常微分方程试题库试卷库

常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程 (,)(,)0MxydNxy有只含 x的积分因子的充要条件是（ ） 。有只含 的积分因子的充要条件是_。、_称为黎卡提方程，它有积分因子_。、_称为伯努利方程，它有积分因子_。、若 12(),()nXtt 为 阶齐线性方程的 n个解，则它们线性无关的充要条件是_。、形如_的方程称为欧拉方程。、若 ()t和 都是()xAt的基解矩阵，则 ()t和 具有的关系是_。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（）1、3()0ydxy、 sinco2xtt、若214A试求方程组 xA的解12(),0t并求 expAt、32()480dyxy、求方程2dyx经过（0，0）的第三次近 似解6.求1,5dxdyxtt的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（）、 n阶齐线性方程一定存在 n个线性无关解。常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、 形如_的方程，称为变量分离方程，这里. )(.yxf分别为 x.y 的连续函数。2、 形如_的方程，称为伯努利方程，这里 QP为 的连续函数.n， 可 化 为 线 性 方 程 。是 常 数 。 引 入 变 量 变 换 .03、 如果存在常数 使 得 不 等 式,0L_对于所有称 为 利 普 希 兹 常 数 。都 成 立 ，（ Ryx),(,21函数 ),(yxf称为在 R 上关于 满足利普希兹条件。4、 形如_-的方程，称为欧拉方程，这里 是 常 数 。,21a5、 设 是的 基 解 矩 阵 ，是 )()( tAt )(tftAx的某一解，则它的任一解 可 表 为_-。一、计算题 40%1.求方程的 通 解 。26xyd2.求程xyed的通解。3.求方程 tex256的隐式解。 4.求方程） 的 第 三 次 近 似 解 。、通 过 点 （ 02yxdy二、证明题 30%1.试验证 t=12t是方程组 x= t210x,x=21x，在任何不包含原点的区间 abt上的基解矩阵。2.设 t为方程 x=Ax（A 为 nn 常数矩阵）的标准基解矩阵（即 （0）=E） ，证明: 1(t0)= (t- t0)其中 t0为某一值. 常微分方程期终试卷(3)一 . 解下列方程(10%*8=80%)2. dxy=6 -x 2 3. y=22)1(x4. x y=2+y 6. y-x( 2x+ y)dx-xdy=08. 已知 f(x)xdtf0)(=1,x0,试求函数 f(x)的一般表达式。二 证明题(10%*2=20%)9. 试证：在微分方程 Mdx+Ndy=0 中，如果 M、N 试同齐次函数，且 xM+yN0,则)(1yNxM是该方程的一个积分因子。常微分方程期终试卷（4）一、填空题1、 （ ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。、当（ ）时，方程 0),(),(dyxNyxM称为恰当方程，或称全微分方程。、函数 ),(yxf称为在矩形域上关于 满足利普希兹条件，如果（ ） 。、对毕卡逼近序列， ()(1xkk。、解线性方程的常用方法有（ ） 。、若 ),21)(nitX为齐线性方程的 n个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（ ） 。、方程组 xtA（ ） 。、若 )(t和 都是 xt)(的基解矩阵，则 )(t和 具有关系：（ ） 。、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（ ）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（ ） 。、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（ ）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（ ） 。当（ ）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（ ） 。、若 )(t是 xtA)(的基解矩阵，则 xtA)(tf满足 )(0tx的解（ ） 。二、计算题求下列方程的通解。、1sin4xedxyy。、)(122。、求方程yxd通过 )0,(的第三次近似解。求解下列常系数线性方程。、 x。、 te。试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：、5,!yxdtyxdt。三、证明题。、设 )(为方程 A（为 n常数矩阵）的标准基解矩阵（即 )0(E，证明 t)(001t其中 t为某一值。常微分方程期终考试试卷（5）一 填空题 （30 分）1)(xQyPdx称为一阶线性方程，它有积分因子 dxPe)( ，其通解为 _ 。2函数 ),(f称为在矩形域 R上关于 y满足利普希兹条件，如果 _ 。3 若 x为毕卡逼近序列 )(xn的极限，则有 )(xn_ 。4方程2yd定义在矩形域 2,2:y上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _ 。5函数组 tte2,的伏朗斯基行列式为 _ 。6若 )1)(nix为齐线性方程的一个基本解组， )(tx为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 _ 。7若 )(t是 xtA)( 的基解矩阵，则向量函数 )(t= _是 )( tfxtA的满足初始条件 0的解；向量函数 = _ 是 tftx的满足初始条件 (0t的解。8若矩阵 具有 n个线性无关的特征向量 nv,21 ，它们对应的特征值分别为,21，那么矩阵 )(t= _ 是常系数线性方程组 Ax的一个基解矩阵。9满足 _ 的点 ,*yx，称为驻定方程组。二 计算题 （60 分）10求方程 0)1(2432dyd的通解。11求方程xey的通解。12求初值问题 0)1(2yd1,:yR的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13求方程 tx3sin9的通解。14试求方程组 )( fA的解 ).(t1,421,)0( e15试求线性方程组52,97yxdtyxdt的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。三证明题 （10 分）16如果 )(t是 Ax满足初始条件 )(0t的解，那么(eptt常微分方程期终考试试卷(6)三 填空题 （共 30 分，9 小题，10 个空格，每格 3 分） 。1、 当_时，方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 称为恰当方程，或称全微分方程。2、_称为齐次方程。3、求dxy=f(x,y)满足 0)(yx的解等价于求积分方程 _的连续解。4、若函数 f(x,y)在区域 G 内连续，且关于 y 满足利普希兹条件，则方程),(yxfd的解 y= ),(0yx作为 0,x的函数在它的存在范围内是_。5、若 (.)321tt为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条件是_。6、方程组 A)/的_称之为 xtA)(/的一个基本解组。7、若 )(t是常系数线性方程组 Ax/的基解矩阵，则 expAt =_。8、满足_的点（ *,y） ，称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（共 6 小题，每题 10 分） 。1、求解方程： dxy= 3122、 2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程31y在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程： texxtcos32/ 5、试求方程组 Ax/的一个基解矩阵，并计算 3421,为其 中 A6、试讨论方程组cydtbyadt,（1）的奇点类型，其中 a,b,c 为常数，且 ac0。三、证明题（共一题，满分 10 分） 。试证：如果 xt/） 是（满足初始条件 )(0t的解，那么 )()(0tAe常微分方程期终试卷(7)一、选择题1 n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个 （A） n （B）-1 （C） n+1 （D） n+22李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条件（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非充分3. 方程21dyx过点)1,(共有（ ）个解（A）一 （B）无数 （C）两 （D）三4方程xyxd（ ）奇解（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个5方程 的奇解是（ ） （A） xy （B） 1y （C） 1y （D） 0y二、计算题1.x =2+y2.tgydx-ctydy=03. 0d)(yxx4. 1dy5.)ln(3yxx三、求下列方程的通解或通积分1.)1(d2y2. x3. y2e3d四证明1.设 )(1x， 2是方程 0)(yxqpy的解，且满足 )01y= (02x=0， )(1，这里 )(,p在 ),上连续，,(0试证明：存在常数 C 使得 2=C 12在方程 qp中，已知 )(， 在 ,上连续求证：该方程的任一非零解在 o平面上不能与 x 轴相切常微分方程期终试卷(8)一、填空（每空 3 分）1、 称为一阶线性方程，它有积分因子 ，其通解为 。2、函数 ),(yxf称为在矩形域 R上关于 y满足利普希兹条件，如果 。3、若 )(,)(,21ttn 为 阶齐线性方程的 n个解，则它们线性无关的充要条件是 。4、形如 的方程称为欧拉方程。5、若 )(t和 t都是 xtA)(的基解矩阵，则 )(t和 t具有的关系： 。6、若向量函数 );(ytg在域 R上 ，则方程组00,;tdy的解 存在且惟一。7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 ，零解是稳定的，对应的奇点称为 。二、 求下列方程的解1、 0)4()3(2dyxxy （6 分）2、 d2 （8 分）3、 21 （8 分）4、 xye（8 分）5、 tx256 （6 分）6、 t3sin1（8 分）7、 2x（8 分）三、 求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8 分）52,197yxdtydt常微分期中测试卷(2)一 . 解下列方程(10%*8=80%)1.1. x y=2+y2.2. tgydx-ctydy=03.3. y-x( 2+ )dx-xdy=04.4. 2xylnydx+x+ 2y1dy=05. dxy=6 -x 26. y=22)1(7. 已知 f(x)xdtf0)(=1,x0,试求函数 f(x)的一般表达式。8一质量为 m 质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为1k）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为 2） 。试求此质点的速度与时间的关系。二 证明题(10%*2=20%)1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。2 试证：在微分方程 Mdx+Ndy=0 中，如果 M、N 试同齐次函数，且 xM+yN0,则)(1yNxM是该方程的一个积分因子。 2()y yyx2()()xx xyyN常常微分方程期终试卷(9)一、填空题（每小题 5 分，本题共 30 分）1方程xyxesind的任一解的最大存在区间必定是 2方程 04的基本解组是 3向量函数组 )(,)(,21nYY 在区间 I 上线性相关的_