[初三数学]圆的知识总结

A图 2BDMEO1CF初 三 数 学（第五周） 【教学内容】 圆的定义及有关性质（二）【教学要求】 1使学生理解圆的中心对称性及旋转不变性，掌握圆心角、弦、弧，弦心距的相等关系定理及其推论。2使学生掌握圆周角定理及其推论。3使学生掌握圆的内接四边形性质定理。【教学内容】 一、知识点分析： 1将圆绕圆心 O 旋转 180后，每条直径的两个端点交换位置，得到的图形与原图形重合。所以圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。不仅如此，绕圆心旋转任意角度后都能与原来的图形重合，这是圆的又一特性旋转不变性，它是本书的理论基础。 2在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。定理中“在同圆或等圆中”这一前提必不可少。由这个定理，在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间就可以实现等量的相互转化，任意两个圆心角，两条弧，两条弦，或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。本定理及推论给解决有关圆的问题带来很大方便，它是本单元的重点之一。 3圆心角的度数等于它所对的弧的度数。4圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，本定理的证明过程中用到了完全归纳法，所以这是本节的难点之一。 5圆周角定理的推论：推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角。90的圆周角所对的弦为直径。推论 3 若三角形一边上中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。推论 1 是圆中证明两角，两条线段，两条弧相等的重要依据。推论 2 揭示了半圆，90的圆周角及直径之间的内在联系。推论 3 是直角三角形斜边上中线的性质定理的逆定定理，是判定直角三角形或垂直关系的又一依据。这一组推论应用极为广泛，也是本节的重点之一。 6圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。这一定理是在圆中探求角的相等或互补关系时常用的定理，使用本定理时要注意识图，不要弄错四边形的外角和它的内对角的位置。 二、例题精讲例 1设O 的半径长为 1，直径 AB直径 CD，E 为 OB 中点，弦 CF 过 E 点，求 EF 之长。解：如图 1，连 DF DC 为O 直径 CFD=90 COE=CFD=90 又 ABCD 又1=1 COECFD 即 CF= EF=CF-CE= - =CDEFO2)1(F545425103说 明 ： 连 DF， 构 成 直 径 所 对 的 圆 周 角 ， 这 是 圆 中 常 添 加 的 辅 助 线 。 另 外 ， 通 过 CF-CE 来 求 EF， 这 种 间 接 求 值 的 方 法 要 注意 。 例 2如图：O 1与O 2为两个等圆，M 为 O1O2中点，过 M 的直线分别交O 1与O 2于 A、B、C、D。ACB图求证：AB=CD分 析 ： AB、 CD 分 别 是 等 圆 O1和 O2的 弦 。 联 系 条 件 “M 是 O1O2的 中 点 ”， 易 知 证 明 相 应 的 弦 心 距 相 等 是 本 题 的 最 佳 方案 。证明：过 O1作 O1EAB，过 O2作 O2FCD1=2 O 1EM=O 2FM=90又 M 为 O1O2中点 O 1M=O2MO 1EMO 2FM O 1E=O2F 又O 1与O 2是等圆 AB=CD例 3如图 3，O 是ABC 的外接圆，AO 是O 的半径，AD 是ABC 一边上的高。求证：BAO=DAC。分析：分别延长 AO，AD 交O 于 E、F，构成圆周角的基本图形证法一：延长 AO 交O 于 E，连 BE，则BEA=CAO 是O 半径 AE 为O 直径EBA=90 BAO+BEA=90在ABC 中 ADBC 于 D C+DAC=90又C=BEA BAO=CAD证法二：过 O 作 OGAB 于 G，交O 于 H，连 OB由垂径定理 AH=BH= AB21AOH= AOB又AOB 与C 分别是 AB 所对的圆心角与圆周角C= AOB C=AOH21又 OGAB，ADBCBAO+AOH=90 DAC+C=90BAO=DAC证法三：延长 AO，AD 分别交O 于 E，F，连结 EFAE 是直径 F=90 又 ADBCADB=90 EFBCBE=CF BAO=CAF说明：三种不同的证法从不同的角度利用了圆周角定理及其推论，证法二和证法三还运用到了垂径定理及其推论，这体现了运用知识的灵活性。另外，证题中一些常用的辅助线的作法，如作出弦的弦心距，构造直径所对的圆周角等等要认真体会。例 4如图 4，已知ABC 内接于O，AB 为直径，CD 是ABC 的高，H 为圆周上任意一点，AH 交 CD 于 G，求证：AC2=AGAH分析：由本题条件，很容易根据直角三角形中的母子相似构图在 RtABC 中证得 AC2=ADAB 对照结论，我们只需证 ADAB=AGAH，所以我们只要连结 BH，证明ABHAGD 即可。另外，由于 AC2=AGAH ，所以我们ACH也可以尝试证明ACGAHC。证法一：连结 BHAB 为直径 AHB=90AHB=ADGCD 是高 ADG=90 HAB=GADAHBADG ABAD=AGAHADHGBAB 为直径 ACB=90ACDABCCD 为高 CDA=90 AC2=ABADACBA图 3EBFOCDHG图 4EBDOABDOE123图 6FCB图 7OADCFE AC2=AGAH 又 ABAD=AGAH证法二：延长 CD 交圆于 E，连结 AE，HCAB 是直径 AC=AE AHC=ACD CEAB ACGAHG CAH=CAG AC2= AHAGACGH说明：提高几何解题能力一个重要的方面就是提高识图能力。在本题的证明过程中，基本图形发挥了极为重要的作用。另外本题证明过程中还体现了等比式与等积式的互化。以下是从本题中分离出的基本图形。 （见图 5）例 5如图 6，AD，AE 分别平分O 内接三角形 ABC 的内角BAC 和外角BAF，交圆于 D，E，求证：1）DE 是ABC外接圆直径 2）DE 是 BC 的中垂线证明：1）AD、AE 分别平分ABC 的内角BAC 和外角BAF1+2= (BAC+BAF)=90 即EAD=90 ED 为O 直径212）如图，AD 平分BAC 2=3 BD=DC又DE 是O 直径，DE 平分弦 BC 所对的一条弧 DE 垂直平分 BC。说 明 ： 本 题 很 巧 妙 地 运 用 圆 周 角 定 理 的 推 论 ： 90的 圆 周 角 所 对 的 弦 是 直 径 ， 同 圆 或 等 圆 中 ， 相 等 的 圆 周 角 所 对 的弧 相 等 。 第 2） 小 问 的 证 明 则 运 用 了 垂 径 定 理 的 推 论 ： 平 分 弦 所 对 的 一 条 弧 的 直 径 垂 直 平 分 弦 ， 再 次 体 现 了 垂 径 定 理 的 重 要性 。例 6如图 7，AB 是半圆 O 的直径，E、O、F 是 AB 的四等分点，CEAB 交O 于 C，DFAB 交O 于 D，求证：1）CE=DF 2）C、D 是 AB 的三等分点BDHG图 5CCABDO图 8CABDOEF21图 9C证明：1）连 OC、OD 在EOC 和FOD 中： E、O、F 是 AB 的四等分点 EO=FO 又CEO=DFO=90 OC=OD EOCFOD CE=DF2）连 AC CEAO CE 垂直平分 AO AC=OC AE=EO OAC 为等边三角形 又 OA=OC AOC=60 AC 的度数是 60 C 是 AB 的三等分点 同理可得 D 是 AB 的三等分点。说明：证明 C，D 是 AB 的三等分点，只需证AOC=BOD= AOB 即可。31例 7如图 8，圆内接四边形 ABCD 中，若 AB:BC:CD:DA 2:5:4:1，试求四边形 ABCD 各内角。解：设 AD 的度数为 x由 AB:BC:CD:DA 2:5:4:1可得 AB 的度数为 2x，BC 的度数为 5x，CD 的度数为 4x，由于整个圆周为 360，所以 x+2x+4x+5x=360 x=30所以 AB 度数为 60，BC 的度数是 150，CD 度数为 120所以A 的度数= BCD 的度数= (150+120)=1352121又四边形 ABCD 内接于圆 故A+C=180C=180-135=45 同理D=105，B=75说明：圆的内接四边形的四个内角都是圆周角。所以在求内角时常用到圆周角定理。另外本题中所给的是弧的度数之比，不要当作是四个内角的度数之比。例 8如图 9，BC 是半圆的直径，A 是半圆上任意一点，D 是 AC 中点。DEBC 于 E，求证：AB=BE-ECBN=2AEE图 1BODCAFP分析：证明线段的和差问题时常用手法是“截长补短” 。证明：在 BE 上截取 BF=BA，连 AD、DC、DFD 是 AC 中点 AD=DC 1=2 AD=DC 又在ABD 和FBD 中 BD=BD 1=2 AB=BFABDFBD AD=FD DC=DF 等腰DCF 中 DECF EC=EFBF=BE-EF=BE-EC 即 AB=BE-EC说明：本证明的核心部分是“弧等 弦等，圆周角等” ，借助于截长的手法实施了一次全等变换，从而将 BA“翻折”到 BF 的位置，将 DA“翻折”到 DF 的位置，最后又灵活运用等腰三角形三线合一的性质。例 9如图 10，在ABC 中，AB=AC，BD 是 AC 边上的中线，ADB 的平分线交 AB 于 E，AED 的外接圆交 BD 于 N，求证：BN=2AE 分析：由条件及构图，我们很难将 BN 与 AE 联系起来，结合圆周角定理易得 AE=EN。于是本题可转化证明 BN=2EN，由“AB=AC 及 D 为 AC 中点”可知 AB=2AD，根据例 4 中所分离的基本图形，可证得BENBDA。证明：连 EN，DE 平分ADB 1=2 AE=EN AE=EN四边形 ENDA 内接于圆 3=ABENBDA BADNE又ABD=NBEBANE又 D 为 AC 中点 21DAB=AC例 10 如 图 11， O 与 O相 交 于 A、 B， 过 A 引 直 线 CD， EF 分 别 交 两 圆 于 C、 D、 E、 F， EC 与 DF 的 延 长 线 相 交 于 P求证：P+CBD=180分析：PEF 中，P+E+PFE=180，故要证P+CBD=180只需证CBD=E+PFE，连 AB 易证之。证明：连 AB，E 与CBA 是O 中 AC 所对的圆周角 E=CBA又四边形 ABDF 内接于O PFA=ABDAE图 10C23E+PFE=CBA+ABD=CBD又E+P+PFE=180 P+CBD=180例 11如图 12，O 是ABC 的外心，弦 AB 的垂直平分线与 AC、AB 相交于 D 和 M，与 BC 的延长线相交于 E求证：（1）ODDE=ADDC（2）OA 2=ODOE证明：（1）连 AO，BO，在O 中AOB、ACB 分别是 AB 所对的圆心角与圆周角 ACB= AOB又EM 垂直平分 AB EM 过圆心 O AO=OB又AM=BM AOM= AOB21AOM=ACB ECD=AOD又1=2 AODECD ADCD=ODDECDEOA（2）连 AE，由 1）AODECD 知CED=OADEM 垂直平分 AB AE=BE又 AM=BM AED=CED OAD=AED又DOA=AOE AODEOA OA2=ODOEOEA说明：在证明乘积式或比例式时常要找相似三角形，在证明三角形相似时要充分利用与圆有关的角。另外本题（2）中还可以连 OC，证OCDDEC，利用 OA=OC 代换即得。【课外练习】一、填空1一条弦把圆分成 1:2 两部分，则劣弧所对的圆心角是 。2在直径为 12cm 的圆中，AB 是 60，弦 AB 的长是 ，弦心距是 。3如图 13，在O 的内接三角形 ABC 中，OEAB，OFAC，垂足分别为 E、F，若 OE=OF，ABC 是 三角形，若 BC=5cm，EF= cm。4在圆内接三角形 ABC 中，AB=AC，AB 是 130，A= 。5如图 14，C=135，O= 。6如图 15，AB 是O 的直径，AB=AC，A=50，BD 是 ，AE 是 。7圆内接四边形 ABCD 中，A:B:C=1:3:5，则A= ，D= 。8如图 16，O 1和O 2相交于点 A、B，点 O1在O 2上，D=50，C= 。二、解答下列各题：1如图 17，AB、CD 是O 两条直径，弦 AECD，AE 是 100，求BOD 的度数。2BMA图 1OCD图 15O图 图 4CABFODCA2如图 18，已知O 的半径 OC 垂直于直径 AB，弦 EFAB，交 OC 于 G，且 OG=GC，求CBE 的度数。3如图 19，AB 是O 直径，BC 是弦，F 是 BC 延长线上一点，且 CF=CB，FA 的延长线交O 于点 E，求证：BC=BE。4如图 20，O 的弦 AB、CD 的延长线相交于 P，AD、CB 相交于点 M，求证：（1）AMC 的度数= (AC+BD)的度数21（2）P 的度数= (AC-BD)的度数5如图 21，AOB=90，C，D 是 AB 的三等分点，AB 分别交 OC、OD 于点 E、F，求证：AE=BF=CD。ACBD图 16OBC图 7EACF图 18O2图 20OCADPBEOFB图 9DEO图 21FCAPOC2B4图5F图 3E13AD6如图 22，ABC 内接于O，AB=AC，D 为 BC 上任意一点，AD 交 BC 于 E，求证：（1）BDCD=ADDE（2）AB 2=ADAE（3）AD 2=AB2+BDDC7如图 23，O 1与O 2相交于点 A、B，且 O1点在O 2上，过点 A 的直线 CD分别与O 1，O 2交于 C、D，过点 B 的直线 EF 分别与O 1，O 2交于 E、F，O 2的弦 O1D 交 AB 于 P 点求证：1）CEDF 2）O 1A2=O1PO1D参考答案一、填空题：1. 120 2