优秀实验报告二-上海交通大学数学系

1、个人住房抵押贷款及其它金融问题的数学模型颜齐，F，4指导老师 陈贤峰上海交通大学机械与动力工程学院目录个人住房抵押贷款及其它金融问题的数学模型1一、实验背景1二、实际任务及相应解法12.1 制定住房商业性贷款利率表和（月）还款表22.2 请自己到银行了解最新住房贷款利率，试制作一张为期120年的贷款利率表和（月）还款表22.3 一个购房贷款的比较42.4 还款周期比较52.5 某保险公司的推出结合养老的寿险计划62.6 金融公司的支付基金问题一92.7 等额本息与等额本金还款102.8 金融公司的支付基金问题二122.9 国债收益率问题13三、小程序说明14四、对某些任务的分析讨论154.1

2、任务2.5的思路一与思路二之争154.2 任务2.5思路2中的计算方法16五、结语17一、 实验背景个人住房商业抵押贷款是常见的一种额度大、期限长的贷款形式，每期还款的数额根据贷款期限的长短、年利率的高低、还款方式（等额本息、等额本金）、还款周期的不同而不同，这些因素的变更会导致累计支付的利息有一定差异。在数额较大的贷款中，这种差异有时还会有相当大的区别，因此有必要建立数学模型研究其对分期还款的具体影响。此外，对于养老保险、人寿保险、基金流动等问题，利率、周期等因素对结果也有不同程度的影响，可通过数学模型定量探究。二、 实际任务及相应解法2.1 制定住房商业性贷款利率表和（月）还款表2.1.1

3、 模型建立依照PPT的暗示，这种情况下为等额本息、按月还款的模式，否则采用等额本金还款办法的话，每月还款额将会有变化。输入还款期限年数K、年利率R、贷款总额A0，可得到总期次n=12K、月利率r=R/12，设Ak为完成第k期还款后还剩下的欠款总额，则有:Ak=Ak-1*1+r-m (k=0,1,2)m为等额本息下每月的固定还款额度。迭代后可以得到Ak=A0*1+rn-1+rn-1*m/r从而可得每期还款额m=A0*1+rn*r/1+rn-12.1.2 MATLAB代码function m=function_1(yr,rate)if(nargin=2) error(输入的参数不正确);else

4、r=0.01*rate/12; n=yr*12; m=10000*(1+r)n*r/(1+r)n-1);end2.1.3 运行结果(以2年、6.25%利率为例，详细列表见任务2) function_1(2,6.25)ans = 444.3334此即为2年期、6.25%年利率的贷款，按等额本息的还款模式的每月还款额。完整的表格请见任务2的结果。2.2 请自己到银行了解最新住房贷款利率，试制作一张为期120年的贷款利率表和（月）还款表2.2.1 模型建立基本思路与2.1一样，只是输入了具体真实的年利率和贷款期限。查得 招商银行官网人民币贷款基准利率/Cm

5、bWebPubInfo/CDRate.aspx?chnl=cdrate：贷款年限年利率0-6月(含6月)4.35%6月-1年(含1年)4.35%1-3年(含3年)4.75%3-5年(含5年)4.75%5-30年(含30年)4.90%由此，修改代码，使之输入贷款期限之后内部自动匹配年利率，然后输出表格。2.2.2 MATLAB代码function function_2()A=zeros(2,30);clc;for yr=1:30 if(yr=1) rate=4.35; else if(yr=5) rate=4.75; else if(yr20) N=n-40此题中认为所有补贴来自缴纳保费产生的本

6、息和，即有FN=0经验算，此方法无法得出合理的年利率，故放弃，下面部分所采用的是思路二。思路二：设投保人所获得的全部补贴等效于其缴纳的保金及利息在其离世那一年的总和。有下列关系式：Fk=1+r*Fk-1+p (k=1,2,3,N)p=1540 (k=1,2,320)0 (k20)N=n-40FN=总补贴金（59000或69000）2.5.2 MATLAB代码function funcion_5()clc;n=input(请输入投保人寿命：);if(n70&n=75&n20) p=0; end %定义F(k)迭代规则 if(k=1) F(k)=p; else F(k)=(1+r)*F(k-1)+

7、p; end end % disp(Q); %disp(F(N); if(abs(F(N)-sum)0.1) disp(计算失败！); return; endendend2.5.3 运行结果请输入投保人寿命：74计算成功！等效年利率为： 0.0275请输入投保人寿命：76计算成功！等效年利率为： 0.0315由于没有采用手动推到迭代方程的办法，我直接让年利率r在for循环中不断叠加（步长为1e-9），通过控制F(N)与补贴金总额sum的差值（精度为1元），来达到求解的目的。这种办法资源消耗量大，但代码简单易懂，计算时间较长。 对结果本身来看，似乎投保人寿命越长其收益效果越好，等效年利率越高，这

8、也是符合常识的。扩大寿命的范围，可以得出年利率r与寿命n的关系，如下图所示：从这里我们可以清晰地看到，在思路二指导下，等效年利率并不是随着年龄的增长而增大。由于75岁时会发放高达10000元的补贴金，因此74岁75岁等效年利率会发生突然增大。实际上不发放补贴金的岁月里，寿命越长、等效年利率反而越低，这是由于60岁之后就不再缴纳保金的缘故，60岁后的本息和增长能力不如60岁之前的本息增长能力强，表现为在相邻两次发放补贴金的年龄区间内，年利率随寿命增长的下降。2.6 金融公司的支付基金问题一总额$540万基金,放置A公司和B公司，要求：周末结算时总额仍为$540万。每过一周，A 城公司基金10 B

9、 城公司，A 城公司 B 城公司基金12。A公司基金额A0$260万，B公司基金额B0$280万。现有问题：资金流动趋势？会否少于警戒数220(万)？2.6.1 模型建立设第k周末结算时,A城公司和B城公司支付基金数分别为ak和bk(单位:万美元),则有：ak+1=0.9ak+0.12bkbk+1=0.1ak+0.88bk既然已经知道初始值，通过嵌套for循环进行迭代即可观察出ak+1、bk+1在k时趋紧的值。2.6.2 MATLAB代码function function_6()clc;a(1)=260;b(1)=280;for N=10:10:200for k=1:N a(k+1)=0.9*

10、a(k)+0.12*b(k); b(k+1)=0.1*a(k)+0.88*b(k);enddisp(迭代次数为：N=,num2str(N),，a(N+1)=,num2str(a(N+1),b(N+1)=,num2str(b(N+1),，资金总和为：,num2str(a(N+1)+b(N+1),万元);end2.6.3 运行结果迭代次数为：N=10，a(N+1)=291.6658,b(N+1)=248.3342，资金总和为：540万元迭代次数为：N=20，a(N+1)=294.3054,b(N+1)=245.6946，资金总和为：540万元迭代次数为：N=30，a(N+1)=294.5254,b

11、(N+1)=245.4746，资金总和为：540万元迭代次数为：N=40，a(N+1)=294.5438,b(N+1)=245.4562，资金总和为：540万元迭代次数为：N=50，a(N+1)=294.5453,b(N+1)=245.4547，资金总和为：540万元迭代次数为：N=60，a(N+1)=294.5454,b(N+1)=245.4546，资金总和为：540万元迭代次数为：N=70，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，资金总和为：540万元迭代次数为：N=80，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，资金总和为：540万元迭代次数

12、为：N=90，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，资金总和为：540万元迭代次数为：N=100，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，资金总和为：540万元迭代次数为：N=110，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，资金总和为：540万元迭代次数为：N=120，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，资金总和为：540万元迭代次数为：N=130，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，资金总和为：540万元迭代次数为：N=140，a(N+1)=294.5455,b(

13、N+1)=245.4545，资金总和为：540万元迭代次数为：N=150，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，资金总和为：540万元迭代次数为：N=160，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，资金总和为：540万元迭代次数为：N=170，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，资金总和为：540万元迭代次数为：N=180，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，资金总和为：540万元迭代次数为：N=190，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，资金总和为：540万元

14、迭代次数为：N=200，a(N+1)=294.5455,b(N+1)=245.4545，资金总和为：540万元通过以上可见，资金流动的趋势是A城市资金稍稍增多，B城市资金稍稍减少，都在第30-40个周末进行结算之后保持稳定。在N时，aN+1294.5455万元、bN+1245.4545万元。ak+1、bk+1都没有小于220万元的风险，不会低于警戒值。2.7 等额本息与等额本金还款个人住房抵押贷款还款方式主要有两种：等额本息还款法、等额本金还款法。等额本息还款法，即把按揭贷款的本金总额与利息总额相加然后平均分摊到还款期限的每个月中，本案例属此种情形；等额本金还款法：贷款人将本金分摊到每个月内,

15、同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。假设小张夫妇贷款10000元，贷款两年，年利率6.255%，按月还款。请建立数学模型并求解若小张夫妇按等额本金还款法，月还款额是多少（列表表示）？并比较等额本息还款法与等额本金还款法哪种方法还的利息多，并解释说明。2.7.1 模型建立设贷款额度为A0，年利率为R，月利率为r=R/12，总期次n=year*12，第k月还款额为mk元，则有下列的关系式：mk=A0n+r*Ak-1Ak=(1+r)Ak-1-mk=1+rAk-1-A0n-r*Ak-1=Ak-1-A0n通过第2个差分方程可以得出Ak=A0-k*A0n从而得到mk=A0n+r*A0-k-1*A0n

16、=A0(1+r(1+n-k)n)由此即可容易地算出每月还款额，总而得出总还款金额。2.7.2 MATLAB代码function function_7()clc;a0=10000*input(请输入贷款总额（万元）：);R=input(请输入年利率（%）：);r=R*0.01/12;n=12*input(请输入贷款年份：);m=zeros(n,1);row=cell(n,1);for k=1:n m(k)=a0*(1+r*(1+n-k)/n; rowk=第,num2str(k),期;endarray2table(m,rownames,row,variablenames,money)disp(总还

17、款利息为：,num2str(sum(m)-a0);end2.7.3 运行结果请输入贷款总额（万元）：1请输入年利率（%）：6.255请输入贷款年份：2ans = money _ 第1期 468.79 第2期 466.62 第3期 464.45 第4期 462.28 第5期 460.1 第6期 457.93 第7期 455.76 第8期 453.59 第9期 451.42 第10期 449.24 第11期 447.07 第12期 444.9 第13期 442.73 第14期 440.56 第15期 438.39 第16期 436.21 第17期 434.04 第18期 431.87 第19期 4

18、29.7 第20期 427.53 第21期 425.35 第22期 423.18 第23期 421.01 第24期 418.84总还款利息为：651.5625本案例中，A0/n=416.67元，可见随着期数的增加还款额中利息的占比越来越低，本金占比相对提高，还款额越来越接近平均的本金。在任务4中，可以算得相同年限、贷款额的按月等额本息还款模式中，累计还款为：10664.5443、累计支付利息为：664.5443，可见等额本金比等额本息还款总利息更少。但是弊端在于一开始还的钱比较多，后面逐渐减少，等额本息则是所有期次还的钱一样多。等额本息之所以还款钱数较多，是因为每期的还款时主要用来支付了利息，

19、抵扣的可增值利息的本金较少，因此利息增值能力更强，总利息较多。等额本金则是将定额抵扣本金，使之增值利息的能力不断减小，从而抑制了利息的增长。2.8 金融公司的支付基金问题二根据两地公司的业务情况，该金融机构决定在每周末结算时，将A城公司的基金增加$6万，相应地B城公司的支付基金减少$6万. 此时，机构中一位的职员(他曾就读于某大学数学系)向机构负责人建议将增减数额改为$5.5万. 试问机构负责人是否应该采纳这个建议，为什么？2.8.1 建模过程这道题是2.6的扩展，只需要在每次迭代时改变ak,bk的量即可。2.8.2 MATLAB代码function function_8()clc;a(1)=

20、260;b(1)=280;S=6;for N=1:1:500for k=1:N a(k+1)=0.9*a(k)+0.12*b(k)+S; b(k+1)=0.1*a(k)+0.88*b(k)-S;endif(a(N+1)=220|b(N+1)每周转移5.5万元：计算成功！每周转移金额为5.5万元时，迭代次数为N=500，则a(N+1)=319.5455,b(N+1)=220.4545，资金总和为：540万元由此可见，该职员的判断无误，每周转移5.5万元可以使两城市的基金在不低于警戒值的情况下达到稳定，每周转移6万元在第15周周末时就出现了B城基金额低于220万元警戒值的情况，不符合要求。2.9

21、国债收益率问题2002年10月24日发行的面值100元年利率2.65%的5年期记帐式国债，期内每年10月24日派发利息2.65元.设在2005年3月31日，该国债的收盘价格F99元，投资者购买该国债需要支付上次派息日到购买日的利息(依天数计息)，还需上两项总数的0.1%为手续费.如果投资者到期再取出本息，其间获得的利息也按年利率2.65%计息，那么他购入的国债平均年收益率是多少？2.9.1 建模过程设年利率为R，日利率为r=R/365，投资者购买时需要支付的利息为逐日计算的利息， 100*（1+r）(158)，据此可计算手续费，再根据购买后获得的收益计算平均年利率即可。计算年均利率时认为购买期

22、限为3年。2.9.2 MATLAB代码function function_9()clc;r=2.65*0.01/365;ints=100*(r)158;pay=(99+ints)*(1+0.1/100);gets=2.65*3+100;fr=(r)pay*(1+r)3-gets;disp(等效年利率为,num2str(100*fzero(fr,0),%);end2.9.3 运行结果等效年利率为2.8927%由此可见，中间降价时买入的利率为2.8927%，比一开始买入的2.65%要高。三、 小程序说明为了便于计算不同贷款金额、贷款期限、年利率、还款周期、还款方式（等额本息、等额本金）等对每一期次

23、还款金额、累计支付利息的影响，我用C+平台的MFC制作了一款简单的小程序，截图及简单工作流程图如下：将每期还款额、总支付额呈现在列表中计算总期次，每期利率；根据还款方式迭代出每期还款额选择还款方式、还款周期输入贷款金额、贷款期限、年利率本程序可以计算很大数额的贷款金额，精度为小数点后三位，并且通过列表的办法展示出了每期还款额度以及该期还款完后的剩余款项，基本满足了一般性贷款的计算需求。四、 对某些任务的分析讨论4.1 任务2.5的思路一与思路二之争下面先简要叙述原始题目：若40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费期20年至60岁则在他生存时期，45岁时(投保满5年)可获返还补贴4000元

24、，50岁时可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴；而在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元。试分析：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？若该投保人的寿命为74岁，其交保险费所获得的实际年利率又是多少？两种情况下，投保人均需缴纳同等数目的金额，但74岁离世与76岁离世所获得的保险费不同，等效年利率也不同，需要计算。74岁离世时获得总保险费=4000+5000+6000+7000+8000+9000+20000=59000元；76岁离世时获得总保险费为4000+5000+6000+7000+8000+9000+10000+2000

25、0=69000元。思路一：设投保人在投保后第k年所交保险费及利息之和为Fk元，假设投保人所得到的钱全部由其缴纳的保费以及利息生成，可以得到：Fk=1+r*Fk-1+p-q (k=1,2,3,N)p是每年缴纳的保费；q为当年领取的补贴，没发放补贴时为0；N=n-40,n为寿命。它们满足以下的条件F0=0q=3000+1000*k5 (k=5,10,15,20)0 (其它)p=1540 (k=1,2,320)0 (k20) N=n-40此题中认为所有补贴来自缴纳保费产生的本息和，即有FN=0经验算，此方法无法得出合理的年利率，故放弃。思路二：设投保人所获得的全部补贴等效于其缴纳的保金及利息在其离世那一年的总和。有下列关系式：Fk=1+r*Fk-1+p (k=1,2,3,N)p=1540 (k=1,2,320)0 (k20)N=n-40FN=总补贴金（59000或69000）我个人更倾向思路一的做法，无奈算不出结果，向老师发过邮件恳请帮助，但截止撰写报告时未