第一章插值问题

1、习 题 一1.已知 f ( 1)2, f (1)1, f (2)1 ，求 f (x) 的 lagrange 插值多项式。解：由题意知：x01,x11,x22; y02, y11, y21l0( xx1)( xx2 )(x1)(x2)(x0x1)( x0x2 )6l1( x x0 )( x x2 )( x 1)(x 2)(x1x0 )( x1x2)2l2( x x0 )( x x1)(x 1)(x 1)(x2x0 )( x2x1)3l2 ( x)ny j l jx(x1)(x2)2 (x 1)(x2) 1 (x 1)(x 1) 1j06231x23x862.取节点 x00, x1,x1 , 对

2、ye x 建立 lagrange 型二次插值函数，并估122计差。解 1) 由题意知：1 ; y0e 1, y21x0 0, x11,x21, y1e 22则根据二次 lagrange插值公式得：( x x1)( x x2 )( xx0 )( x x2 )( x x0 )( x x1 )l2 (x)x1)( x0 x2 )y0x0 )( x1x2 )y1y2(x0( x1( x2x0 )( x2 x1 )2( x 1)(x 0.5)2x(x0.5)e 14x( x1)e 0.5(22e 14e 0.5 )x2(4 e 0.5e 13) x12) 根据 lagrange余项定理，其误差为| r2

3、 ( x) | |f (3) ()21(x) | | 1 ex( x1)(x 0.5)|3!61 max | x( x1)(x0.5)|, (0,1)6 0 x 1取t (x)x( x1)(x并令t ( x)3x23x 0.500.5),可知当x33时，t (x)有极大值60.2113r2 ( x)10.2113 (0.21131)(0.21130.5)0.00802613.已知函数 yx 在 x4, x6.25, x9处的函数值，试通过一个二次插值函数求7 的近似值，并估计其误差。解： 由题意 yx知： x04, x16.25, x29; y02, y12.5, y2 3（ 1） 采用 la

4、grange插值多项式 y2xl2 (x)l j ( x) y jj 0y7l2 ( x) |x7( xx1 )( x x2 )( x x0 )( x x2 )( xx0 )( x x1 )(x0x1 )( x0x2 ) y0( x1x0 )( x1x2 ) y1(x2x0 )( x2 x1 ) y2(76.25)(79)(74)(79)(74)(76.25)2.25522.252.52.7532.7552.6484848其误差为r2 (7)f (3) () (73!又 f (3) ( x)3 x5284)(76.25)(79)354,94 20.011728| r2(7) | 1 (4.5)

5、(0.01172) 0.008796（ 2）采用 newton 插值多项式 yxn2 ( x)根据题意作差商表：ixif ( xi )04216.252.5293n 2 (7) 2 29(7 4) ( 4495) (7 4) (7一阶差商二阶差商2924114956.25)2.64848484. 设 f xxk k 0,1,., n ，试列出 fx 关于互异节点 x i0,1,., n 的ilagrange 插值多项式。2注意到：若n 1个节点 xi i0,1,., n 互异，则对任意次数n 的多项式f x ，它关于节点 xi i0,1,., n 满足条件 pxiyi , i0,1,., n

6、的插值多项式 p x就是它本身。可见，当 kn 时幂函数 f ( x)xk(k0,1,., n) 关于 n 1个节点 xi i 0,1,., n 的插值多项式就是它本身，故依lagrange公式有nxkjl j xn(nxxi )xjkxk , k 0,1,.,nj0j 0i0x jxiij特别地，当 k0时，有nnnxxl j xi1x jxij0j 0i0ij而当 k1时有nnnxxix j l j xx jxj0j0xjxii0ij5.依据下列函数表分别建立次数不超过 3 的 lagrange 插值多项式和newton插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。x0124f (x)19233解

7、：（ 1） lagrange 插值多项式33xxl3 ( x)l j ( x)y jl j ( x)ii0,x jxij0ijl 0 ( x)x x1 ? xx2 ? x x3x1 ? x 2 ? x 4 =x37x2 14 x 8x0x1x0x2x0x301 0 2 0 48l1( x)xx0 ? x x2 ? x x3x 0 ? x 2 ? x 4 = x36 x28xx1x0x1x2x1x31 0 1 2 1 43l 2 ( x)x x0 ? xx1 ? x x3x0 ? x 1? x 4 =x35x24xx2x0x2x1x2x320 2 1 2 443l3 ( x)x x0 ? xx1

8、 ?x x2x 0 ? x 1 ? x 2 = x33x22xx3x0x3x1x3x24 0 4 1 4 224l3 xx 1 x2 x 41x 0 x 2 x 49010204101214x0 x1 x 423x 0 x 1 x 232021244041421 x23x 2 x 4 3x x26x 823 x x25x 41 x x23x 284811 x345 x21 x1442（ 2） newton 插值多项式kxkf ( xk )一阶差商二阶差商三阶差商00111982223143343-108114n3 ( x)f ( x0 )f ( x0 , x1 )( x x0 )f ( x0

9、, x1 , x2 )( x x0 )( x x1 )f (x0 , x1 , x2 , x3 )( x x0 )( x x1 )(x x2 )1 8( x0)3( x0)( x 1)11( x 0)( x 1)( x2)411x345x21x 1442由求解结果可知：l3 (x)n3 ( x)说明插值问题的解存在且唯一。6. 已知由数据 (0,0),(0.5, y1 ),(1,3) 和 (2, 2) 构造出的 lagrange 插值多项式l3 x 的最高次项系数是6，试确定 y1 。解： l0 (x)xx1xx2xx3x0.5x1x2=x37x27x 1x0x1x0x2x0x300.5010

10、222l1( x)x x0x x2x x3x 0x 1x 2833x22x)x1x0x1x2x1x30.50 0.51 0.5 2=( x34l2( x)xx0xx1xx3x0x0.5x2=2x35x22xx2x0x2x1x2 x3 1010.512l3(x)xx0xx1xx2x0x0.5x1=1x31x21xx3x0x3x1x3x22020.521326l3 (x) 中最高次项系数为：0(1)8 y1(2)3126y1173347.设 fxx4 ，试利用 lagrange余项定理给出 fx以1,0,1,2 为节点的插值多项式 l3 x 。解：由 lagrange 余项定理rn (x)f (x

11、)ln(x)f (n1) ()n 1(x) a,b(n1)!可知：当 n3 时， f ( n 1) ()f (4) ( x) x4!l3 (x)f ( x)4!( x x0 )( x x1 )( x x2 )( x x3 )(31)!x4( x1)(x0)( x1)( x2)2x3x22x8.设 f ( x)c2a,b且 f (a)f (b)0 ，求证max f (x)1(ba)2 max f ( x)a xb8ax b证明 ：以 a, b 为节点进行线性插值，得l1 (x)xb f ( a)xa f (b)abba由于 f (a)f (b)0 ,故 l1( x)0 。于是由f ( x)l1(

12、 x)f () ( xa)( xb),ab2!有 f ( x)f ( ) ( xa)( xb) ，2令 t (x)(x a)( xb)x a,b5t ( x)2x(ab)0x a b 时 t ( x) 有极大值 2max f ( x) = 1 max f(x) ?max ( xa)( xb)a x b2 ax baxb1 max f(x) ? ( aba)( ab b)2 ax b22= 1 (ba) 2 max f( x)8a x b9.求作 f xxn1 关于节点 xii0,1l, n 的 lagrange 插值多项式，并利用插值余项定理证明nnnxin1li 01xii 0i 0式中 l

13、i x 为关于节点 xii0,1l, n的 lagrange 插值基函数。解：注意到f ( x)xn 1 关于节点 xi i0,1,l , n 的插值多项式为nnx xi ) xnjnln ( x)(1xjn 1l j ( x)j0 i0 xjxij 0ij其插值余项为nxn 1xnj1l j (x)j0nxin1li 0据此令 x0 即得i 0xn1n 1nnn1 !x xix xii 0i 0nn1xi。i 0附加题：设 lix为关于节点 xii0,1,., n 的 lagrange 插值基函数，证明nxikl i1,k000,k1,2,.,ni0n证明：据题4 可知，lix1i0令 x

14、0 ，则有nli01 。注意到i0nkxix0, k1,2,., n （证明见王能超数值简明教程145 页题 6）i 0x l i6n令 x 0 即有xin li00。i010.已知 f (x)x73x52x31，求差商 f 20 ,21,l ,2 7和 f20 ,21,l ,2 8。解：根据差商与微商的关系，有f (2017)f (7) ()7!1, 2 ,., 27!7!f (2018)f (8) ()00, 2 ,., 28!8!n11.已知 f (x)n1 (x)i0xxi, xi (i0,1,l,n) 互异，求 fx0 , x1,l , xp。其中 pn 1。（此题有误。）（见王能超

15、教程 p149题 2）n解：因为 f (x)n1 (x)xxi, xi (i0,1,l,n) ，则i0f ( xj )n 1 (x j )nf ( xj)fn由差商性质 f (x0 , x1,., xn )可知，n1 (x j )j0n!pf ( x j )f ( x0 , x1,., xp )0, p0,1,.,nj 0n1 ( xj )而nx ) (n 1)( xf (n 1) ( )i 0i(n 1)!f ( x0 , x1,., xn 1)1( n1)!(n1)!(n 1)!12.设首项系数为1 的 n 次式 fx有 n 个互异的零点 xi i1,2, n ，证明nk0, k0,1,l

16、, n2xjj1fxj1,kn1证明：按题设，fx有表达式nf xx xii1故原式左端7nknkx jx jj1 fx jj1nx jxii1ij注意到上式右端等于gxxk 关于节点 xi i1,2,., n的 n1阶差商 g x1 , x2 ,., xn（见第10 页 2.1 式）利用差商与导数的关系（见2.11 式）得知g x1, x2 ,., xng n10, k0,1,., n 2n1 !1,kn113设节点 xi i0,1,l,n与点 a 互异，试对 fx1证明axf x0 , x1,lk10,1,l, xk, k,ni 0axi并给出 f x 的 newton 插值多项式。解依差

17、商的定义f ( x0 )1，ax0f ( x0 , x1 )f (x1) f (x0 )1(111x1x0x1)(a x1 )(a x0 )x0 a x1a x0一般地，设1k1f (x0, x1 , , xk )ki 0(axi )(axi)i 0则f ( x0 , x1, , xk 1)f ( x1 , x2 , , xk 1 )f ( x0 , x1 , , xk )xkx011k11k1x0()xk 1i 1 axii 0 axik1111i 1 k 1i 0axi xk 1x0axk 1ax01axi故 f x1的 newton插值多项式为ax8nn (x)f (x0)f ( x0

18、, x1)(xx0 )f (x0, x1, xn)(xx0 )(x x1 ) (x xn 1 )1xx0(xx0 )(x x1)(xxn 1 )ax0(ax0)(ax1)(ax0 )(a x1 )(axn)n1k1xxik 0axki0axi14设 p x 是任意一个首项系数为1 的 n+1 次多项式，试证明n(1)pxpxklk xn1xk0np xk(2) pxx1n1xxkn 1 xkk0n其中。 n1xxxi。i 0解：(1)由题意，可设 p( x)xn 1a1 xna0 ,则 p(n 1) ( x)(n 1)! ，由 lagrange插值余项公式得p( n1)()np( x)ln (

19、 x)1( x)1( x), 其中 ln ( x)p( xk )l k ( x)(nnn1)!k0n故有 p(x)p( x )l( x)n 1( x)k kk 0(2) 由(1) 式可知，p( x)n 1xnnn 1xp( xk )lk xn 1 xp( xk )x xkxkk 0k 0n 1故有，p ( x)n 1 (x)np( xk )1k 0 ( xxk ) n 1 ( xk )15给定数据表：x13022f ( x)3133543构造出函数f (x) 的差商表，并写出它的三次newton插值多项式 .解：利用 newton 插值公式：n3 (x)f ( x0 )( xx0 ) f (x

20、0 , x1 )( xx0 )( xx1 ) f ( x0 , x1, x2 )(xx0 )( xx1 )( xx2 ) f ( x0 , x1, x2 , x3 )9先作出差商表kxkf (xk )一阶差商二阶差商三阶差商f ( xk , xk 1 )f ( xk , xk 1 , xk 2 )f ( xk , xk 1 , xk 2 , xk 3 )01313/213/41/22031/61/3325/3-2/3-5/3-2故：n 3x 311x 1 x32 x 1 x3x 132x 0222x316 x210 x33316 .求作满足条件 h (0)1, h (0)12. 的插值多项式,

21、 h (1) 2, h (1)2px 。解法 1：根据三次 hermite插值多项式：h 3 ( x) (1 2 x x0 )( x x1 )2 y0(1 2 xx1 )( x x0 )2 y1x0x1x0x1x1x0x1x0(x x0 )( x x1 )2 y0( x x1)( x x0 )2 y1xxxx0110并依条件 h (0)1,h(0)12, h (1)2. ，得, h (1)2h 3 (x)(1 2x)( x1)22(32x) x21x( x1)22( x1)x2112x3x122解法 2：由于 x00, x1 1，故可直接由书中（3.9）式，得h3x a x y0a x y b

22、 x yb x y 01100111x2x 1 2x 1 2x 1 1 x22 x 3 2 x x 1221 x31 x212217设 fx充分光滑， fafbfa0 ，求证maxfx2ba3fxmaxax b81ax b10证明：显然，满足条件h 2 ah 2 bh 2 a0 的插值多项式h 2 x0由 hermite 插值余项公式得f ( x)f (x)h 2 ( x)f () (xa)2 (xb)3!由于maxx ax b4ba32a x b3故max fx4 13b3max fx23max f xab aa x b3! 3a xb81a xb18求作满足条件 h 301,h 312,

23、h 329, h 313 的插值多项式h 3x ，并估计其误差。解法 1：由已知条件x012y129y3用基函数方法构造 h 3 x 。令h 3 xa0 x y0a1 x y1a2 x y2b1 x y1其中， a0 x , a1 x , a2 x , b1 x 均为三次多项式，且满足条件a0a0a0a0aaaabbbbaaaa依条件可设 a0xc x122，由 a0 0=1, 可得：xc= - 1 ,a0 x1 x 1 x 2222同理， a1 xxx 2, a2x1 x x 12, b1xx x 1 x 212h 3 x2x 1 x 2 1 x x 2 2 x x 1 x 2 321 x x19x312211误差为： r3 xfxh 3 xf4xx2x24!1解法 2：用承袭性构造 h 3 x由条件 h 301, h 312, h 329 先构造一个二次多项式 n 2 (x)作差商表：ixip(xi )一阶差商二阶差商001112122973于是有： n 2 ( x)1 1( x0)3( x0)( x1)3x22 x1令所求插值多项式h 3xn2 (x)c( x x