人教A版高中数学选修2-1《圆锥曲线起始课》教案

1、 “圆锥曲线起始课”教学设计一【教学内容解析】1圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，也可以说是核心内容它是继学习了以直线和圆为代表的简单图形之后，用平面几何的方法无法研究的较为复杂的图形圆锥曲线能充分体现解析几何研究方法2圆锥曲线是体现数形结合思想的重要载体圆锥曲线的研究不是采用逻辑推理的形式，而是运用代数的方法即以代数为工具解决几何问题，用代数的语言来描述几何图形，把几何问题转化为代数问题，实施代数运算，求解代数问题，再将代数解转化为几何结论，这一过程体现了从形到数的数形结合的思想3圆锥曲线是二次曲线非常重要的数学模型，同时它的几何性质在日常生活，社会生产以及其他科学中都有着重要而广泛的应

2、用，宇宙天地的运动，光学仪器，建筑学等等因此圆锥曲线的学习对学生进一步理解数学模型的意义，树立观念都非常有价值本节课的内容是选自北师大出版社高中数学选修2-1第三章知识的引言部分，属于策略性和介绍性为主的起始课二【教学目标设置】1知识与技能目标本节课的主线为圆锥曲线的发展史，从中参插各种情景通过用平面对圆锥面的不同的截法，产生三种不同的圆锥曲线，经历概念的形成过程，从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系，通过具体情境，从中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，理解它们的定义（主要是椭圆）2过程与方法目标初步了圆锥曲线研究的内容；通过动手试验、互相讨论等环节，使学生形成自主学习以及相互协作的团队精神

3、；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助实物模型，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，体会解析几何的研究方法3情感、态度与价值观目标 通过以圆锥曲线的发展史为主线，设立多种情景引入方式，让学生激发学习圆锥曲线的兴趣，能够自主学习、自我探索，形成注重实践、热爱科学、勇于创新的情感、态度与价值观4重难点重点：圆锥曲线的发展史及定义，椭圆的定义难点：用Dandelin双球发现椭圆的定义，通过椭圆的定义类比双曲线定义三【学生学情分析】1这节课的授课对象是高中二年级的学生，他们有较好的学习习惯，有一定的口头和书面表达的能力在知识层面

4、上，高一阶段已学习了立体几何空间旋转体中的圆锥，学生具有一定的空间想象能力，学生还学习了解析几何中的直线和圆，具有一定的用解析方法处理问题的能力在方法的层面，学生在高一、高二年级的学习中基本掌握了数形结合的思想与类比与转化思想2学生在学习过程中,也可能会遇到诸多困难：从空间的圆锥截出平面图形的转化问题，特别是通过Dandelin双球发现椭圆的定义；还有理解椭圆，双曲线定义时点的轨迹及动态问题四【教学策略分析】1整个课堂的主线是圆锥曲线的发展史，使学生产生兴趣，并以润物细无声的方法安排各种情景，让学生很自然进入学习圆锥曲线的学习，为后面采用解析的方法学习埋下了伏笔2由于是起始课，因此多采取直观的

5、演示幻灯片、动画、实验和使用实物模型，直观感知、操作确认，避免过度抽象. 思辩论证、度量计算等手段在后续课程中再采用3在处理椭圆定义的环节，创造条件让学生亲自动手画出椭圆，并安排了一系列情节引导学生在操作过程中注意细节，鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解4从多种具体情形出发，引导学生归纳出一般规律，培养学生的归纳总结能力采用模型和软件，使学生的想法能够即时得到实现，所想即所见，快速形成正确认知，提高教学实效性五【教学过程】环节教学过程和师生活动意图，理念与备注1课题引入通过生活中的一系列图片让学生在认知的曲线师生活动：让学生踊跃发言1从实际生活出发，

6、直观感知各种圆锥曲线的存在，使学生在头脑中产生各种曲线的初步印象，为下一步的数学抽象做准备2特别是“愤怒的小鸟”这个抛物线段片让学生马上产生兴趣，积极参与发现与探索，加深直观印象2复习和准备1.复习圆锥的形成2.由圆锥的形成过程引入圆锥面注：这里还要提出圆锥的轴截面是等腰三角形,并引入顶角的一半,为后面轴截面和旋转轴所成的角的大小截出不同的曲线留下知识.师生活动：教师引导学生回忆知识，尽量让学生口述其过程。1.对以前知识回顾，教师引导，学生回顾。2.注意新旧知识的联系与发展，注重知识的系统性，使学生带着为什么要复习这个知识的疑惑走入课堂。3新课传授介绍圆锥曲线的发展史1最初发现PPT播放结合教

7、师的介绍：教师附加介绍：这些问题在两千多年的时间里，有多数学大师研究过，比如早到欧几里得，晚到高斯直至19世纪，这三个作图问题才被最终证实为不可能只用圆规和直尺作出不知什么缘故，数学的美不在乎它的答案而在于它的方法，“不可解”似乎像是一个令人失望的答案，然而得到这一结论的思维过程却是极具魅力的，人们屡遭失败之后，一方面是从反面怀疑它是否可作；另一方面就很自然地考虑跳出尺规作图的框框，而是借助于另外一些曲线，是不是可解决这些问题呢？我们今天学习的圆锥曲线，就是从这里开始被发现的。教师附加介绍：不同的圆锥是轴截面顶角分别为直角，锐角和钝角，但都是拿和母线垂直的平面截圆锥，从而形成不同的曲线，这就是

8、圆锥曲线的“雏形”2奠基工作本课以圆锥曲线的发展史为主线，在其中创设各种情景，引导学生进入圆锥曲线的学习1由第一个环节“最初发现”中的古老问题的提出来介绍圆锥曲线的发现，即增加了学生的兴趣和探索欲望，又能让学生感受到数学发展过程中的魅力2引出圆锥曲线的“雏形”为了让学生明白探知的过程，进一步激发学生的好奇和兴趣为下一步的“圆锥曲线” 的定义做好铺垫3.总结古希腊对圆锥曲线的认识,说出不足,为学生以后用解析的方法进一步学习圆锥曲线的理由顺理成章.4创设情景,突破概念(一)1.实验:利用手机中的闪光灯,绕线筒和纸板,把光线投影到纸板,观察影子的变化师生活动:让学生参与,看到现象,探究原因.这里学生

9、很容易认识到这个模型,把圆和椭圆说出,但是对于抛物线和双曲线的形成和位置的判别不太清楚.这没有关系,等下还有定性分析.2.探讨问题1：用过顶点的平面截圆锥面，可能得到哪些曲线？师生活动:学生很容易回答 “点”,容易忽视“两条相交直线”问题2：用不过顶点的平面截圆锥面，可能得到哪些曲线？师生活动:学生也很容易回答出“圆”思考：当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时， 还能得到哪些不同的截线？师生活动:通过学生上台来控制动画,直观认识不同平面截圆锥得出的曲线3.定性的分析总结:圆锥曲线的定义师生互动：这里对学生而言理解会有一定的困难,教师的讲解要清晰,细致,不要着急.1.学生对手机和绕线筒非常熟悉,这

10、个试验马上能引起学生注意,也定会感叹设计的巧妙和数学的无处不在.2.利用身边的实物来做个试验,揭示三种曲线的形成,但对抛物线和双曲线的显示不足,这为我们下面的定性分析做了铺垫3.从特殊位置考虑，培养学生分类讨论的思想，提高数学的严密性.4.学生先有直观感受，让学生动手实验，通过自主探索活动，让学生参与到教学活动的全过程中来，体现学生参与的主体地位，使学生手，脑，口并用，主动地获取知识，培养学生自主探究学习的能力5.重点的突破在这里显得很自然,但是对于学生理解上还是有一定难度,教师要注意好这个环节.5创设情景,突破概念(二)1.回到圆锥曲线的发展史,阐述阿波罗尼对椭圆的研究发现2.联系中国古代的

11、事物和数学家的介绍,用一个刘徽传授椭圆画法的传说故事和自述的“木工师傅做椭圆镜框”一小故事来引出椭圆的画法.3.画椭圆学生分组利用纸板,钉子和绳子来动手自己画椭圆.引导学生在画的过程中要注意的细节,如绳子要绷直,两个钉子要稳定等细节.安排其中一个组领到的纸板上两个钉子的绳子已经是绷直的.在教师展示其他组画的不同形状的椭圆时,这个组的成员会提出问题:老师,我们组的画不出椭圆,而是画出了一条线段.借此教师那那组的纸板加以解释,当绳子的长度和两个定点距离相等时,画出的只是一条线段,继续提问,当绳子的长度小于两个定点的距离呢?学生马上反应过来,这时应该画不出任何图形.4.总结:椭圆的定义:一般地，平面

12、内到两个定点F1 ，F2的距离的和等于常数（大于F1 F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1 ，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.用数学表达式体现:对为什么用的表示常数,我们后面会知道它的作用(为求标准方程打下基础)5.论证:论证在圆锥截出的椭圆就是我们画出来的椭圆在圆锥曲线的众多研究者中，19世纪的法国数学家Dandelin是非常著名的一位.19世纪初，法国数学家Dandelin利用与圆锥面和截面均相切的两个球（Dandelin双球），给出了研究椭圆定义的一种巧妙的方法. Dandelin在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截面相切（切点分别为F1 ，F2），且与圆锥面相切

13、，两球与圆锥面的公共点分别构成圆O1和圆O2. 设点M是平面与圆锥面的截线上任一点，过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P，Q两点.问题1:图中所示线段之间的长度有什么关系？学生:因为过球外一点所作球的切线的长相等，所以MF1=MP， MF2=MQ，故 MF1+MF2=MP+MQ=PQ问题2:PQ长有什么特点.（学生思考，教师展示M点在截线上运动时的动画.）学生:PQ是常数.总结:截线上任意一点到两个定点F1 ，F2的距离的和等于常数.就是我们刚刚画的椭圆的定义.例.已知ABC中，B（-3，0），C（3，0），且AB，BC，AC成等差数列.试问：点A在一个什么样的圆锥曲线上运动？说明

14、理由 教师巡视学生作答情况，并要学生作答，注意答题细节6.类比学习思考:引入拉链和双曲线继续以动画为载体,演示拉拉链这个实验,在这个过程让学生发现问题,并加以总结.引导学生从实验抽象出数学性质7.由学生类比总结出双曲线定义:一般地，平面内到两个定点F1 ，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1 F2的正数）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1 ，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 用数学表达式体现:提示学生同样要注意这个定义成立的条件1.利用史料和传说小故事,引出椭圆的画法,能提高学生学习的兴趣和积极性,又能普及数学史培养正确的价值观.2. 在处理画椭圆的环节，创造条件让学

15、生亲自动手画出椭圆，并安排了一系列情节引导学生在操作过程中注意细节，鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解3.有意安排画出不同的椭圆为随后的椭圆的性质研究累计素材.还安排一种特殊情况让学生自己发现并提出问题,加深学生的印象,培养学生思维的严密性. 4.学会有数学语言来描述定义.5.这个环节对学生而言有一定难度,对空间立体几何的认知要求颇高,是本节课的一个难点.6.这个环节能让学生体会到从空间事物抽象到平面的一个过程,有利于培养学生的转化能力.小试牛刀，熟悉定义8.这里安排利用拉链实验类比推理出双曲线的定义,不但加深了椭圆定义的理解和记忆,也为以后由椭圆类

16、比学习其他曲线埋下伏笔和打下基础.9.再次利用动态事物帮助学生理解轨迹的形成.10.注意双曲线的两支. 培养学生的学习能力，让他们学会归纳，学会学习。6回归数学史圆锥曲线的发展史：PPT展示结合教师的讲评3长期停滞又经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作汇篇中，才完善了关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定理进行了证明。这时，圆锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了. 在这之后的 13 个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究几乎没有什么进展.4有所突破有两件事促使人们对圆锥曲线的进一步研究 5别开生面 6系统总结 1感受数学发展的漫长和艰辛2鼓励学生敢于探索，敢于突破4.由“别开生面”这个阶段，介绍我们为什么学习解析几何，了解其由来，为后面建立坐标系到求标准方程，再来研究其性质这个过程做了个很好的铺垫.5.这个是离我们实际最近的一个阶段,也是和我们生活最紧密的一个阶段,再次拿出一些我们现实生活中的圆锥曲线,让学生再次体会数学的实际应用.6.这里还讲了个关于欧拉的小故事,培养学生学习数学