同济大学《高等数学》(第四版)2-6节_隐函数的导数_由参数方程所确定的函数的导数_相关变化率

1、,一、隐函数的导数,1. 隐函数的概念 所谓函数y=f(x)表示的是两个变量x和y之间的关系这种对应关系在某种情况下，可以用一个较为明确的关系式来表示. 例如, y=xn, y=sinx都反映了这种对应关系 这类关系的特点是：对自变量的每一个取值，都可以通过表达式确定一个唯一的因变量的取值用这种方式表达的函数称为显函数,但某种情况下，这种对应关系是通过一个方程F(x,y)=0来确定的通过方程可以确定x和y的对应关系，但这个关系不能象显函数那样用一个显式方程来表示例如方程 x+y3-1=0 就在区间(+)上确定了一个隐函数y=y(x)。 又如方程, x2+y2=1当限定y0，则在区间(-1, 1

2、)内确定了一个隐函数,一、隐函数的导数,一、隐函数的导数,在某些情况下，隐函数能转化成显函数，例如x+y3-1=0，相应的函数关系可转化成 但在某些情况下，并不能把隐函数转化成显函数例如 由 所确定的隐函数就很难把它表达成一个显函数的形式,隐函数的求导方法 将方程两边同时对自变量x求导。,一、隐函数的导数,1. 隐函数的概念,然后, 从这个式子中解出 y , 就得到隐函数的导数.,例1,解,解得,注意：y是x的函数，则y的函数f(y)视为x的复合函数。,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,例3,解,解 将方程两边同时对 x 求导，得：,因为当 x = 0时，从原方程可以解得 y = 0,

3、练一练,所以,解 将方程两边同时对 x 求导，得：,将上式两边再对 x 求导得：,注意 y 是 x 的函数,例4,二、对数求导法,所谓对数求导法，是通过其对数的方法，求出一些较为复杂的函数的导数它所针对的对象主要是： 1.幂指函数 2.多个函数乘积形式,对数求导法,两边取对数，得,将方程两边同时对 x 求导（注意 y 是 x 的函数）得：,解法2,解法1,转化为初等函数，直接求导法,转化为隐函数，对数求导法,例5,一般地，利用对数求导法对幂指函数 求导，可得到一般公式：,练习 设,解答,两边取对数，得,两边对 x 求导（注意 y 是 x 的函数）得：,对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、

4、开方运算 为主的函数的求导。,例6,解,练一练,解,解,所以,(3),解,等式两边取对数得,三、由参数方程所确定的函数的导数,在平面解析几何中，我们学习了用参数来表示曲线，例如，参数方程,表示的中心在原点、半径为r的圆通过参数 可以建立y与x的对应关系：,三、由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得,例6,解,所求切线方程为,例7,解,例8,解,练习,解,四、相关变化率,相关变化率问题:,已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?,例9 设圆的面积为A， 半径为 ，如果半径 以 3mm/s的速度增加，求面积A的增加速度。,所以,而,所以,例10,解,仰角增加率,例11,解,水面上升之速率,五、小结,隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;,对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;,参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;,相关变化率: 通过函