带电粒子在常梯度磁场中横向运动稳定性研究

- 0 -带电粒子在常梯度磁场中横向运动稳定性研究摘 要在导出常梯度磁场中带电粒子运动的微分方程的基础上，求出了微分方程的解。研究了带电粒子在常梯度磁场中运动的稳定性，确定了粒子作回旋运动的稳定条件。结果表明，粒子在作回旋运动的同时，在轴向和径向均作简谐振荡，可以保持粒子绕回转轨道运动。粒子的横向运动轨迹的形状取决于磁场的对数梯度 ,而与粒子的初始n状态无关。粒子的初始状态确定其横向运动的振幅。【关键词】常梯度磁场；回旋运动；横向运动；稳定性条件- 1 -Study on the lateral stability of charged particles in a constant gradient magnetic fieldAbstractIn constant gradient magnetic field is derived the basic differential equations for the motion of charged particles in the upper, the solution of the differential equation. The stability of charged particles in constant gradient magnetic field research, determine the particle stability conditions of cyclotron motion. The results show that, particles in the cyclotron motion at the same time, in the axial and radial directions were simple harmonic oscillation, can keep the particles around the rotary motion. Logarithmic gradient magnetic field n in lateral motion trajectory of particle shape depending, regardless of the initial state and the particle. The initial state of the amplitude of the transverse motion of particle is determined. Key words constant gradient magnetic field; lateral motion; stability condition - 2 -目 录引 言 .41 带电粒子在恒定均匀磁场中的运动 .41.1 带电粒子在恒定电磁场中的运动方程 .41.2 带电粒子在均匀磁场中的运动 .52 带电粒子在常梯度磁场中的运动方程 .62.1 理想常梯度磁场分布的特点 .62.2 带电粒子在常梯度磁场中的运动方程 .72.3 轴向运动方程.82.4 径向运动方程.92.5 非相对论情况下带电粒子横向运动的稳定性 .103.带点粒子运动规律的数值分析 .113.1 非相对论情况下横向振荡方程的通解 .113.2 初始条件确定时横向振荡方程的定解 .123.3 粒子运动轨道的分析 .134 结论 .17参考文献 .18- 3 -引 言带电粒子加速器可以给电子、质子、轻重离子等带电粒子加速，使它们的速度达每秒几千公里、几万公里乃至接近光速，使粒子获得很高的能量。高能粒子是人们研究原子核、基本粒子和认识物质深层次结构的重要工具。低能加速器在工业、农业、医疗卫生等领域内有广泛的应用，极大地改变了这些领域的面貌，创造了巨大的经济效益和社会效益。粒子回旋加速器等加速装置常常是将利用磁场将带电粒子限制在一个圆形的轨道上运动，研究带电粒子在圆轨道上运动的稳定性是一个很有意义的课题。本文将研究带电粒子在常梯度磁场中的运动的稳定性，研究粒子横向运动的规律。1 带电粒子在恒定均匀磁场中的运动1.1 带电粒子在恒定电磁场中的运动方程带电粒子在恒定电磁场中运动时，将受到电场力和磁场力的作用。根据牛顿第二定律，带电粒子在恒定电磁中的运动方程为（1-1） dmvqeEvBt或写成()drdrqet t式中 为粒子的质量， 为粒子的速度矢量， 为粒子的荷电量，其中 是电子电荷mv e的绝对值， 为电场强度矢量， 为磁感应强度矢量。EB在回旋加速器中粒子的轨道大多呈圆形或螺旋线形，所以当讨论粒子在加速器中的运动时常采用圆柱坐标系。以 代表轴向， 以代表径向， 代表辐向。 （1-1）式可zr写成三个分量的运动方程式（1-2()z rdrddzmqeBrqeEtttt- 4 -2） （1-3） 21rzddrmrqeBqeEtttt（1-rzzttt4） （1-2）到（1-4）三个式子分别为带电粒子在恒定电磁场中的径向、辐向和轴向的运动方程。1.2 带电粒子在均匀磁场中的运动设粒子在均匀磁场中运动， （1-2）式、 （1-3）式和（1-4）式中 、电场为zBe0，可写出均匀磁场中的运动方程：（1-5a） 2()zdrddmqeBrttt（1-2zddrrqettt5b）（1-0dzmt5c）在加速过程中，粒子质量 不断增大，但在粒子的一个回旋周期内变化极小，本文不考虑相对论效应，取 是常数。当带电粒子在磁场中运动时将受到洛伦兹力的作用，力的大小等 ，其中 为粒子的速度 与磁场 的方向间的夹角，力的方sinqevBvB向垂直于磁场和粒子运动的方向。粒子在洛仑兹力的作用下作曲线运动。如果曲率半径保持不变，则 ，则由(1-5)式/drto20zddmrqeBrtt- 5 -(1-6)zdmqeBt考虑到方向，求出粒子做圆周运动的角频率(1-7)zcdt其中 为粒子的回旋角频率，这就是拉摩定理。由上可见，粒子的回旋频率只与c磁感强度和粒子的荷质比有关，而与粒子的速度无关。(1-6)式也可写成 ，则粒子的回转轨道半径zdmrqeBrt(1-8)czmv上式中负号反映了粒子回旋运动的方向。带正电荷的粒子（ ）在磁力线向上的磁0q场中（ ）运动时，粒子回旋运动的方向为顺时针方向（ ） ；在磁力线向下0zB v的磁场中（ ）运动时，粒子回旋运动的方向为逆时针方向（ ） ；而带负电荷的粒子其结果相反。概括地说， 的带电粒子， 与 的符号相反， 的带0qzB0q电粒子， 与 的符号相同。vzB如果只计算轨道半径的大小，负号可以不考虑。理想的均匀磁场只有轴向分量，带电粒子的运动方向可以近似的认为是沿着半径的切线方向，即 。则z v(1-8)式可写成(1-9)cmvrqeB2 带电粒子在常梯度磁场中的运动方程2.1 理想常梯度磁场分布的特点在粒子加速过程中人们往往采用常梯度的磁场，因为参数合适的梯度磁场不但能控制粒子的轨道，还能使粒子聚焦。图 2-1 表示典型的常梯度磁场磁力线的分布情况。- 6 -图 2-1 常梯度磁场磁力线的分布理想的常梯度磁场分布有以下特点：（1）磁场对于 轴是旋转对称的。其数学关z系式可写成 。 （2）磁场对于中心面 是上下对称的，(,)(,)zrBBz、 、 0此中心平面称为磁对称平面，在此平面上只有 ，所以 的平面上， ，zBzB(0)，在此平面外磁场除 分量外还有 分量，用数学关系式表示可以0r zr写成 。 （3）磁场轴向分量 随半径(,)(,)0,()(,)rr zzzr、 z而变化。磁场降落 指数是表示磁场 随半径 变化的重要参数，其数学表达式为nz(2-1) znCBr式中 为常数。由(2-1)式可得C(2-2)lgBnr所以， 又称为磁场的对数梯度。(2-2)式还可以写成n(2-3)rBn2.2 带电粒子在常梯度磁场中的运动方程利用带电粒子在恒定电磁场中的运动方程（1-2）至（1-4）式，考虑，就可写出带电粒子在恒定常梯度磁场中的运动00,0zrzrBE， ，- 7 -方程径向运动方程(2-4)2()zdrddmqeBrttt辐向运动方程(2-5)21rzddrmrqeBtttt轴向运动方程(2-6)rdzdmqeBtt2.3 轴向运动方程在回旋加速器中，径向（ ）和轴向（ ）都垂直于粒子前进的方向，所以径向运rz动和轴向运动统称为横向运动。研究带电粒子在常梯度磁场中的横向运动时，可求出一定能量的带电粒子在理想的恒定梯度场中的横向运动方程，并找出粒子运动的稳定条件。设在中心面（ ）上粒子的封闭轨道半径为 ，如果带电粒子所处的轴向和径0zr向坐标分别是 和 ，则带电粒子对封闭轨道的轴向偏离值就等于 ，径向偏离值用r z表示。cxr为了进一步分析轴向运动方程，先求出磁场的径向分量与轴向偏离值 之间的关系。假设粒子轴向偏离中心面很小，将作泰勒展开： 2,0zrrcBzB=上式中 ，忽略二次以上高次项，则(,0)rcB(2-7) rrz=下标 表示在封闭轨道上的数值。c根据麦克斯韦方程，忽略束流本身电荷， 0B- 8 -=1100rzzrzrrrzeBBBee 没有电流，磁场关于 轴对称，得z0zBr（2-8）rz将(2-8)式代入(2-7)式，求得 ，再代入(2-6)式，即得zrcB=(2-9)zcddmqert t因为粒子轴向和径向偏离封闭轨道的值 和都很小，所以粒子速度 和 之差可以zv忽略不计， 。注意到粒子回旋角频率 ， 代入上式后vzqeBmdt(2-10)2czcrdzt式中 为封闭轨道 处磁场的轴向分量。将(2-3)式磁场降落指数 的表()czcBrcr n达式代入上式即可得轴向振荡方程(2-11) 2dzmnzt2.4 径向运动方程 假设粒子偏离封闭轨道很小，可近似地认为 ，则（1-5a）可写成 dvrt(2-12) 2zdrmqeBt式中 是粒子轨道半径，粒子径向偏离“封闭轨道”半径 的值为 ，所以r crcxrcrx- 9 -式中 。将径向运动方程(2-12)等式右边的两项作如下的演变cxr=(2-13)222211cccccvvmmxrrxrx在封闭轨道附近，粒子在 处的轴向磁场可写成(2-14)()zzccBrxr()zzcc是粒子轨道偏离 值为 处的磁场轴向分量的变化量。(2-14)式可写成zcBxrcrx1() 1cz zzcc cc rBBxrr将(2-3)式磁场降落指数 的表达式代入上式即可得到n(2-15) ()1zccxrnr将(2-13)式和(2-14)式代入粒子径向运动方程(2-12)式得(2-16)211ccccdxmvxxqeBnv