2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系.ppt

1、判断下列命题对错： 1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上的所有点都在这个平面内.（ ） 2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点. （ ） 3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点必在同一个平面内. （ ） 4、一条直线和一个点可以确定一个平面.（ ） 5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可以确定一个平面. （ ）,平面有关知识（复习 ）,2.1 .2空间中直线与直线之间的位置关系,观察：教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线，既不相交，也不平行；天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直线，它们既不相交，也

2、不平行.即不能处在同一个平面内.,思考？同一平面的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？,观察：如图, 长方体ABCD-ABCD中，线段AB所在直线与线段CC所在的直线位置关系如何?,我们把上图中直线AB与直线CC叫做异面直线，一般地，从字面上怎样理解异面直线？,定义1 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).,注：概念应理解为:,“经过这两条直线无法作出一个平面” .,或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”,定义2 不相交也不平行两条直线叫做异面直线.,一.异面直线定义:,思考？空间中的直线与直线之间有几种位置关系？它们各有什么特点？,平行直线:,不同

3、在任何一个平面内，没有公共点.,同一平面内，有且 只有一个公共点；,同一平面内，没有 公共点；,从有无公共点的角度：,有且仅有一个公共点-相交直线,在同一平面内-,相交直线,从是否共面的角度,没有公共点-,平行直线,异面直线,不同在任何一个平面内-异面直线,平行直线,二.异面直线的画法,说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点,常借助一个或两个平面来衬托.,如图：,(1),(3),(2),b,a,练习：画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为：平行直线；相交直线；异面直线.,判断：分别在某两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？,思考?如何判断两条直线是异面直线？,1.利

4、用定义判断.不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线.,2.两条直线不相交也不平行.,3.过平面外一点（A）和平面内一点（B）的直线，和平面内不过这（B）点的直线异面.如图:,m与AB是异面直线,与AB是异面直线,异面直线的判定定理,答：有三对：AB与CD，AB与GH，EF与GH.,探究：如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线有几对？,动态演示,思考？在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行. 在空间中，是否有类似的规律？,公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行.,作用：判断空间两条直线平行的依据.,

5、符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若,公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.,三.平行公理4,小知识：空间四边形 如图，顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.,A,B,C,D,相对顶点A与C，B与D的连线AC、BD叫做这个空间四边形的对角线.,例题,例2 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.,分析：,欲证EFGH是一个平行四边形,只需证EHFG且EHFG,E，F，G，H分别是各边中点,连结BD,只需证： EH BD且EH BD FG BD且FG BD,

6、解题思想：,把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题是解立体几何最主要，最常用的一种方法.,例2 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.,变式： 在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?,E,H,F,G,分析：在例题2的基础上我们可证明平行四边形的两条邻边相等.,菱形,四.等角定理,思考?在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”.在空间中,结论是否仍然成立呢?,定理（等角定理） 空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补,观察：如

7、图,ADC与 、ADC与 的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？,答：我们从图中可以看出,相等或互补的条件是什么？,定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.,2,1,3,角的两边方向全相同或全相反，两角相等,分析得出,角的一边方向相同，一边方向相反，则两角互补.,分析得出,定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.,五.异面直线所成的角,在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们的夹角.夹角刻画了一条直线相对于另一条直线的倾斜程度, 如图.,在空间,如图所示, 正方体ABCDEFGH中, 异面直线AB与HF的夹角如何表

8、示？,(1)复习回顾,如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作 a，b的平行线 a和 b，则这两条线所成的锐角（或直角），称为异面直线a，b所成的角.,a,b,？,为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上.,思考 ？这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变?, aa , a a a a (公理4),解答： 如图,设a 与 b 相交所成的角为1, a 与 b 所成的角为2 ,同理 bb, 1 = 2 (等角定理),答 : 这个角的大小与O点的位置无关.,如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作ab.,异面直线a和b所成的角的范围：,说明:1)范围 2)与O的位置无关 ,为了方便点O选取应有利于解决问题，可取特殊点(如a 或 b上)； 3)两直线垂直有共面垂直和异面垂直. 4)找两条异面直线所成的角，要作平行移动(平行线)，把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的角.,例3 如图,在正方体ABCD-ABCD中. (1)哪些棱所在的直线与直线BA是异面直线？ (2)直线BA和CC的夹角是多少？ (3)哪些棱所在的直线与直线AA垂直？,解：（1）由异面直线的定义可知棱AD,DC,CC,DD,DC,BC所在直线与直线BA是异面