《高等数学教案一》word版

1、精选文档湖南机电职业技术学院学期授课计划学 期2008年 9 月 至 2009 年1 月学年度第 一 学期课 程 名 称高 等 数 学 使 用 教 材名 称 及 版 别大学数学应用基础湖南教育出版社第二版采用大纲名称及拟定者高等数学教学大纲 校编适用专业班级酒管0801、02 电子0801、02 网络080103 软件0801、02 ACCP/IBM0801本课程总课时48本期前已授课时0本学期总课时周 课 时讲 课实 验测 验 复 习机 动4043424本计划制定教师谭洁本计划使用教师 谭洁 田智 关章才 童丽娟 教 研 室 主 任系 主 任教 务 处 长本课程本学期教学目的及要求: 教学目

2、的:通过本课程的学习使学生掌握高等数学的思想与思维方式,提高理性思维的能力,全面改善学生的素质,加强分析问题的能力,应用意识和创新意识的培养,注重高等数学教学中弘扬人文精神的教化作用,以期在数学教学中全面体现知识,能力和素质的统一.教学要求:对高职学生来说,要掌握相关的高等数学的理论与知识,根据我校学生的知识层次和课程设置的要求,在教学中从以下几方面提高学生的素质与能力,做到学有所用,学以致用.首先精选教学内容,再精简相关的内容,把总课时控制在44左右,其次在教法上尽量使用现代教学方式,提高教学质量,培养学生科学的思维方法和用数学的意识,了解常见的解题技巧与方法.重点知识掌握函数的极限、函数的

3、导数与微分,函数的极值和最值的应用,以及不定积分的初步知识和定积分意义与运用。 学 期 授 课 计 划序号周次授 课 内 容 提 要授课形式作业111.1-1.6函数、函数的特性、反函数、幂函数、指数函数与对数函数、三角函数与反三角函数、复合函数、初等函数面授 P6:3 P10:4,5P12:121.9-1.10数列的极限、函数的极限面授P44:4321.11-1.12无穷小与无穷大、极限的运算法则面授P49:4,541.13极限存在准则，两个重要极限面授P59:3531.14函数的连续性面授P66:6,762.1导数的概念面授P87:4，5742.2-2.3函数的和、差、积、商的求导法则复合

4、函数的求导法则面授P92:1单 P95:1 单82.4-2.5隐函数的导数、初等函数的导数面授P101:2952.7-2.8高阶导数、函数的微分面授P116:3单，4103.2罗必达法则面授P137:2单1163.3函数单调性的判别法面授P140:2单123.4函数的极值面授P145:1单1373.5函数的最大值和最小值面授P148:6,7143.6-3.7曲线的凹凸与拐点，函数图像的描绘面授 p155: 1(1)(2);2(1) 1584.1不定积分的概念面授P176:3164.2不定积分的运算法则与直接积分法面授P181:1（1）（8）1794.3换元积分法面授P189:1（1）（8）18

5、4.4分部积分法面授P193:（1）（8）1910复习（一）面授20复习（二）面授备注：严格按此计划组织教学，授课内容误差不得超过2个课时；各班级按教学进度表组织教学，如有实习周或放假周，按计划内容顺延。湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案(一)备课组长签名： 教师签名： 班 级日 期课题 ： 1.1-1.6函数、函数的特性、反函数、幂函数、指数函数与对数函数、三角函数与反三角函数、复合函数、初等函数教学目的(知识、技能、态度)：1、介绍高等数学学习方法，了解与初等数学之间的区别与联系；2、复习函数概念，认识几个特殊函数，掌握函数的几种特性。3、复习几个常见函数的，掌握其特性和图像性

6、质。教学重点：函数的特性教学难点：函数与反函数的关系课 型 ：新授课主要教学方法：启发引导式 讲授法教 学 过 程 设 计（时间大体分配）教学方法.组织教学： 自我介绍，课程介绍与要求，考勤 、新课教学一、函数定义设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，变量y按照一定的法则总有确定的数值和它对应，则称y是x函数。记作。其中x叫自变量，y因变量。二、函数的几种特性（1）函数的奇偶性如果函数f(x)对于定义域内的任何x，恒有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。例如，,由于f(-x)=f(x)，所以，如果点M(x,f(x)在函数图形上，那么它关于y轴

7、的对称点M（-x,f(x)）也在图形上，因此，偶函数的图形关于y轴对称。（2）函数的周期性对于函数y=f(x)，如果存在不为零的常数T，使关系式对于定义域内任何x值都成立，则称函数f(x)为周期函数，T叫做f(x)的周期，一般我们所说的周期是指最小正周期。例如，sinx，cosx是周期函数，它的周期是2。（3）函数的单调性如果对于区间(a,b)内的任意两点x1和x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间（a,b）内是单调增加的；如果当x1f(x2)，则称函数f(x)在区间（a,b）内是单调减少的。单调增加的或单调减少的函数统称为单调函数。类似地，可以定义无穷区间上的单调

8、函数。单调增加函数的图形是沿x轴正向逐渐上升的；单调减少函数的图形是沿x轴正向逐渐下降的。（4）函数的有界性设函数在区间I内有定义（I可以是函数f(x)的整个定义域，也可以只是定义域的一部分）。如果存在正的常数M，使得对于区间I内的任何x值，恒有，则称函数f(x)在区间I内是有界的；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在I内是无界的。三、反函数在自由落体运动中，我们选定时间t为自变量，距离S为函数，则距离S与t的函数关系为.我们也可以选取距离S作为自变量，则时间t作函数，这时t与S的函数关系式为 ,我们称是的反函数。当然也是的反函数，它们互为反函数。一般地，设给定y是x的函数y=f(x)，如果

9、把y当作自变量，x当作函数，则由y=f(x)所确定的函数x=(y)叫做函数y=f(x)的反函数，而f(x)叫直接函数。习惯上，我们总是用x表示自变量，y表示因变量。因此，我们把反函数x=(y)改写为y=(x)，称y=(x)和y=f(x)互为反函数。四、幂函数、指数函数、对数函数幂函数：函数，其中为任意实数，叫幂函数，它的义定域随的不同而不同。但不论取什么值，幂函数在（0，+）内总有定义，且图形都通过（1，1）。中，=1，2，3，-1是最常见的幂函数。有些幂函数具有奇偶性。例如 是（-，+）内的偶函数，而是（-，+）内的奇函数。指数函数：函数（a0，a1）叫做指数函数，它的定义域是（-，+）。因

10、为恒有0，及=1，所以指数函数的图形总在x轴上方，且通过点（0，1）。以常数e=2.71828为底的指数函数，是科技中常用的指数函数，关于常数e的意义本章将详细说明。指数函数具有单调性。例如，在（-，+）内是单调增加的，而在（-，+）内是单调减少的。对数函数：指数函数的反函数，记作叫做对数函数，它的定义域是（0，），对数函数的图形，可以从它所对应的指数函数的图形按反函数的作图规则作出。工程实际问题中常遇到的以e为底的对数函叫做自然对数函数,简记作y=lnx。五、三角函数与反三角函数常用的三角函数有,正弦函数y=sinx(-x+)，余弦函数y=cosx (-x0且无限增大（记作），可以想见有同样

11、，当x0而绝对值无限增大（记作）时，也有 两种情况合起来，就是当时，自变量无限接近于有限数时，函数的极限对于函数y=f(x)，如果当自变量x无限接近于x0时，函数f(x)无限接近某个常数A，那么常数A叫做函数f(x)当时的极限。记作 或 ，其中叫f(x)的极限过程。 关于极限概念，应注意以下几点： A 所谓“x无限接近于x0”是指x与x0差的绝对值（在数轴上来说是距离）无限减小，至于x以什么方式接近于x0，定义中并不要求，x可以从大于x0无限接近于x0，也可以从小于x0无限接近于x0，还可以从两个方向交替地无限接近于x0。 B 所谓“f(x)无限接近于某个常数A”是指可以任意小。 C 定义中是

12、不包括的，故有，所以当时，f(x)有没有极限与f(x)在点x0是否有定义无关。 D 函数对于不同的极限过程，可以存在也可以不存在极限，例如，当时，可证明（性质） 但当时，的值恒在-1和1之间摆动，不无限接近于某个确定的常数，所以不存在。 前面已经指出，极限概念中的，x无限接近于x0的方式是任意的。但有时只能或只需考虑x仅从小于x0，即仅从x0的左侧（在数轴上看）无限接近于x0（记作-0）的情形，或x仅从大于x0，即仅从x0的右侧无限接近于x0（记作+0）的情形。 当-0时，,A叫做函数f(x)当时的左极限，记作。 当时，,A叫做函数f(x)当时的右极限，记作。 根据上述极限的定义，容易证明。

13、函数f(x)当时极限存在的必要且充分条件是左极限、右极限各自存在并且相等。即例3，讨论函数当时是否存在极限。解： 由于，所以不存在。自变量趋向无穷大时，函数的极限 对于函数y=f(x)，如果当自变量x的绝对值无限增大时，函数f(x)无限接近某个常数A，那么常数A叫做函数f(x)当时的极限，记作 或 ，其中叫f(x)的极限过程。很明显，自变量x的绝对值无限增大包含两种基本形式，即x从某个值开始取正值无限增大（记作）和x从某个值开始取负值时其绝对值无限增大（记作）。如果当，（）时，函数f(x)无限接近某个常数A，那么常数A叫做函数f(x)当，（）时的极限，记作：（）例如，考察函数的图象，求出下列极

14、限：，。 作业（课后平行项目）：P38:3； P45:6 课堂小结：本节通过观察一个数列的变化趋势引入了数列极限及函数极限概念，并认真地对自变量的不同变化趋势情形，讨论了数列和函数极限的存在条件。最后介绍了无穷小量和无穷大量概念，研究了无穷小量的性质、与极限的关系以及无穷小量与无穷大量之间的关系，内容较多。 课堂情况记录及课后分析：51010101015101010 下堂课预习要求：湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（三）备课组长签名： 教师签名： 班 级日 期课题 1.11-1.12无穷小与无穷大、极限的运算法则教学目的(知识、技能、态度)：理解无穷小量与无穷大量定义，了解它们之

15、间的关系以及与极限间的关系；熟悉极限的四则运算法则和复合函数的极限法则；提高理解能力与运算技能。 教学重点：无穷大与无穷小概念，性质；极限的四则运算法则，复合函数的极限求解。教学难点：无穷大与无穷小的理解与运用，极限运算法则的熟练掌握。课 型 ：新授课主要教学方法：启发式教学法；讲授法。教学场所、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体分配）教学方法.组织教学： 考勤，检查预习情况 复习引入：以极限定义及观察法求极限，一般函数的极限的计算有其法则和技巧吗？、新课教学一、无穷小与无穷大 1.无穷小：在研究函数的极限时，常常遇到这样的情况：当自变量或时，函数的极限为零，即这时，我们把函数叫做当（

16、或）时的无穷小或无穷小量。例1 因为 ，所以1是当时的无穷小。例2 因为，所以是当时的无穷小。例3 因为，所以（x2）2是当时的无穷小。 应该明白，无穷小是一个以零为极限的变量，不能把它与一个很小的数混淆起来。因为一个很小的数，如10-8，10-26等，无论它多么小，总是不变的，因此它不能以零为极限。但是零是唯一可以看作无穷小的数。无穷小的性质：（1）有限个无穷小的和是无穷小。（2）有限个无穷小的乘积是无穷小。（3）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。由（3）可以直接推得：常数与无穷小的乘积是无穷小。函数极限与无穷小的关系：定理1：设函数的极限为（或），即，则有=A-A=0所以，f(x)-A是无穷

17、小，记为(x)，即。于是有 ，其中。因此得到：有极限的函数可以表示为它的极限与一个无穷小之和，反之，如果函数可以表示为常数与一无穷小之和，则该常数就是函数的极限。2. 无穷大定义2：如果当（或）时，y=f(x)的对应函数值的绝对值无限增大，则应当说函数f(x)当（或）时为无穷大或无穷大量。这时按极限的定义，函数的极限是不存在的，但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作 。如果在无穷大的定义中，对于x0邻近的x或相当大的x，对应的函数值都是正的（或都是负的），则记作 例如，。必须注意，不是数，不可与很大的数（如108、1020等）混为一谈。3. 无穷大与无穷小的关系定

18、理2： 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)的绝对值无限增大，那么就会无限减小而趋于零，反之亦然。所以有：如果f(x)是无穷大，则是无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，则为无穷大。4. 无穷小的比较（1）若，则称是比高阶的无穷小，记作。（2）若，则称是比低阶的无穷小。（3）若，则称是比是同阶无穷小；若C=1，即，则称与是等价无穷小，记作。例如。例4 因为，所以当时，3x2是比x高阶的无穷小，即。例5 因为，所以当时，与是等价无穷小，即。二、 极限的运算法则1.极限的四则运算法则。上节通过观察函数的变化趋势，求出了某些简单函数的极限，本节再给出极限的运算法则。为叙述简便起见，在下面的讨论中，记

19、号lim下边不标明自变量的变化过程，意思是说对,所建立的结论都成立。设limf(x)=A，limg(x)=B，C是任意常数，n是正整数。法则 。法则 特别地，当g(x)=C时，有。这就是说，求极限时，常数因子可以提到极限符号外面。又。法则法则 如果f(x)g(x)，那么AB。必须注意，上述法则成立的前提是参与运算的函数存在极限，否则法则不能使用。例6 求 ,。例7 求,。、复合函数的极限法则可以证明下述复合函数的极限法则：定理2 设函数与函数满足条件：（）；（）当时，且。则复合函数当时的极限存在，且。例8 求 作业（课后平行项目）： P49:4,5 课堂小结：本节介绍了无穷大与无穷小的概念，无

20、穷小的比较，以及它们在求极限中的应用；介绍了极限的四则运算法则与复合函数的极限法则，要熟练掌握。 课堂情况记录及课后分析：51010105515101082 下堂课预习要求：湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（四）备课组长签名： 教师签名： 班 级日 期课题 1.13极限存在准则，两个重要极限教学目的(知识、技能、态度)：了解极限存在准则，掌握两个重要极限; 利用法则与重要极限会求某些函数的极限.提高观察分析能力。教学重点：利用法则与重要极限求极限。教学难点：重要极限的认识与应用课 型 ：新授课主要教学方法：引导式教学法；讲授法.教学场所、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体

21、分配）教学方法.组织教学： 考勤，复习回顾: 无穷大与无穷小，极限的四则运算法则。 、新课教学1. 极限存在准则与重要极限准则 如果对于x0的某邻域内的一切x（可以不包含x0），或者对于绝对值充分大的一切x，有；并且有，则当或时，f(x)的极限存在，且limf(x)=A。 证明： ， 即 注：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的型的极限。（2）公式形象的记为：例1 求 解略 例2求 解 ： 例3 求 解： 2. 极限的存准则与重要极限首先来定义数列的单调性和数列的有界性。数列的单调性:如果对任何正整数n，总有，则称数列是单调增加的；如果对任何自然数n，总有，则称数列是单调减少的。例如，数列

22、3，4是单调增加的，而数列1是单调减少的。数列的有界性:如果存在正的常数M，对任何正整数n，总有则称数列是有界的；否则，称数列是无界的。例如，数列1，2，3都是有界的，而数列4则是无界的。准则 单调有界数列则必存在极限。 引导学生观察书本22页图表，以及数列的特点,结合存在准则,得出上述极限。 注：（1）上式中令，则有即（2）公式形象记忆为：；（3）此极限主要解决型幂指函数的极限。例4 求解：原式例5 求解:原式=例6. 求 解:设,则当时,于是:=例7. 求 解: = = 作业（课后平行项目）：面授P59:3 课堂小结：本节主要介绍了极限存在准则，同时介绍了两个重要极限，除上节通过观察法能求

23、一些简单函数外，现在可以利用它们求一些较为复杂函数的极限，特别注意重要极限的使用。能分析总结一些求极限的技巧。 课堂情况记录及课后分析：51015151010用到同底数的幂的运算。可以以提问的方式回顾。1510 下堂课预习要求：湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（五）备课组长签名： 教师签名： 班 级日 期课题： 1.14函数的连续性教学目的(知识、技能、态度)：理解函数连续性的两个定义，了解间断点的类别,掌握初等函数在定义区间上的连续性，了解闭区间上连续函数的性质及应用；提高观察分析能力。教学重点：初等函数在定义区间上的连续性。教学难点：连续性与间断点的判别，闭区间上连续函数的性

24、质的理解和应用。课 型 ：新授课主要教学方法：数形结合法，分析法教学场所、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体分配）教学方法.组织教学： 上节回顾：两个重要极限公式无穷小的比较；作业讲析、新课教学一、 函数的增量 在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性 在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念增量 定义1 如果函数 在的某个邻域内有定义，当自变量从变到，函数相应地从变到，因此函数相应的增量为： 强调：增量可正可负，其实是变量的改变量。例1 设，求适合下列条件的自变量的增量和函数的增量：（1）由1变化到0.5（2）

25、由1变到（3）由变到解略。二、函数连续性的概念 1. 一点处连续的定义。 定义2 设函数在点的某个邻域有定义,如果当x趋向于零时，函数y对应的增量y也趋向于零，即：那末就称函数在点x0处连续。例2 证明函数在点处连续。 定义3 设函数在点x0的某个邻域内有定义，如果有称函数在点x0处连续，且称x0为函数的的连续点. 由定义，函数在点连续需同时满足三个条件：（1） 函数在点的一个邻域内有定义，即存在（2） 存在，即左右极限相等（3） 上述两个值相等，即极限值等于函数值=例3 讨论函数在处的连续性。例4 讨论函数在处的连续性。例5 讨论函数在处的连续性。 2. 区间连续 设函数在区间(a,b内有定

26、义，如果左极限存在且等于， 即：=，那末我们就称函数在点b左连续.设函数在区间a,b)内有定义，如果右极限存在且等于， 即：=，那末我们就称函数在点a右连续. 一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续，若又在a点右连续，b点左连续，则在闭区间a，b连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。三、函数的间断点分类原因包含情况类型第一类间断点,都存在跳跃间断点=可去间断点第二类间断点不属于第一类间断点的无穷间断点结合前面的例子分别介绍.例3为无穷间断点,例4为可去间断点,例5为跳跃间断点四、 初等函数的连续性1. 连续函数的和、差、积、商的

27、连续性由函数在一点处连续的定义和极限的四则运算法则可知：, 2. 复合函数的连续性 设函数当xx0时的极限存在且等于a，即：.而函数在点u=a连续，那末复合函数当xx0时的极限也存在且等于.即： 。 注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换： 所以-初等函数在其定义区间内连续。例4 求。 解：由对数函数的连续性有 原式 例5 求 解：由于属于初等函数的定义域之内，故由的连续性得 五、 闭区间上连续函数的性质 定理1.4 （最大值和最小值定理） 如果函数 在闭区间上连续则它在上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得亦即 ， 若x0使，则称x0为函数的零点 推论： 如果函数在闭区间

28、上连续，则它在上有界。MBCmab定理1.5（介值定理） 如果函数在闭区间上连续，则在上能取到它的最大值 和最小 值 之间的任何一个中间值。推论（零点定理） 如果函数在闭区间上连续，且在区间的两个端点异号：则至少有一个零点，使例6 证明方程在（0，1）内至少有一个实根。 解略 作业（课后平行项目）： P66: 6, 7 课堂小结：本节主要介绍了函数的连续性，并指出了函数在某点处连续所必须具备的三个条件及所有初等函数在其定义域内都是连续的。列举了函数三种间断点类型。详细地介绍了闭区间上连续函数的性质及应用。 课堂情况记录及课后分析： 2 5 10由图形分析加强学生对定义的理解 10 10 15

29、5 5 5 10 5 5 3 下堂课预习要求：湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（六）备课组长签名： 教师签名： 班 级日 期课题 ： 2.1导数的概念教学目的(知识、技能、态度)：理解导数的定义,几何意义;掌握导数的表示方法,由定义求导的三个步骤,以及可导与连续的关系. 培养学生联系的、辩证统一的思想；培养学生解决实际问题的能力。 教学重点：导数的定义与求导数的方法.教学难点：导数概念的理解和可导与连续之间的关系。课 型 ：新授课主要教学方法：讲授法、讨论法、案例教学法教学场所、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体分配）教学方法.组织教学： 考勤，检查预习情况。 、新课教学

30、一、两个引例。 引例1 求变速直线运动的瞬时速度。 瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度。 确定物体在某一时刻处的瞬时速度的方法：从t0到t0+t，这段时间是t. 时间t足够短，就是t无限趋近于0. 当t0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度 瞬时速度 引例2 曲线的切线。如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线确定曲线c在点处的切线斜率的方法：因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要

31、求出切线的斜率就够了设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即tan=二、导数的定义 由于速度问题、切线问题以及其他许多问题(如电流强度、角速度、线密度等等)均导致形如 的极限,我们撇开这些量的具体意义，抓住他们在数量关系上的共性，就得出函数的导数概念 定义2.1 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相当函数取得增量；如果与之比当时的极限 存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数， 记作，或。即： 函数在点处可导有时也说成在点具有导数或导数存在；

32、若极限不存在，则称函数在点处不可导 注：(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在 (2)导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度 (3)左导数: 右导数: 函数在可导函数在处的左右导数存在且相等.(4)由导数定义，上述两个引例中：例1 求y=x2在点x=1处的导数.分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求y，再求，最后求.解：y=(1+x)212=2x+(x)2，=2+x= (2+x)=2. 2. 导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导

33、数，也可记作，即在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即所以函数在处的导数也记作注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值可导: 如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导三、求函数导数的一般方法：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数 注意：(x)2括号别忘了写. 例2 已知,求y.解：略 分析：例1中的一点处的导数与这里的任意点处的导数的关系。 例3 求

34、函数的导数。 解：（1）；（2）；（3) 特别地：当时，有点评：求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法不能忘掉.四 、 导数的几何意义由导数的定义可知:函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即,其中是切线的倾角.如下图：如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为例2 求曲线在点（2，8）处的切线方程和法线方程。解略。五、 可导与连续的关系定理2.1 如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.设函数在点可导,即有: 由极限与无穷小的关系得:

35、 其中为当时的无穷小,上式两端同乘以,得 当时,由连续性的定义可知:f(x)在x0处连续.连续未必可导可通过反例说明，如y=|x|=在x0=0处y=(x)=0，y=x=0，y=0y=|x|在x=0处连续.=y=|x|在x0=0处不可导. 作业（课后平行项目）：P87: 4，5 课堂小结： 本节介绍了导数的定义、几何意义以及可导与连续之间的关系，同时重点介绍了利用导数定义求函数导数的具体步骤，要求大家掌握并记住几个基本初等函数的导数公式。 课堂情况记录及课后分析： 2 10 10 10 5 10 20 5 5 10 3 下堂课预习要求：湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（七）备课组长

36、签名： 教师签名： 班 级日 期课题： 2.2-2.3函数的和、差、积、商的求导法则复合函数的求导法则教学目的(知识、技能、态度)：掌握四则运算求导法则；掌握复合函数求导法则；通过一定数量的求导练习培养运算能力。教学重点：利用求导法则求函数的导数。教学难点：复合函数的求导法则的理解与应用。课 型 ：新授课主要教学方法：讲练结合法教学场所、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体分配）教学方法.组织教学： 清查人数，作业讲析， 复习引入1导数的定义及求导步骤，几个基本初等函数的求导公式；2函数 ，等等的导数又如何计算呢？、新课教学一、函数和，差的求导法则。 A设函数u(x)及v(x)在点x有导

37、数，则函数u(x)v(x)在点x也有导数，并且：即两个函数的和或差的导数等于它们的导数的和或差。 即 上述法则可以推广到任意有限个可导函数的和或差的情形 B设函数u(x)及v(x)在点x有导数，则乘积u(x)v(x)在点x也有导数，且： 即两个函数乘积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第二个函数的导数乘第一个函数。 。 C设函数及在点有导数，且，则函数在点也有导数，且： 例1 求的导数。 例2 求的导数。 例3 求的导数。例4 求的导数。例5 求y=tgx的导数 用类似方法可求得。 例6 求y=secx的导数。用类似方法可求得。练习：P92 1，双二、复合函数的求导法则设函数在点x

38、 处有导数，函数y=f(u)在x的对应点u处有导数，则复合函数在点x处也有导数，且 或: 即两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数。注：复合函数的求导法则也称为链式法则，它可以推广到多个变量的情形。 例7 求的导数 例8 求的导数 例9 求的导数 例10 求的导数。 例11 求的导数 例12 求的导数练习：P95 1，双 作业（课后平行项目）：P92:1单 P95:1 单 课堂小结：本节介绍了导数的四则运算求导法则和复合函数的求导法则。特别是对于复合函数的求导法则请一定要按复合步骤一步一步求导并做乘积 课堂情况记录及课后分析： 5 10 20 1

39、0 10 2010 5 下堂课预习要求：湖 南 机 电 职 业 技 术 学 院 教 案（八）备课组长签名： 教师签名： 班 级日 期课题： 2.4-2.5隐函数的导数、初等函数的导数教学目的(知识、技能、态度)：了解隐函数概念及隐函数的求导法则；熟悉幂指函数的对数求导法；熟练掌握初等函数的求导公式和基本公式。教学重点：隐函数与幂指函数的求导方法；初等函数求导公式。教学难点：隐函数求导。课 型 ：新授课主要教学方法：引导式教学法；归纳法；讲授法教学场所、设备要求：教 学 过 程 设 计（时间大体分配）教学方法.组织教学： 复习引入：1几个基本初等函数的求导公式；2两个求导法则。、新课教学一、 隐

40、函数的求导方法1.隐函数概念我们过去所遇到的函数中，自变量x和函数y之间的函数关系通常用这种明显的表达式给出。这种形式的函数，叫做显函数。如：，等。但在方程中，给x一个确定的值，有唯一确定的y值与之对应，因此y是x的函数。这种函数关系隐含在方程中。我们把有方程所确定的函数叫做隐函数。例如，下列方程都给出了一个相应的隐函数：（）；（）；（）。很明显，有时可以将隐函数化为显函数的形式，如上面的（）式很容易化为显函数：。但通常将隐函数化为显函数是比较困难的，如上面的（）式就无法将y表示成的显函数。2. 隐函数的求导方法例1求由方程所确定的隐函数的导数。解：在方程中，将y看成x的函数，则是x的复合函数

41、，因此，利用复合函数的求导法则，方程两端同时对x求导，得：。即： 从中解出，得：。注意：上述结果中的y任然是由方程所确定的隐函数。习惯上，对隐函数求导，结果允许用带有y的式子表示。例1表明，求隐函数的导数时，只需在方程中，将y看成x的函数，y的表达式看成x的复合函数，利用复合函数的求导法则，方程两端同时对x求导，得到一个关于x、y、的方程，从中解出，即得到所求隐函数的导数。例2求由方程所确定的隐函数的导数。解：方程两端对求导，得：解得：例3求椭圆在（，）处的切线方程解由导数的几何意义知，所求切线斜率为：。椭圆方程两边对x求导，得：。解出，得：。将x2，y代入上式，得：，于是所求切线方程为：。即：。二、幂指函数的求导方法一般地，幂指函数可以用对数求导法求导，也可将幂指函数写成，再用复合函数求导法求导。例4用对数求导法求幂指函数的导数。解两边取对数，得：。两边对x求导，得：。整理，得：。例5求幂指函数的导数。解对数求导法，对由多个因子通过乘、除、乘方或开方所构成的比较复杂的函数的求导也是很方便的。例6求函数的导数。解两边取对数，得：两边对x求导，得：即： 三、初等函数的导数 1.导数的基本公式 2 函数的和、差、积、商的求导法则：（）（）（）3.复合函数的求导法则： 设，