是矩阵的算子范数.1Acod1)( 11. 方程组 ,对于任意的初始向量 和右端项 ,迭代法 收fxB0xffxBkk1敛的充分必要条件是选代矩阵 B 的 谱半径 .1)(12. 设被插函数 在闭区间 上 阶导数连续, 在开区间 上存在.若xfba,nxfnba,为 上的 个互异插值节点,并记 ,则插值多项式nix0ba,1niin01的余项为 ,nkknkxfL01 )()!1()() xnfxLfxRnxnn 其中 .),(bax213. 若函数组 满足 k,l=0,1,2,n ,则称baCxnk,0lklk,0),(为正交函数序列.nk014. 复化梯形求积公式 , ba nkn bfhafafhfTdxf 1)(2)()()(其余项为 ),(),12bfhRnT15. 复化 Simpson 求积公式,其 ba nk nkn bfhafhkafffSdxf 10 1)(2()2(4)(3)()(余项为 ),(),1804(bfhabRnS 16. 选互异节点 为 Gauss 点,则 Gauss 型求积公式的代数精度为 2n+1 .nx,17. 如果给定方法的局部截断误差是 ,其中 为整数,则称该方法是 11pnhOTP 阶的或具有 P 阶精度 .18. 微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响 数值解的稳定性和精度 ,给数值计算造成很大的实质性困难的现象.19. 迭代序列 终止准则通常采用 ，其中的 为 相对误baxk,0 1kx0差容限 .20. 在求解非线性方程组的阻尼牛顿迭代法中加进阻尼项的目的,是使线性方程组(牛顿方程) 的系数矩阵 非奇异并良态 .二、 选择题1. 下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组 的,ijnAxba充分条件? ( D )A. 矩阵 的各阶顺序主子式均不为零 ; B. 对称正定;AAC. 严格对角占优; D. 的行列式不为零.2. 高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的? ( B )A. ; B. ; C. ; D. .31n32n314n34n33. 对于任意的初始向是 和右端项 ,求解线性代数方程组的迭代法 收0xf 1kkxBf敛的充分必要条件是( A ).A. ; B. ; C. ; D. 严格对角占优.1B1Bdet0B4. 下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组 的 Gauss-Seidel 迭代法,ijnAxba收敛的充分条件? ( C )A. 为严格对角占优阵; B. 为不可约弱对角占优阵;AC. 的行列式不为零; D. 为对称正定阵.5. 设 ，并记 ，则函数 的过点2,fxab2maxbMffx的线性插值余项 , 满足( A ).,afb1R,A. ; B. ; 2218MRx228xC. ; D. .6a16ba6. 设 是在区间 上带权 的首项系数非零的 次正交多项式 ,则nx,bxn1n的 个根( A ).A. 都是单实根; B. 都是正根 ; C. 有非负的根; D. 存在重根7. Legendre 多项式是( )的正交多项式.( B )A. 区间 上带权 ; B. 区间 上带权 ;1,21x1,1xC. 区间 上带权 ; D. 区间 上带权,xe0,8. 离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的 Gram 矩阵与 ( D )无关?A. 基函数 ; B. 自变量序列 ;0nkx 0mixC. 权数 ; D. 离散点的函数值 .miwiy9. Simpson 求积公式的余项是( B ).A. ; B. ;3,12hRffab54,90hRffabC. ; D. ,bff 44,bff10. 个互异节点的 Gauss 型求积公式具有( D )次代数精确度 .nA. ; B. ; C. ; D. .1n21n21n11. 一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为( B ).4A. ; B. ; C. ; D. .Oh2h2oh32Oh12. 对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精度( B ).A. 高; B, 低; C. 相同; D. 不可比.13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 梯形公式是显式 Euler 公式和隐式 Euler 公式的( A ).A. 算术平均; B. 几何平均 ; C. 非等权平均; D. 和.14. 当( B )时,求解 的显式 Euler 方法是绝对稳定的.,0yA. ; B. ; C. ; D. 1h2h1h2h15. 求解 的经典 R-K 公式的绝对稳定条件是( C ):,yA ; B. ;20 21C. ; D. .23411!hh2h16. 在非线性方程的数值解法中,只要 ,那么不管原迭代法*,()xx是否收敛,由它构成的 Steffensen 迭代法的局部收敛的阶是10,12kkx( D )阶的.A. 1; B. 0; C. ; D. .217. 在非线性方程的数值解法中,Newton 迭代法的局部收敛的阶是 ( D )阶的.A. 1; B. 0; C. ; D. .218. 在非线性方程的数值解法中,离散 Newton 迭代法的局部收敛的阶是 ( C )阶的.A. 1; B. ; C. ; D. .15219. 在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用( A ),其中的 为给定的相对误差0容限.A. ; B. ; C. ; D. .1kx1kx1kx1kx20. 在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的( C ).A. 系数矩阵非奇异; B. 系数矩阵的行列式不等于零;C. 系数矩阵非奇异并良态; D. 系数矩阵可逆.三、 判断题1. 在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.( )2. 用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接5近的两个数相减;在所乘除法时 ,计算结果的精度不会比原始数据的高.( )3. 用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.( )4. 单调减且有下界的数列一定存在极限。( )5. 设 , 则 的充要条件是 的谱半径 .( )nBRlim0kBB16. 若 ,则一定有 .( )A2A7. 求解线性代数方程组,当 很大时,Cholesky 分解法的计算量比 Gauss 消去法大约减少了n一半. ( )8. 在用迭代法求解线性代数方程组时,若 Jacobi 迭代矩阵为非负矩阵,则 Jacobi 方法和Gauss-Seidel 方法同时收敛,或同时不收敛;若同时收敛,则 Gauss-Seidel 方法比 Jacobi 方法收敛快. ( )9. 均差(或差商)与点列 的次序有关. ( )0,niixf10. 线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关. ( )11. 复化梯形求积公式是 2 阶收敛的, 复化 Simpson 求积公式是 4 阶收敛的. ( )12. Gauss 求积系数都是正的. ( )13. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 因为梯形公式是显式 Euler 公式和隐式 Euler 公式的算术平均,而 Euler 公式和隐式 Euler 公式是一阶方法,所以梯形公式也是一阶方法. ( )14. 在 Runge-Kutta 法中, 通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高的阶. ( )15. 求解 的梯形公式是无条件稳定的. ( )0y16. 在常微分方程初值问题的数值解法中, 不论单步法还是多步法, 隐式公式比显式公式的稳定性好. ( )17. 迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率. ()18. 在一元非线性方程的数值解法中,最有效的是 Steffensen 迭代法和 Newton 迭代法.前者不需要求导数,但不宜推广到多元的情形;后者需要求导数,但可直接推广到多元方程组. ( )19. 常微分方程边值问题的差分法,就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的差分方程组,求解此方程组,得到边值问题在节点上函数的近似值. ( )20. 在求解非线性方程组时,在一定条件下映内性可保证不动点存在,因而也能保证唯一性. ( )四、 线性代数方程组的数值解法1. 用高斯消去法求解方程组 ，即bAx1232416x6（1） 列出用增广矩阵 表示的计算过程及解向量 ；bA,x（2） 列出由此得到的 Doolittle 三角分解 中的三角阵 和 ；LU（3） 由 计算 。Udet352tP65 例 3.2.12. 用高斯消去法求解方程组 bAx，即1237241x（1） 列出用增广矩阵 b,表示的计算过程及解向量 x；（2） 列出由此得到的 Doolittle 三角分解 LUA中的三角阵 和 ；（3） 由 U计算 det。解：方程组的增广矩阵 23147第一次消元：消元因子 ，进行消元，得7,2ll 7120863第二次消元：消元因子 ，进行消元，得1342l 91276073回代得 ， ，28319673x49x81x易知7，134702L912706U62917detA3. 用高斯消去法求解方程组 bAx，即123124x（1） 列出用增广矩阵 b,表示的计算过程及解向量 x；（2） 列出由此得到的 Doolittle 三角分解 LUA中的三角阵 和 ；（3） 由 U计算 det。解：方程组增广矩阵 2431第一次消元：消元因子 ，进行消元，得,12l023051第二次消元：消元因子 ，进行消元，得532l 01053回代得 ， ，03x21x易知8，15320L1053U15detA4. 用高斯消去法求解方程组 ，即bAx1232434x（1） 列出用增广矩阵 表示的计算过程及解向量 ；b,x（2） 列出由此得到的 Doolittle 三角分解 中的三角阵 和 ；LUA（3） 由 计算 。Udet解：方程组增广矩阵 1423第一次消元：消元因子 ，进行消元，得3,1ll 52104第二次消元：消元因子 ，进行消元，得132l 1600524回代得 ， ，13x231x易知9，1230L1602U6012detA5. 用高斯消去法求解方程组 bAx，即1234123449608716519x （1） 列出用增广矩阵 bA,表示的计算过程及解向量 x；（2） 列出由此得到的 Doolittle 三角分解 LU中的三角阵 和 ；（3） 由 U计算 det。解：方程组增广矩阵 190256814743第一次消元：消元因子 ，进行消元，得,432ll 1825714060第二次消元：消元因子 ， ，进行消元，得32l2l1326804第三次消元：消元因子 ，进行